自动控制原理课件非线性系统讲义相平面

自动控制原理课件非线性系统讲义相平面§8.3.1相平面的基本概念(1)相平面和相轨迹(2)相轨迹的性质（运动方向，渐进线，开关线，奇点）

(3)线性二阶系统的相轨迹（分析一类非线性系统的自由响应）§8.3.2绘制相平面的等倾斜线法§8.3.3非线性系统的相平面分析

§8.3相平面法

第2页,共25页，2024年2月25日，星期天§8.3

相平面法（1）

§8.3.1相平面的基本概念

相平面：相轨迹：系统变量及其导数随时间变化在相平面上描绘出来的轨迹。由系统变量及其导数（如）构成的用以描述系统状态的平面。例1单位反馈系统(1)相平面和相轨迹第3页,共25页，2024年2月25日，星期天§8.3

相平面法（1）

(2)相轨迹的性质运动方向上半平面—

向右移动下半平面—

向左移动顺时针运动通过横轴时，以90°穿越

x轴设系统方程为：一个初始条件对应一条相轨迹第4页,共25页，2024年2月25日，星期天相轨迹上每一点切线的斜率为若在某点处和同时为零，即有的不定形式，则称该点为相平面的奇点奇点的位置？过奇点时系统运动的速度和加速度？过奇点的相轨迹个数？相轨迹从奇点处过x轴？(3)奇点

(平衡点)

：过普通点只有一条相轨迹，过奇点有多个相轨迹上斜率不确定的点第5页,共25页，2024年2月25日，星期天（4）相轨迹的绘制1、解析法当系统相轨迹方程比较简单或易于分段线性化时,可使用解析法求出相轨迹方程的解,再绘制相轨迹。方法：降阶，两边积分，或者线性化§8.3相平面法（1）第6页,共25页，2024年2月25日，星期天§8.3

相平面法（1）

例1第7页,共25页，2024年2月25日，星期天§8.3

相平面法（1）

极点分布二阶系统的相轨迹奇点相迹图中心点稳定的焦点稳定的节点鞍点不稳定的焦点不稳定的节点极点分布奇点相迹图(5)奇点的类型：特征根第8页,共25页，2024年2月25日，星期天

此外，若线性二阶系统的特征根一个为零根，另一个为负实根时，相轨迹为直线（常数项为0），线性收敛；若线性二阶系统一个根为零根，另一个根为正实根时，则相轨迹线性发散。对于非线性系统的各个平衡点，若描述非线性过程的非线性函数解析时，可以通过平衡点处的线性化方程，基于线性系统特征根的分布，确定奇点的类型，进而确定平衡点附近相轨迹的运动形式。当非线性方程在某个区域可以表示为线性微分方程时，奇点类型决定该区域系统运动的形式。若对应的奇点位于本区域内，则称为实奇点；若对应的奇点位于其它区域，则称为虚奇点。第9页,共25页，2024年2月25日，星期天§8.3

相平面法（1）

例2设系统方程为，求系统的平衡点xe，并判定平衡点附近相轨迹的性质。解令不稳定焦点线化特征方程鞍点第10页,共25页，2024年2月25日，星期天§8.3

相平面法（1）

例3系统方程为，分析系统的自由响应。解特征方程稳定焦点鞍点利用二阶线性系统的相轨迹分析一类非线性系统

奇点极点开关线第11页,共25页，2024年2月25日，星期天§8.3

相平面法（1）

例4系统方程为，分析系统的自由响应。解特征方程中心点奇点极点中心点开关线

——

划分不同线性区域的边界线平衡线（奇线）

——

不同区域的相轨迹相互影响而产生第12页,共25页，2024年2月25日，星期天§8.3

相平面法（1）

例5系统如右，已知，确定开关线方程，奇点位置和类型，绘制相平面图。解开关线方程线性部分非线性部分综合点第13页,共25页，2024年2月25日，星期天§8.3

相平面法（1）

中心点中心点区域运动方程奇点特征方程极点奇点性质奇点类型相轨迹以为中心的圆以

为中心的圆水平线响应第14页,共25页，2024年2月25日，星期天§8.3

相平面法（1）

开关线方程线性部分非线性部分比较点例6系统如右，，，分别讨论系统运动。整理在

I区：抛物线方程同理在

II区：当时，开关线为：解第15页,共25页，2024年2月25日，星期天§8.3

相平面法（1）

开关线(I)相轨迹图(II)系统方程第16页,共25页，2024年2月25日，星期天§8.3

相平面法（2）

解例7系统方程，用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。§8.3.2绘制相平面的等倾斜线法系统方程等倾斜线方程等倾斜线

——

相轨迹斜率为常数的曲线等倾斜线斜率？等倾斜线对应的斜率？第17页,共25页，2024年2月25日，星期天第18页,共25页，2024年2月25日，星期天相轨迹的渐进线在直线等倾线上，相轨迹的斜率为：等倾线的斜率为：若等倾线渐近线渐近线：特殊的等倾斜线，也是相轨迹线（只有线性系统才可能有渐进线)。第19页,共25页，2024年2月25日，星期天§8.3

相平面法（2）

非线性部分比较点例8系统如右，在平面上分析系统的自由响应运动。整理线性部分解第20页,共25页，2024年2月25日，星期天§8.3

相平面法（16）

第21页,共25页，2024年2月25日，星期天§8.3

相平面法（3）

各类极限环极限环

——对应二阶非线性系统的周期运动稳定的极限环不稳定的极限环半稳定的极限环第22页,共25页，2024年2月25日，星期天相轨迹的绘制1、解析法当系统相轨迹方程比较简单或易于分段线性化时,可使用解析法求出相轨迹方程的解,再绘制相轨迹。方法§8.3相平面法（3）第23页,共25页，2024年2月25日，星期天2、等倾线法（作图法）设二阶系统的微分方程为：斜率方程：令等