让“量感”在数学探究中自然生长

［摘要］作为数学核心素养在小学阶段的主要表现之一，“量感”可谓“看不见、摸不着”，加之度量知識相对分散、割裂，难以引起教师的广泛关注与关联研究，成了小学数学教学中的盲点。以“度量单位”起始课教学为例，通过在表象建构的“浪漫经历”中培育量感、在深度体验的“递进估测”中发展量感、在推理比较的“以小见大”中衍生量感、在延续实践的“具象操作”中拓展量感，有效培养学生的定量思维。［关键词］量感；度量单位；数学探究；案例分析所谓量感，主要是指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知，建立量感有助于学生养成用“定量”的方法审视和解决问题的习惯，是形成抽象能力和应用意识的经验基础。史宁中教授指出，度量是人类创造出来的一种数学语言，是人们认识、理解数学本质和观察、分析、表达现实世界的工具，它包含度量需要、度量工具、度量单位、度量方法、度量结果等基本要素。度量单位是度量教学的核心内容，是学生量感建立与生长的重要载体，关联并有效建立学生量感、形成定量思维的意识与品质是度量单位教学的首要任务。培育学生的量感是“以学生发展为本，以核心素养为导向”的数学课程目标的重要组成部分。因此，在“度量单位”起始课教学过程中，尝试引领学生开展有效的表象建构、深度体验、推理比较、实践操作等相关探究活动，以促进学生量感的形成和发展，为数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养的培育与提升带来新的增长点。一、表象建构：在“浪漫经历”中培育量感英国著名数学家怀特海在《教育的目的》中指出：“‘浪漫阶段是个人认识事物与领悟的起始阶段，如果这一阶段认知不完整、体悟不充分、积累不丰富，将为精致化学习带来严重障碍和影响。”在教学“度量单位”时，教师要善于引导学生参与估测、验证、比划、想象等多种活动，让学生调动多种感官，经历度量单位表象建构的整个过程，变教师“搬运”为学生亲历，同时把度量单位与他们熟悉的事物关联起来，让他们充分感知度量单位的大小、长短、轻重等基本量态及累加过程，有效培育学生正确的量感。度量单位大多是一些起始概念，其认识、建构与内化等相关教学需要步步踩实、扎实推进，而不能匆匆带过。比如，“毫米的认识”一课教学中，教师要引导学生经历“四步”慢走建构“毫米”表象，再由表及里培育量感的过程。一是放手让学生试画1毫米，激活表象。教师引导学生在已经画好的1厘米线段图上，画出自己认为的1毫米的长度，并引导学生说一说这样画的理由，从而激活学生个人度量认知中与1毫米有关的生活经验，初步感知1毫米是比1厘米小的长度单位。二是在刻度尺上寻找1毫米，建立表象。教师引导学生借助刻度尺上标准的1毫米长度，与自己画出的1毫米相比较，修正自己经验里的1毫米，再引导学生在刻度尺上寻找更多的1毫米，得知3小格就是3毫米，5小格就是5毫米，进而让学生真正获得对1毫米或几毫米长度的正确感知。三是在学具中寻找1毫米，丰富表象。教师引导学生在自己熟悉的实物中寻找跟1毫米接近的物体，这需要学生将实物的宽度、厚度与自己刚建立起来的毫米表象两相对照，做出正确的选择。同时，教师要求学生用尺子验证一下自己的发现，进一步修正自己建立起来的1毫米表象。然后，教师把1元硬币放在拇指与食指之间，手指不动，抽出硬币，让学生观察拇指与食指间留下的细缝，由此深刻了解1毫米的实际长度。以此为参照，教师慢慢累加至10枚硬币，引导学生观察它们分别是几毫米，获得几毫米的相关长度观念，并与1厘米勾连在一起。最后，教师引导学生撇开实物，尝试比划几毫米，由同桌辅助测量、验证比划是否准确，直至伸手比划的长度接近准确值为止。这是将量感浸润在现实生活中去培养，也是对刚刚建立的量感的扩充与应用。四是想象“1毫米或几毫米有多长”，内化表象。教师引导学生闭上眼睛想一想1毫米或几毫米的长度，将其植入个人认知体系中，完成对1毫米或几毫米表象的内化。此时的1毫米、几毫米，就好比长在了学生手上，拿出来就可以使用。基于度量单位表象的建构，促使学生量感的形成与生长，这是度量单位教学的价值取向与关键所在。正因为如此，学生的探究、认知过程一般是比较慢的，慢在对学生认知规律的遵循，慢在对认知过程的延展，慢在组织学生参与不同层次的建构与经历活动。学生在经历“试画—寻找—验证—想象”等长线过程中，自主获得生动形象的感性认知，从理解概念内涵逐步拓展到认知概念外延，有效培养了学生的数学“量感”与“空间观念”。二、深度体验：在“递进估测”中发展量感每一类度量单位适用的情境与属性不同，教学侧重点自然有差异。长度单位、面积单位、体积单位等可直观“看”到，依托丰富的素材培养与发展学生的量感是其重点所在；克、千克等质量单位可以通过“掂”获得体感，侧重于在“做”的活动中体验。时间的度量单位不像长度、体积（容积）、面积单位具有可视性、外显性，故而时间单位的感知侧重于学生的内在感觉，只有将之科学合理地与某些活动建立起关联，以另外一种意义上的新标准为支架进行“度量”并由此变得可感知、可操作，引导学生充分锻炼数学思维，才能在深度体验替代性活动中培育时间量感，助力学生实现由“生活量感”向“数学量感”的转变。“分钟的认识”课堂上，教师可引导学生参与不同的替代性体验活动，利用数一数、做一做及递进估测等多种活动发展学生的时间量感，这样学生心中慢慢就会有“一杆时间秤”。1.数一数1分钟师：请小朋友伸出左手，然后把右手食指和中指压在左手腕的脉搏上（教师示范），你们感觉到了什么？生：一下一下在跳动。师：这是我们的脉搏在跳动，你们感觉到了吗？下面就让我们一边听1分钟长的滴答声，一边数一数自己脉搏跳动的次数，一起感受1分钟到底有多长。等滴答声响起，你们就开始数数。师：听过1分钟的滴答声，你有怎样的感受？生1：1分钟时间比较短，很快就过去了。生2：1分钟比课间的10分钟短很多，滴答声一会儿就结束了。师：1分钟之内，你的脉搏跳動了多少下？生1：我的脉搏1分钟大约跳动了73下，比滴答声快一些。生2：我的脉搏1分钟大约跳动了84下，确实是比滴答声快一些。2.做一做1分钟师：刚才，所有小朋友数脉搏都非常用心，个人感受也较为深刻。下面，就从做口算、抄写汉字中选择一项你喜欢的活动，一边听1分钟的音乐，一边口算或写字，看一看1分钟能做多少道口算题或写多少个汉字。音乐响起马上开始，音乐停止你也停止活动。下面就拿出口算纸或抄写纸，做好准备。师：开始，……停！数一数，你做了多少道口算题？或抄写了多少个汉字？生1：我1分钟抄写了25个汉字。生2：我1分钟做了31道口算题。生3：我写得快一点，1分钟抄写了34个汉字，今后我要写得慢一点，把每一个汉字都写得工整漂亮。师：1分钟时间虽然不长，但还是可以做很多事情的。铅笔厂1分钟可以生产600多支铅笔，银行职员1分钟能数出300多张人民币，央视播音员1分钟可以播报800个字。因此，我们要珍惜生命中的每一分、每一秒。3.估一估1分钟师：我们再来玩个游戏，请小朋友们闭上眼睛，用自己的办法估计感受1分钟，你觉得时间到了就请站起来。然后与老师播放的1分钟倒计时比较，看一看哪些同学的估计最接近1分钟。开始（老师播放1分钟无声时间计时条）。师：你是怎样估计1分钟的？你估计的时间与1分钟相比是多了，还是少了？生1：我数脉搏跳动的次数，数到74下的时候，我感觉1分钟到了，果然非常接近1分钟。生2：我用数数的方法估计1分钟，我数到67的时候，感觉1分钟到了，速度快了一些，估计的时间还不到1分钟。师：在估测的过程中，难免存在误差，只要接近1分钟，就是好样的。现在，我们用修正后的方法再来估一估1分钟。……4.估一估几分钟师：我们不仅要正确估计1分钟时间的长短，还要学会估计几分钟。请小朋友听一听我们学校的校歌旋律，估计一下，从音乐响起到结束大约几分钟？……在这样的教学中，教师引导学生利用数脉搏、做口算题、写汉字、估一估等多种活动，充分体验1分钟时间的长短，在间接感知、修正方法及体验积累过程中建立起正确的1分钟量感，促使学生将原本模糊不清的生活量感变成可数、可做的具体事物的多少。然后，运用刚刚建立起来的时间量感，去估测学校校歌旋律的播放时间，从一个单位延伸至几个单位，估测的结果越来越准确，学生的量感也得到了发展。这是对量感的内化、植入、提升与沉淀，为后面学习更大时间单位积累了丰富厚实的感知经验与活动经验。三、推理比较：在“以小见大”中衍生量感“体感”是人作为生物体的一种初级体验，体现在量感上就是借助身体器官对量的直接体验与感知，并由此而形成数学判断。但是，并非所有的量感都能够直接进行体验。比如，质量单位中的吨，面积单位中的公顷、平方千米等较大度量单位的教学，不可能像千克那样让学生动手掂一掂、称一称来获得体感，也不可能像平方厘米、平方分米那样让学生通过量一量、剪一剪、撕一撕来直观感知或者用手势比划其大小。在“平方千米的认识”教学中，教师可以借助学生已认识的平方米、公顷等度量单位，从选择学生熟悉的实物开始，在数学运算、合情推理与倍比过程中衍生出大度量单位的意义，并培育学生的量感。师：刚才，我们借助“1公顷”这一度量单位初步感受到1平方千米的大小，下面让我们利用算一算的方法，进一步感受1平方千米的大小。一个标准篮球场长28米，宽15米，它的面积是多少平方米？生：它的面积是28×15=420（平方米）。师：请同学们算一算，1平方千米大约相当于多少个这样的篮球场那么大？生：1000000÷420≈2381（个）师：想象一下，2381个篮球场合在一起有多大？我们的学校够大了吧，这样大的校园占地面积约是50000平方米，请同学们继续推算一下，1平方千米大约相当于多少个这样的校园那么大？生：1000000÷50000=20（个）师：刚才，用我们的校园或篮球场的占地面积与1平方千米相比较，你有什么感受？生1：1平方千米真是太大了。生2：我知道苏州拙政园全园占地面积大约是52000平方米，我感觉已经很大了。可是我通过计算发现，1平方千米大约相当于19个拙政园那么大。师：如果1平方米可站17人，那么1平方千米可以站下多少人？生：可以站下1000000×17=17000000（人）。师：17000000人比上海市2021年初户籍人口还要多。1平方千米可以站得下上海市所有户籍人口，1平方千米可真是太大了。我们江苏省的陆地面积约是107200平方千米，仅占中国土地总面积的1.12%，你能想象得出江苏省有多大吗？在这样的探究学习中，教师引领学生凭借已有知识经验和生活经验，把量感培育融入计算、类比、倍比与累加等合情推理中，借助小量的面积去感知大量的面积，积极参与一轮又一轮的数学思维活动，促进量感、数感的真正建立与有效内化，为核心素养培育与提升打下坚实的数学思维及推演活动基础，同时也将量感拓展到了现实生活之中。四、延续实践：在“具象操作”中拓展量感学生往往最能理解自己亲身参与、动手实践过的东西。量感的建立是一个引领学生基于实践、依托实践又必须超越实践的认知过程，最终指向对度量单位大小的直觉及空间想象。在“度量单位”的教学中，有些教师越俎代庖，必不可少的实践操作往往因时间与空间限制被教师讲解所替代，然而动手做过、用脚走过，远比用眼看过、用耳听过更利于学生对知识的理解和量感的培育。如对“升”和“毫升”的认识，在课前生活感知与课中实验操作的基础上，课后进一步设计实践活动，引导学生选择家中一个合适的容器并想办法测量它的容积。很多学生在测量的过程中没有现成的量杯，于是他们把土豆切割出棱长1厘米、2厘米等不同规格的小正方体，并借助这些小正方体运用“注水求差”“测量计算”“标记刻度”等基本方法，求得透明塑料瓶、玻璃杯等较小容器的容积，然后将其作为量杯，最终测量出所选容器的容积。学生数次独立、专注的测量操作的过程，不仅发展了自身的数学量感和空间观念，感悟到“量就是度量单位的累加”这一度量本质，更积累了丰富的数学活动经验，增强了数学实践及应用意识。再如“千米的认识”一课，教师可以安排学生亲身参与“走一走”“算一算”的实践体验活动。课前，要求学生在操场100米的跑道上走一走，数一数走了多少步，并由此推算出走1千米大约需要多少步。课后，让学生与家长一起实地走一走、算一算，看一看从校门口出发走到哪里的长度大约是1千米，并将自己走1千米的步数与家长走1千米的步数相对照。如此，学生基于深度思考化“步”为度量单位，对1千米的实际长度有了整体感知。利用周末等闲暇时间，组织学生在公园、广场等地方再