函数和方程、数形结合

高中数学思想—函数和方程、数形结合知识点：函数与方程，数形结合的数学思想考点：几种常见题型：构造函数，不等式，最值问题，位置关系能力：变量间关系的理解和分析；数学语言与直观的图像结合方法：启发式教学重难点：变量间关系的理解和分析第一讲函数与方程思想1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。2．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。4．函数与方程思想解决的相关问题（1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。（2）方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：①解方程或解不等式；②带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用；③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系；④构造方程或不等式求解问题。5.导数函数在解题中常用的有关结论（需要熟记）：1、曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为。2、若可导函数在处取得极值，则。反之，不成立。3、对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。4、函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立（不恒为0）.5、函数（非常量函数）在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。（若为二次函数且I=R，则有）。在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立7、若，恒成立，则;若，恒成立，则8、若，使得，则；若，使得，则.9、设与的定义域的交集为D，若D恒成立，则有.10、若对、，恒成立，则.若对，，使得,则.若对，，使得，则.11、已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B，若对,，使得=成立，则。若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0.题型一（运用函数与方程的思想解决字母或式子的求值或取值范围问题）例1、若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围。变式：已知，分别为的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A.BCD题型二（运用函数与方程思想解决方程问题）例2、已知函数若与的图象在内至少有一个公共点，试求的取值范围。变式：设函数R. （I）求函数的最值； （Ⅱ）证明:当时，函数在区间内是否存在零点.题型三：（运用函数与方程思想解决不等式问题）例3、已知且那么（）变式：设不等式对满足m∈[-2，2]的一切实数m都成立，求x的取值范围．题型四（运用函数与方程思想解决最优化问题）例4、图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为,设AB=2x,BC=y.（Ⅰ）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；（Ⅱ）求当x取何值时，凹槽的强度最大.变式：一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比.（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？adadl例5、已知函数,，其中R.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（Ⅲ）设函数,当时，若，，总有成立，求实数的取值范围．变式：已知关于x的函数f(x)＝＋bx2＋cx＋bc,其导函数为f+(x)。.令g(x)＝,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.(Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-，试确定b、c的值：（Ⅱ）若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2:(Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。模拟训练1：1.已知正数x,y满足xy=x+9y+7，则xy的最小值为()(A)32 (B)43 (C)49 (D)602．方程有解，则m的最大值为（）(A)1 (B)0 (C)-1 (D)-23.一个高为h0，满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，当鱼缸口高出水面的高度为h时，鱼缸内剩余水的体积为V,则函数V=f(h)的大致图象可能是（）4.对任意a∈［-1,1］，函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零，则x的取值范围是()(A)1<x<3(B)x<1或x>3(C)1<x<2(D)x<1或x>25.若正实数a,b满足ab=ba，且a<1,则有()(A)a>b (B)a<b(C)a=b (D)不能确定a,b的大小6．已知圆上任意一点P(x,y)都使不等式恒成立，则m的取值范围是（）7.国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值v（美元）与其重量ω（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元.（1）写出v关于ω的函数关系式；（2）若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；（3）试用你所学的数学知识证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1∶1切割，价值损失的百分率最大.第二讲数形结合思想题型一：（利用数学概念或数学式的几何意义解题）例1、实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：（1）点（a,b）对应的区域的面积；（2）的取值范围；（3）(a-1)2+(b-2)2的值域．总结：如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：（1）连线的斜率；（2）之间的距离；（3）为直角三角形的三边；（4）图象的对称轴为x=．只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．题型二：（用数形结合求方程根的个数，解决与不等式有关的问题）例2、已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x+1)=f(x-1);②当x∈[-1,1]时，f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是（）(A)5(B)7(C)9(D)10变式：设有函数f(x)=a+和g(x)=,已知x∈[-4,0]时，恒有f(x)≤g(x)，求实数a的范围．题型三：（数形结合在解析几何中的应用）例3、已知椭圆的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若椭圆在第一象限的一点的横坐标为，过点作倾斜角互补的两条不同的直线，分别交椭圆于另外两点，，求证：直线的斜率为定值；（Ⅲ）求面积的最大值．题型四：（数形结合在立体几何中的应用）例4、如图1,在直角梯形中,,,,为线段的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.(Ⅰ)求证:平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值.变式：已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）。A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线模拟训练2：1.方程lgx=sinx的根的个数()(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个2．已知全集U=R，集合A={x|x2-3x-10<0},B={x|x>3},则右图中阴影部分表示的集合为()A．(3,5)B．(-2,+)C．(-2,5)D．(5,+)3．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0}，则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为（）(A)2(B)1(C)(D)4．函数图象如图，则函数的单调递增区间为（）A．B．－23yx0C．D．－23yx05．不等式组有解，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．6.设A={(x,y)|x2+(y-1)2=1},B={(x,y)|x+y+m≥0}，则使AB成立的实数m的取值范围是______.第一讲：函数与方程参考答案：例1解思路精析：用a表示b→根据b＞0，求a的范围→把ab看作a的函数→求此函数的值域。解析：方法一：（看成函数的值域）即a＞1或a＜-3.又a＞0,∴a＞1,故a-1＞0。当且仅当a-1=，即a=3时取等号.又a＞3时,a-1++5是关于a的单调增函数,∴ab的取值范围是[9,+∞).方法二(看成不等式的解集)∵a,b为正数,∴a+b≥2,又ab=a+b+3,∴ab≥2+3.即解得方法三:若设ab=t,则a+b=t-3,∴a,b可看成方程的两个正根.从而有,即解得t≥9,即ab≥9.变式：解略例2解思路精析：化简的解析式→令=→分离→求函数的值域→确定的范围解析：与的图象在内至少有一个公共点，即有解，即令=，当且仅当，即cosx=0时“=”成立。∴当a≥2时，与所组成的方程组在内有解，即与的图象至少有一个公共点。变式2解（I） 令 ……2分① ① 由①知f（x）无最大值. ……6分 （Ⅱ）函数f（x）在[m，2m]上连续. 上递增. ……8分 由 ……10分 又 根据定理，可判断函数f（x）在区间（m，2m）上存在零点. ………………12分例3解：先把它变成等价形式再构造辅助函数利用函数单调性比较．选B．设因为均为R上的增函数，所以是R上的增函数．又由，即，即x+y＞0．变式3解：此问题常因为思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论，若变换一个角度，以m为变量，使f(m)=，则问题转化为求一次函数（或常函数）f(m)的值在[-2，2]内恒负时，参数x应满足的条件．解：设f(m)=，则不等式2x-1＞m恒成立恒成立．∴在时，即解得，∴故x的取值范围是．例4解析：（Ⅰ）易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为.所以，得 -------4分依题意知：得所以，（）.--------------------6分（Ⅱ）依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有 ---------------8分.---11分因为,所以，当时，凹槽的强度最大.答:当时，凹槽的强度最大.--------------13分变式4解:（1）安全负荷为正常数）翻转，安全负荷变大.…4分当，安全负荷变小.（2）如图，设截取的宽为a，高为d，则.∵枕木长度不变，∴u=ad2最大时，安全负荷最大.，当且仅当，即取，取时，u最大，即安全负荷最大.例5、【解题指导】（1）第1问，一般利用导数来求函数的单调性，注意分类讨论；（2）第2问，一般转化为一个恒成立问题解决，最好利用分离参数法解答；（3）第3问实际上就是最值问题，等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”，所以先分别求出两个函数的最大值即可。【解析】（Ⅰ）的定义域为，且，--------1分①当时，，在上单调递增；----2分②当时，由，得；由，得；故在上单调递减，在上单调递增.----4分（Ⅱ），的定义域为-----5分因为在其定义域内为增函数，所以，而，当且仅当时取等号，所以-8分（Ⅲ）当时，，由得或当时，；当时，.所以在上，----10分而“，，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”而在上的最大值为所以有---------------12分所以实数的取值范围是----------------13分变式5解：（I）当时，有极大值，故，即为所求。（Ⅱ）【法一】：当时，函数的对称轴位于区间之外。在上的最值在两端点处取得。故应是和中较大的一个即【法二】（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外。在上的最值在两端点处取得。故应是和中较大的一个。假设，则将上述两式相加得：，导致矛盾，（Ⅲ）【法一】：（1）当时，由（Ⅱ）可知；（2）当时，函数）的对称轴位于区间内，此时由有①若，则，，于是②若，则。于是综上，对任意的、都有而当时，在区间上的最大值故对任意的、恒成立的的最大值为。【法二】：（1）当时，由（Ⅱ）可知；（2）当时，函数的对称轴位于区间内，此时，即下同解法1模拟训练1：参考答案1．2．3．【解析】选A.设鱼缸底面积为S,则V=f(h)=Sh0-Sh，故V=f(h)是一次函数且是减函数.4．【解析】选B.由f(x)=x2+(a-4)x+4-2a>0得a(x-2)+x2-4x+4>0，令g(a)=a(x-2)+x2-4x+4，由不等式f(x)>0恒成立,即g(a)>0在［-1,1］上恒成立.5．6．7.【解析】（1）依题意设v=kω2,又当ω=3时，v=54000，∴k=6000.故v=6000ω2.第二讲:数形结合参考答案：例1、思路精析：列出a,b满足的条件→画出点(a,b)对应的区域→求面积→根据的几何意义求范围→根据(a-1)2+(b-2)2的几何意义求值域．解析：方程x2+ax+2b=0的两根在区间（0，1）和（1，2）上的几何意义分别是：函数y=f(x)=x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间（0，1）和（1，2）内，由此可得不等式组由，解得A（-3，1）．由，解得C（-1，0）．∴在如图所示的aOb坐标平面内，满足条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC（不包括边界）．（1）△ABC的面积为（h为A到Oa轴的距离）．（2）几何意义是点(a,b)和点D(1,2)边线的斜率．由图可知（3）∵(a-1)2+(b-2)2表示的区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方，例2、思路精析：画出f(x)的图象→画出y=lgx的图象→数出交点个数．解析：选C．由题间可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数．又f(x)=lgx，则x∈（0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．变式2解：f(x)≤g(x)变形为→画出的图象→画出的图象→寻找成立的位置解：f(x)≤g(x)，即，变形得，令…………①，………………②①变形得，即表示以（-2，0）为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为，纵截距为1-a的平行直线系．设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为，则有tan=,,要使f(x)≤g(x)在x∈[-4,0]时恒成立，则②成立所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合，故有1-a≥6,∴a≤-5．例3解析：（Ⅰ）