2008年考研数学一真题及答案

2008年考研数学一真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）设函数fx=0(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】B。【解析】f'x=2xln⁡(2+x2)且ln⁡(2+综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数函数fx,y=arctanx(A)i(B)-(C)j(D)-【答案】A。【解析】gradf∂f(x,y)∂x所以g综上所述，本题正确答案是A。【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度在下列微分方程中，以y=C(A)y'''+y''(C)y'''-y''-4【答案】D。【解析】由通解表达式y=可知其特征根为λ可见其对应特征方程为λ-1故对应微分方程为y综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程设函数f(x)在(-∞,若{xn}收敛，若{xn}单调，若{f(xn)}若{f(xn)【答案】B。【解析】【方法一】由于{xn}单调，f(x)单调有界，则数列{【方法二】排除法：若取fx=1,x≥0-1,x<0,xn=(-1)nn,则显然f(x)单调若取fx=arctanx,xn=n,显然{f(xn综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3E-A不可逆，E+E-A不可逆，E+E-A可逆，E+E-A可逆，E+【答案】C。【解析】因为E-AE+A所以可知E-A可逆，E+综上所述，本题正确答案是C。【考点】线性代数—矩阵—矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程x,y,z在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，则A的正特征值的个数为(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】B。【解析】所给图形为双叶双曲线，标准方程为x二次型正交变换化为标准形时，其平方项的系数就是A的特征值，可知A的正特征值的个数为1综上所述，本题正确答案是B。【考点】线性代数—二次型—次型的标准形和规范形设随机变量X,Y独立同分布，且X的分布函数为F(x),则Z=min⁡(A)F2(x)(B(C)1-1-F(x)2(D【答案】A。【解析】F=综上所述，本题正确答案是A。【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—随机变量的独立性和不相关性，两个及两个以上随机变量简单函数的分布设随机变量X~N0,1,Y~N(1,4),且相关系数(A)PY=-2X-1=1(B(C)PY=-2X+1=1(D【答案】D。【解析】由相关系数的性质可知：如果|ρXY|=1,可得EY=aEX+b已知X~N0,1,Y~N(1,4),所以1=0+b又1而Cov所以1即P综上所述，本题正确答案是D。【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量函数的数学期望矩、协方差、相关系数及其性质二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分。）微分方程xy'+y=0满足条件y1【答案】1x【解析】分离变量得dyyln利用条件，y1=1，解得综上所述，本题正确答案是1x【考点】高等数学—常微分方程—变量可分离的微分方程曲线sinxy+lny-x=x【答案】y=x+1【解析】先求曲线在点0,1处的斜率等式sinxy=lncos在上式中，将x=0,y=1,代入可得y所以曲线在该点处的切线方程为y-1=x,即y=x+1综上所述，本题正确答案是y=x+1。【考点】高等数学—一元函数微分学—导数的几何意义和物理意义已知幂级数n=0∞an(x+2)n在x=0处收敛，在x=-4处发散，【答案】(1,5]。【解析】由题设可知，幂级数n=0∞an(x+2)n在x=0处收敛，在对于幂级数n=0∞ax-3又幂级数n=0∞an(x+2)n在x=0处收敛所以对于幂级数n=0∞an综上所述，本题正确答案是(1,5]。【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域设曲面Σ是z=4-x2-【答案】4π。【解析】补曲面Σ1:则Σ=Σ=Ω=Ω=0+0综上所述，本题正确答案是4π。【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用，两类曲面积分的概念、性质及计算设A为2阶矩阵，α1,α2为线性无关的2维列向量，Aα1=0【答案】1。【解析】【方法一】定义法：由A可得矩阵A的特征值为1,0，因此A的非零特征值为1。【方法二】矩阵相似：A可知A~0201，0201的特征值易得为1,0，所以可得矩阵综上所述，本题正确答案是1。【考点】线性代数—矩阵的特征值和特征向量—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，相似变换、相似矩阵的概念及性质设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X=E(X2【答案】1【解析】由已知，有EX=DX=1,所以E所以P综上所述，本题正确答案是12e【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—一维随机变量及函数的数字特征三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（本题满分9分）求极限lim【解析】【方法一】limx→0=lim=13lim=13lim=【方法二】limx→0=limx→0[sinx-sin=limt→0=lim=limt→0【方法三】limx→0由泰勒公式sinx=x-xsin则，上式==【方法四】limx→0=lim=【方法五】由于当x→0时,x-sinx~16所以limx→0【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学—一元函数微分学—微分中值定理，洛必达(L'Hospital)法则（本题满分9分）计算曲线积分Lsin2xdx+2(x2-1)ydy,其中L是曲线y=sinx上从点【解析】【方法一】L=0=0=【方法二】添加x轴上从点(π,0)到点(0,0)的直线段L1，D为L与LL=L+=-D=-D=-【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用，两类曲线积分的概念、性质及计算，格林(Green)公式（本题满分11分）已知曲线C:x2+y2-2【解析】设P(x,y,z)为曲线C上任意一点，则点P到xOy面的距离为|z|，即原题化为求F解方程组F'得x=y，从而2得可能极值点：x=1有z根据几何意义，曲线C上存在距xOy面最远和最近的点，故所求点依次为-5,-5,5,(1,1,1)【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的极值和条件极值（本题满分10分）设函数f(x)连续，利用定义证明函数Fx=0当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数Gx=20【解析】对于任意的x,由于函数f(x)连续，所以limΔ=lim=其中ξ介于x和x+Δx又limΔx→0f(ξ)=【方法一】对于任意的x，有Gx+2=2=2G'所以，G从而有Gx+2又G则C=0，Gx+2-Gx【方法二】对于任意的x，有Gx+2=2=22x+2f=则G故Gx也是以【方法三】对于任意的x，有Gx+2=2由于f(x)以2为周期，则x所以Gx+2故Gx也是以【方法四】对于任意的x，有Gx+2=0x+2f=则Gx+2=故Gx也是以【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数（本题满分11分）将函数fx=1-x2(0≤x≤π)【解析】因为fx是偶函数，于是bn=0(n=1,2,⋯)an==-=-a0所以f令x=0,f故n=1【考点】高等数学—无穷级数—函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数，函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数（本题满分10分）设α,β为3维列向量，矩阵A=ααT+βα,β的转置。证明：秩r(A若α,β线性相关，则秩rA【解析】因为α,β为3维列向量，所以ααT且秩r(那么rα,β线性相关，则设α于是，r【考点】线性代数—矩阵—矩阵的秩（本题满分12分）设n元线性方程组Ax=b，其中A=证明行列式A=(当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。【解析】数学归纳法：记n阶行列式A的值为D当n=1时D1=当n=2时，设n<k时，命题Dn当n=k时，按第一列展开D=2命题正确，所以A=(由克拉默法则，A≠0方程组有唯一解，故a≠0时方程组有唯一解，且用克拉默法则，x当a=0时，方程组为0由rA=rA=n-1,方程组有无穷多解，其通解为（本题满分11分）设二维随机变量X,Y相互独立，X的概率密度为PX=if记Z=X+Y。(Ⅰ)求P{(Ⅱ)求Z概率密度fz【解析】(Ⅰ)P=PY≤(Ⅱ)F=P所以f=1【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—二