有理数辅导讲义

PAGE1PAGE4第一课时正数和负数一．知识点归纳1.定义：像5、1、2……这样的数叫做正数，它们都比0大。在正数前面加上“-”号的数叫做负数，如-10、-3、-1……注:(1)0既不是正数，也不是负数。(2)为了突出数的符号,也可在正数前加“+”号2.数的分类二、课堂练习：(1)下列说法正确的是（）①零是整数；②零是有理数；③零是自然数；④零是正数；⑤零是负数；⑥零是非负数。 A：①②③⑥B：①②⑥C：①②③D：②③⑥(2)下列说法正确的是（）A：在有理数中，零的意义表示没有 B：正有理数和负有理数组成全体有理数C：0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数D：零是最小的非负整数，它既不是正数，又不是负数(3)―100不是（）A：有理数 B：自然数 C：整数 D：负有理数(4)判断：（1）0是正数 （） （2）0是负数 （）（3）0是自然数 （） （4）0是非负数 （）（5）0是非正数 （） （6）0是整数 （）（7）0是有理数 （） （8）在有理数中，0仅表示没有。 （）（9）0除以任何数，其商为0 （） （10）正数和负数统称有理数。 （）（11）―3.5是负分数 （） （12）负整数和负分数统称负数 （）（13）0.3既不是整数也不是分数，因此它不是有理数 （）（14）正有理数和负有理数组成全体有理数。 （）答案：1．A；2．D；3．B；4．×；×；√；√；√；√；√；×；×；×；√；×；×；×。第二课时数轴一、知识点归纳1.定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴2．数轴的画法：①画一条直线（通常是水平的直线），在这条直线上任取一点O，叫做原点，用这点表示数0；②规定这条直线的一个方向为正方向（一般取从左到右的方向，用箭头表示出来）。相反的方向就是负方向；③适当地选取一条线段的长度作为单位长度，也就是在0的右面取一点表示1，0与1之间的长就是单位长度。001234-1-2-3-4在数轴上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，这些点依次表示1，2，3，…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，它们依次表示–1，–2，–3，…。注：原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，原点位置的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要人为规定的。直线也不一定是水平的。3.有理数大小的比较正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。比较有理数大小法则是：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。二、例题1：判断下图中所画的数轴是否正确？如不正确，指出错在哪里？2：把下面各小题的数分别表示在三条数轴上：（1）2，-1，0，，+3.5(2)―5，0，+5，15，20；(3)―1500，―500，0，500，1000。3：借助数轴回答下列问题(1)有没有最小的正整数？有没有最大的正整数？如果有，把它指出来；(2)有没有最小的负整数？有没有最大的负整数？如果有，把它标出来。4：比较―3，0，2的大小。5：把下列各组数用“＜”号连接起来．(1) ―10，2，―14；(2) ―100，0，0.01； (3) ，―4.75，3.75。 6：将有理数3，0，，―4按从小到大顺序排列，用“＜”号连接起来。7：比较下列各数的大小：―1.3，0.3，―3，―5.答案：1.解：都不正确，（1）缺少单位长度；（2）缺少正方向；（3）缺少原点；（4）单位长度不一致。3.解：(1)有最小的正整数，它是1，没有最大的正整数；(2)没有最小的负整数，有最大的负整数，它是-1。4.解：-3<0<25.解：(1) ―14＜―10＜2；(2)―100＜0＜0.01；(3) ―4.75＜3.75＜。6.解：正数＜3，由正、负数大小比较法则，得―4＜0＜＜3。7.解：―5＜―3＜―1.3＜0.3第三课时绝对值和相反数知识点归纳1.绝对值：我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。记作|a|。例如，在数轴上表示数―6与表示数6的点与原点的距离都是6，所以―6和6的绝对值都是6，记作|―6|=|6|=6。同样可知|―4|=4，|+1.7|=1.7。2.相反数：符号不同,绝对值相同的两个数互为相反数.其中一个是另一个的相反数。如:2.5的相反数是-2.5,-2.5的相反数是2.5,2.5和-2.5互为相反数；0的相反数是0.3.(1)|+2|=，=，|+8.2|=；(2)|0|=；(3)|―3|=，|―0.2|=，|―8.2|=。归纳：1.一个正数的绝对值是它本身；2.0的绝对值是0；3.一个负数的绝对值是它的相反数。4.①在一个数的前面添个“-”号，就表示那个数的相反数如：-（+4）=-4-（-4）=4-（+5.5）=-5.5②在一个数的前面添个“+”号，就表示那个数的本身如：+（-4）=-4+（+12）=12两个符号的化简：负负得正，正正得正，正负得负，负正得负。即：同号得正，异号得负(1)-[-（+10)](2)+[-（-0.15)](3)-[+（+3)](4)-[-(-12)]5.有理数大小的比较(1)负数小于0，0小于正数，负数小于正数；(2)两个正数，应用已有的方法比较；(3)两个负数，绝对值大的反而小.例题1：求下列各数的绝对值：，，―4.75，10.5。2：化简：(1)；(2)。3：计算：（1）|0.32|+|0.3|； （2）|–4.2|–|4.2|； （3）|–|–（–）。4.下列几对数中不互为相反数的对是（）A、-（-8）和-（+8）B、-（+8）和+（+8）C、-（-8）和-（+8）D、-（+8）和-[-(-8)]5.比较大小-（-2）-（-3）+（-3）-（-3）-0.25____-（-a）a6.已知a的相反数是它本身，b是最小的正整数，c的相反数是最大负整数的相反数，求2a+b+c7.用“＞”连接下列个数： 2.6，―4.5，，0，―2答案：1.解：=；=；|―4.75|=4.75；|10.5|=10.5。2.解：(1)；(2)。3.解：（1）0.62；（2）0；（3）。4.D5.<<<=6.解：由题意得a=0,b=1,c=-1所以2a+b+c=2×0+1+(-1)=0.7.2.6＞＞0＞―2＞―4.5。第四课时有理数加减法知识点归纳有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③互为相反数的两个数相加得0；④一个数同0相加，仍得这个数.例：计算：①(+2)+(―11)；②(+20)+(+12)；③；④(―3.4)+4.3。解：①解原式=―(11―2)=―9；②解原式=+(20+12)=+32=32；③解原式=；④解原式=+(4.3―3.4)=0.9。2.加法交换律和结合律加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即(a+b)+c=a+(b+c)例：计算：(1)(+26)+(―18)+5+(―16)；(2)。(3)(+3)+(―2)+(―3)+(―1)+(+5)+(+5)(4)(+6)+(+)+(―6.25)+(+)+(―)+(―)解:(1)原式=(26+5)+[(―18)+(―16)]=31+(―34)=―(34―31)=―3。(2)原式====。(3)原式=(3+)+(5+)+[―(2+)]+[―(1+)]+(5+)+[―(3+)=（3+5）+（+）+[(–2)+(–1)]+[(–)+(–)]+[5+(–3)]+[+(–)]=2(4)原式=(+6)+(―6.25)+(+)+(―)+(―)=―三个以上的有理数相加，可运用加法交换律和结合律任意改变加数的位置，简化运算。常见技巧有：(1)凑零凑整：互为相反数的两个数结合先加；和为整数的加数结合先加；(2)同号集中：按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和；(3)同分母结合：把分母相同或容易通分的结合起来；(4)带分数拆开：计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部分拆开，分别结合相加。注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号。3.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。例：计算：(1)(―32)―(+5)；(2)7.3―(―6.8)；(3)(―2)―(―25)；(4)12―21.解：(1)(―32)―(+5)=(―32)+(―5)=―37。(2)7.3―(―6.8)=7.3+6.8=14.1。(3)(―2)―(―25)=(―2)+25=23。(4)12―21=12+(―21)=―9。4.加减混合运算①把减法统一为加法②通常适当应用加法运算律，可使计算简化。例题1、计算：（1）1+（-2）+3+（-4）+5+……+2001+（-2002）+2003+（-2004）（2）1+（-2）+（-3）+4+5+（-6）+（-7）+8+……+2001+（-2002）+（-2003）+2004（3）5.6+（-0.9）+4.4+（-8.1）（4）2．一名足球守门员练习折返跑,从球门线出发,向前记作正数,返回记作负数,他的记录如下:(单位:米)+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10.(1)守门员最后是否回到了球门线的位置?(2)在练习过程中,守门员离开球门线最远距离是多少米?(3)守门员全部练习结束后,他共跑了多少米?第五课时有理数乘除法知识点归纳1.乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0例：计算：①(－5)×(－6)②解：①原式=+(5×6)=+30=30。②原式=―()=―2.乘法交换律和结合律、分配律①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即ab=ba②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即(ab)c=a(bc)③乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即a(b＋c)＝ab＋ac.例：计算：(1)；(2)。解：(1)原式；(2)原式=。3.有理数除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数.（倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数）例：(1)；(2)；(3)。解：①原式=；②原式=；③原式=两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.例题1.若a+b>0,且ab<0，那么必有（）A.a>0,b>0;B.a<0,b<0;C.a、b异号且正数的绝对值较大;D.a、b异号且负数的绝对值较大.2.若m<n<0，则(m+n)(m-n)_______0.3.(1)(―)÷(―)；(2)；(3)（4）(5)(6)(7)答案：1.C2.>3.解；(1)原式=(―)×(―)=；(2)原式=；(3)原式=。知识点一:有理数的乘方求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂,记作:a,其中a为底数,n为指数.负数奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.知识点二:有理数的混合运算顺序先乘方,再乘除,最后加减.同级运算从左到右进行.如有括号,先做括号里的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.知识点三:科学记数法把一个大于10的数表示a×10的形式(其中a是整数数位上只有一位的数,n是正整数).这种表示方法叫科学记数法.知识点四:有效数字从左边第一个非0数起,到末位数字止,所有的数字都叫这个数的有效数字.针对练习:1.下列各式成立的是（）A.32=3×2B.53=35C.（）3=D.（）2=【解析】D根据运算法则计算后对比.类型之一:计算类型例1.计算:(1)(－7)2；(2)－72；(3)(－)4；(4)－(－5)3.【解析】在乘方运算时,首先要明确底数是什么,本题意在考查对(－a)n与－an的意义的理解,要注意二者的区别与联系.【解答】(1)(－7)2=(－7)×(－7)=49；(2)－72=－7×7=－49；(3)(－)4=(－)×(－)×(－)×(－)=；(4)－(－5)3=－(－5)×(－5)×(－5)=－(－125)=125.类型之二:综合类型例2.计算：（1）－()2×(－42)÷(－)2；（2）(－3)3×(－1)÷(－42)×(－1)25.【解析】本题是乘、除、乘方混合运算.运算时一要注意运算顺序：先乘方、后乘除，二要注意每一步运算中符号的确定.【解答】（1）－()2×(－42)÷(－)2=64；（2）(－3)3×(－1)÷(－42)×(－1)25=2.1.－7的平方是_________；一个数的平方是49，这个数是_________；一个数的立方是－8，这个数是__________.【解析】(±7)2=49;(－2)3=－8.【答案】49±7－22．据有关部门统计，全国大约有1010万名考生参加了今年的高考，1010万这个数用科学记数法可表示为（）．A．1.010×103 B．1010×104 C．1.010×106 D．1.010×107【解析】D3.计算：(1)(－3)3(2)(－1.5)2(3)(－)2【解析】解题时首先要弄清乘方的意义，利用符号法则确定幂的符号，再用乘法求幂的绝对值。【解答】(1)(－3)3=(－3)·(－3)·(－3)=－27(2)(－1.5)2=(－1.5)·(－1.5)=2.25(3)(－)2=(－)·(－)=5.计算：－17+17÷(－1)11－52×(－0.2)3；【解答】－17+17÷(－1)11－52×(－0.2)3=－17－17+25×=－33；6.下列结论中正确的是（）A.绝对值大于1的数的平方一定大于1B.一个数的立方一定大于原数C.任何小于1的数的平方都小于原数D.一个数的平方一定大于这个数【解答】A7.关于式子（－3）4，正确的说法是（）A.－3是底数，4是幂B.3是底数，4是幂C.3是底数，4是指数D.（－3）是底数，4是指数【解答】D如下图：1.下列结论错误的是（）A.一个数的平方不可能是负数B.一个数的平方一定是正数C.一个非零有理数的偶次方是正数D.一个负数的奇次方还是负数【解析】B一个数的平方一定是正数，是错误的,因为0的平方是0,0不是正数.2.下列式子的结果是正数的是（）A.－(－3)4B.－(－4)2C.－(－23)D.－|－5|【解析】C因为－(－3)4=－81,－(－4)2=－16,－(－23)=8,－|－5|2=－25,所以结果是正数的是C.3.在式子(－)2中，指数为_________，底数为___________，读作___________.【解析】在an中，a叫底数，n叫指数，an读作a的n次幂（或a的n次方）.【答案】2－负的2次方4、2015年我市深入实施环境污染整治，某经济开发区域经的40家化工企业中已关停、整改32家，每年排放的污水减少了167000吨。将167000用科学计数法表示为（）A、167×103B、16.7×104C、1.67×105D、0.167×106【解析】C7.（1）(－)×[(－2)3－（－）－]；（2）(－5)－(－5)×÷×(－5)；（3）［2－(－+)×36］÷5.【解析】有理数的运算方法灵活,技巧性强,在运算过程中,巧用运算律和其他的运算方法、技巧,可以使计算简便.有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减.如果有括号，要先算括号里面的.【解答】（1）(－)×[(－2)3－(－)－]=－×(－8)－(－)×(－)－(－)×=6－+=；（2）(－5)－(－5)×÷×(－5)=(－5)－(－5)××10×(－5)=－5－25=－30；（3）［2－(－+)×36］÷5=［2－(×36－×36+×36)］÷5=［2－(28－33+6)］÷5=［2－1］÷5=×=1.已知下列等式：①13＝12；②13+23＝32；③13+23+33＝62；④13+23+33+43＝102；…………由此规律知，第⑤个等式是__________．【解析】本题属于探究规律的题，左边是连续自然数的立方和，右边是一个数的平方，底数为左边底数的和.【答案】13+23+33+43+53=1522.如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去，试利用图形提示的规律，计算：+()2+()3+()4+()5+()6+()7+()8.【解析】由题意可知，最后一次是等分成两个面积为（）8的矩形，用1－（）8可以求出本题的答案.【解答】原式=1－（）8=1－=.课时作业：A等级1.下列各数中最小的数是()A.(－3－2)3B.(－3)(－2)4C.(－3)6÷(－2)3D.(－3)32.求25－3×［32+2×(－3)］+5的值为（）A.21B.30C.39D.713.下列式子正确的是()A.－24＜(－2)2＜(－2)3B.(－2)3＜－24＜(－2)2C.－24＜(－2)3＜(－2)2D.(－2)2＜(－2)3＜－244.计算：(－4)×(－)÷(－)－()35.在某地区，夏季高山上的温度从山脚起每升高100米平均降低0.8℃,已知山脚的温度是24℃,山顶的温度是4℃,试求这座山的高度.6.下列算式正确的是（）A.(－)2=B.23=2×3=6C.－32=－3×(－3)=9D.(－23)=－87.在绝对值小于100的整数中，可以写成整数平方的个数是（）A.18B.19C.10D.98.a,b互为相反数，a≠0，n为自然数，则()A.an,bn互为相反数B.a2n,b2n互为相反数C.a2n+1,b2n+1互为相反数D.以上都不对9．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两端捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，把这根很粗的面拉成很多细的面条，如图所示，这样捏合至第________次，可拉出128根细面条.10.若an>0,n为奇数，则a（）A.一定是正数B.一定是负数C.可正可负D.以上都不对B等级11.下列说法正确的是（）A.两个负数相加，绝对值相减B.正数加零，和为正数；负数加负数，和为负数C.两个数之和为负，积为正，则这两个数应是一正一负D.甲数减去乙数所得的差一定小于甲数12.下列计算不正确的是（）A.（）2=B.8÷×5=8÷C.－32×=－9×=－1D.4－（－5）×3=4+15=1913.－(－32)－|－4|的值为()A.13B.－13C.5D.－514.若x为有理数，则|x|+1一定是（）A.等于1B.大于1C.不小于1D.小于115.一个小于零的数等于它的倒数，那么这个数是________.16.把（－1.2）2，－1.53，（－0.2）3，－0.22按从小到大的顺序排列是________.17.生物学家指出：在生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量能够流动到下一个营养级，在H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中（Hn表示第n个营养级，n=1,2,…,6），要使H6获得10千焦的能量，需要H1提供的能量约为千焦（）A.106B.105C.10418.计算下列各题：（1）（－3）2－（－2）3÷（－）3；（2）（－1）·（－1）2·（－1）3…（－1）99·（－1）100.19.如果｜a+1｜+(b－2)2=0,求(a+b)39+a34的值.20.计算：（1）(－5)－(－5)×÷×(－5)（2）；C等级21.23表示（）A.2×2×2B.2×3C.3×3D.2＋2＋222.对于（－2）4与－24，下面说法正确的是（）A.它们的意义相同B.它们的结果相同C.它们的意义不同，结果相等D.它们的意义不同，结果不等23.已知|x－1|+（y+3）2=0,求（xy）2的值.24．据2006年末的统计数据显示，免除农村义务教育阶段学杂费的西部地区和部分中部地区的学生约有52000000名，这个学生人数用科学记数法表示正确的是（）A． B． C． D．25.观