概率论课后习题解答

概率论—课后习题解答.中国农业出版社—刘金山著

习题1解答

1.写出下列随机试验的样本空间：

(1)记录个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分)；

(2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；

(3)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如

连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果；

(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.

解：(1)以n表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0,1,2,100n,所以该试

验的样本空间为

i|i0,1,2,,100n}.n

(2)设在生产第10件正品前共生产了k件不合格品，样本空间为

{10k|k0,1,2,},

或写成(10,11,12,).

(3)采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第

四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为

{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111).

1

(3)取直角坐标系，则有{(x,y)|x2y21},若取极坐标系，则有

{(1)01,02JT}.

2.设A、B、C为三事件，用A、B、C及其运算关系表示下列事件.

(1)A发生而B与C不发生；

(2)A、B、C中恰好发生一个;

(3)A、B、C中至少有一个发生;

(4)A、B、C中恰好有两个发生；

(5)A、B、C中至少有两个发生；

(6)A、B、C中有不多于一个事件发生.解：⑴ABC或ABC或A(BC)；

(2)ABCABCABC；

(3)ABC或ABCABCABCABCABCABCABC；(4)ABCABCABC.

(5)ABACBC或ABCABCABCABC；(6)ABCABCABCABC.

3.设样本空间{x|0x2},事件A{x0.5x1},B{x|0.8x1.6},具体写

出下列事件：

(1)AB；(2)AB；(3)AB；(4)AB.解：(1)AB{x|0.8x1}；

(2)AB{x|0.5x0.8}；2

(3)AB{x|0x0.5或0.8x2)；

(4)AB{x|0x0.5或1.6x2).

4.一个样本空间有三个样本点，其对应的概率分别为

，求P的值.2p,p2,4p1

解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以

2pp24p11.

解之得pl30

，所以P3p23,又因为一个事件的概率总是大于5.已知P(A)=0.3,P(B)=0.5,

P(AB)=0.8,求⑴P(AB)；

(2)P(AB);(3)P().

解：⑴由P(AB)P(A)P(B)P(AB)得

P(AB)P(A)P(B)P(AB)030.50.80.

(2)P(AB)P(A)P(AB)0.300.3.(3)

P()1P()1P(AB)10.80.2.

6.设P(AB)=P(),且P(A)p,求P(B).

解：由P(AB)=P()1P()1P(AB)1P(A)P(B)P(AB)得P(A)P(B)1,从

而P(B)1p.

7.设3个事件A、B、C,P(A)0.4,P(B)0.5,P(C)0.6,P(AC)0.2,P(BC)0.4

且AB，求P(ABC).

解：

3

P(ABC)

P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)

0.40.50.600.20.40

0.9.

8.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率.

解：依题意可知，基本事件总数为43个.

以Ai,i1,2,3表示事件“杯子中球的最大个数为i”，则A1表示

每个杯子最多放一个球，共有A43种方法，故

3A46P(A1)3.416

A2表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余

11C3种，故一个放入其余3个杯子中，放法总数为C32c4

11C32C4C39P(A2).4316

A3表示13个球放入同一个杯子中，共有C4种放法，故

1C41PCA3)3.416

9.在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少？

解：从0至9中任取4个数进行排列共有10X9X8X7种排法.其中有(4X9X8X7一

4X8X7+9X8X7)种能成4位偶数.故所求概率为

P498748798741.1098790

10.•部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列4

事件的概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五

卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中.

解：（1）第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意

排，所以p24!/5!2/5.

（2）可能有第卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在

左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以p23!/5!1/10.

（3）pP｛第一卷出现在旁边｝+P｛第五卷出现旁边｝-P｛第一卷及第五卷出现在旁

边｝2217.551010

（4）这里事件是⑶中事件的对立事件，所以P17/103/10.

（5）第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以P14!/5!1/5.

11.把2,3,4,5诸数各写在一张小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得

数是偶数的概率.

解：末位数可能是2或4.当末位数是2（或4）时，前两位数字从剩下三个数字中选排，所

以P2A32/A431/2.

12.一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停，乘客从

第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上

乘客在同一层离开的概率.

5

解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数

为97.事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各

有一位乘

A97客离开电梯”.所以包含A个样本点，于是P（A）797

9.

13.某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，设电台每正点是报时一次,

求他（她）等待时间短于10分钟的概率.

解：以分钟为单位，记上一次报时时刻为下一次报时时刻为60,于是这个人打开收音机的

时间必在(0,60),记“等待时间短于10分钟”为事件A,则有

(0,60),A(50,60)，于是P(A)101.606

14.甲乙两人相约812点在预定地点会面。先到的人等候另一人30分钟后离去，求甲

乙两人能会面的概率.

解：以X,Y分别表示甲、乙二人到达的时刻，那末8X12,8Y12；若以(X,Y)表示

平面上的点的坐标，则样本空间可以用这平面上的边长为4的个正方形

{(X,Y):8X12,8Y12}表示，二人能会面的充要条件是;XY|1

2,即事件

1A(X,Y):|XY|,8X12,8Y12.所以所求的概率为：2

1211624(A)15P(A)()1664

15.现有两种报警系统A和B,每种系统单独使用时，系统A有效的概率0.92,系统B的

有效概率为0.93,在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85,求

6

(1)这两个系统至少有一个有效的概率；

(2)在B失灵条件下，A有效的概率.

解：设A表示“系统A有效”，B表示“系统B有效”，则

P(A)0.92,P(B)0.93,P(B|)0.85.由P(B)P(B)P(AB)0.85知P(AB)0.862.

1P(A)

(l)P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.920.930.8620.988.

(2)P(A|)P(A)P(AB)0.920.8620.8285.1P(B)10.93

16.已知事件A发生的概率P(A)0.5,B发生的概率P(B)0.6,以及条件概率

P(B|A)=0.8,求A,B和事件的概率.

解：由乘法公式得

P(AB)P(A)P(B|A)0.50.80.4.

所以

P(AB)

P(A)P(B)P(AB)

0.50.60.40.7.

17.一批零件共100个，其中次品有10个.每次从中任取1个零件，取3次，取出后不

放回.求第3次才取得合格品的概率.

解：设Ai表示事件“第i次取得合格品”，则

P(12A3)P(1)P(2|1)P(A3|12)1099090.00835.10099981078

18.有两个袋子，每个袋子都装有a只黑球，b只白球，从第一个袋中任取一球放入第二

个袋中，然后从第二个袋中取出一7

球，求取得黑球的概率是多少？

解：设从第一个袋子摸出黑球A,从第二个袋中摸出黑球为B,则

P(A)alaba,P),P,,(B|A)()ablababab1

由全概公式知：

aP(B)P(B|A)P(A)P(BA)P().ab

119.一个机床有的时间加工零件A,其余时间加工零件3

B.加工零件A时，停机的概率是0.3,加工零件B时，停机的概率时0.4,求这个机床停

机的概率.

解：设C表示“机床停机”，A表示“加工零件A”，B表示“加工零件B”，则

1211P(C)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)0,30.40.367.3330

20.10个考签中有4个难签，3个人参加抽签考试，不重复地抽取，每人一次，甲先，乙

次，丙最后.证明3人抽到难签的概率相同.

证明：设甲、乙、丙分别抽到难签的事件为A,B,C,则，显然P(A)4.10

43644.10910910P(B)P(A)P(B|A)P()P(B)

P(C)

P(AB)P(C|AB)P()P(C|)P()P(C)P()P(C|)432643463654

1098109810981098

4.10

8

21.两部机器制造大量的同一种机器零件，根据长期资料总结，甲、乙机器制造出的零件

废品率分别是0.01和0.02.现有同一机器制造的一批零件，估计这一批零件是乙机器制

造的可能性比它们是甲机器制造的可能性大一倍，现从这批零件中任意抽取一件，经检查

是废品.试由此结果计算这批零件是由甲生产的概率.

解：设A表示“零件由甲生产”，B表示“零件是次品”，则

12P(A),P(),P(B|A)0.01,P(B)0.02.33

由贝叶斯公式有

10.01P(A)P(B|A)P(A|B)0.2.P(A)P(B|A)P()P(B)10.0120.0233

22.有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、

0.4.如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是，而乘飞机则不会迟到.结

果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？

解：用A1表示“朋友乘火车来”，A2表示“朋友乘轮船来”，

A3表示“朋友乘汽车来”，A4表示“朋友乘飞机来”,B表示“朋1413112友迟到了”.

则

P(A1|B)P(A1)P(B|A1)

P(A

k14k)P(BAk)l2

23.加工一个产品要经过三道工序，第一、二、三道工序不出现废品的概率分别是0.9、

0.95、0.8.若假定各工序是否出废品相互独立，求经过三道工序而不出现废品的概

率.9

解：设Ai,i1,2,3分别表示第一、二、三道工序不出现废品，则由独立性得

P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)0.90.950.80.684.

24.三个人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是0.2、1/3、0.25.求密码被破

译的概率.

解：设Ai,i1,2,3分别表示第一、二、三个人破译出密码，则由独立性得

P(A1A2A3)1P(A1A2A3)1P(A1A2A3)1P(A1)P(A2)P(A3)2

10.80.75

3

0.6.

25.对同一目标，3名射手独立射击的命中率是0.4、0.5和0.7,求三人同时向目标各射

一发子弹而没有一发中靶的概率？

解：设Ai,i1,2,3分别表示第一、二、三个射手击中目标，则由独立性得

P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)(10.4)(10.5)(10.7)0.09.

26.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机

被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中，飞机

必定被击落，求飞机被击落的概率.

解：设Ci,i1,2,3依次表示甲、乙、丙击中飞机，Ai,i1,2,3分

10

别表示有i人击中飞机，B表示飞机被击落，则

P(A1)P(C1C2C3)P(C1C2C3)P(C1C2C3)

0.40.50.30.60.50.30.60.50.7

0.060.090.210.36.

P(A2)P(C1C2C3)P(C1C2C3)P(C1C2C3)

0.40.50.30.40.50.70.60.50.7

0.060.140.210.41.

P(A3)P(C1C2C3)

0.40.50.7

0.14.

由全概率公式，得

P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)

0.360.20.410.60.141

0.458.

27.证明：若三个事件A、B、C独立，则AB、AB及AB都与C独立.

证明：(1)P((AB)C)P(AC)P(BC)P(ABC)

=P(AB)P(C).

(2)PABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(C).

(3)P((AB)C)P((AAB)C)P(ACABC)=P(AB)P(C).

28.15个乒乓球中有9个新球，6个旧球，第一次比赛取出了3个，用完了放回去，第二

次比赛又取出3个，求第二次取出的3个球全是新球的概率.

解：设Ai=第一次取出i个新球，i0,1,2,3,B表示第二次取出3个新球，则

33112333C6C9C62C9C83C6C9C7C9C6P(B)P(Ai)P(BAi)333333330.

089.C15C15C15C15C15C15C15C15i03

11

29.要验收•批100件的物品，从中随机地取出3件来测试，设3件物品的测试是相互独

立的，如果3件中有一件不合格，就拒绝接收该批物品.设一件不合格的物品经测试查出

的概率为0.95,而一件合格品经测试误认为不合格的概率为0.01,如果这100件物品中

有4件是不合格的，问这批物品被接收的概率是多少？

解：设Ai=抽到的3件物品中有i件不合格品，i0,1,2,3.B=物品被接收，则

P(B)P(Ai)P(B|Ai)

i0

3211203C96C96C4C96C4C96C43211230.9930.990.0530.990.0530.9900.0

53C100C100C100C1003

0.8629.

30.设下图的两个系统KL和KR中各元件通达与否相互独立，且每个元件通达的概率均为

P，分别求系统KL和KR通达的概率.

解：设A',B'分别表示系统KL与KR通达，（1）解法一

P(A')P{{[AB)C](DE)}F}

P(ACFBCFDEF)

P(ACF)P(BCF)P(DEF)P(ABCF)P(ACDEF)

P(BCDEF)P(ABCDEF)

p3p3p3p4p5p5p6

p3(3p2p2p3).

12

解法二：

P(A')P{{[AB)C](DE)}F}

P(F){P[(AB)C]P(DE)P[(AB)C(DE)]p[P(AB)P(C)P(D)P(E)P(AB)

P(C)P(D)P(E)]p[P(A)P(B)P(A)P(B)]pp3p4[P(A)P(B)P(AB)]p3(3p2

p2p3).

(2)

P(B')P[C(ADBE)(AB)C(DE)](1p)(p2p2p4)(pPp2)p(ppp2)

p2(22p5p22p3).

习题二参考答案

1.随机变量X的所有可能取值为：1,2,3,4,5,6,分布律为：

1136

PX1P〃1,1〃〃1,2〃〃1,3〃〃1,4〃〃1,5〃〃2,1〃〃3,1〃〃4,i〃〃

5,1〃〃6,1〃PX2P〃2,2〃〃2,3〃〃2,4〃〃2,5〃〃2：6〃〃3,2〃〃4,2〃

〃5,2〃〃6,2〃PX3P〃3,3〃〃3,4〃〃3,5〃〃3,6〃〃,3〃〃5,3〃〃6,3〃

PX4P〃4,4〃〃4,5〃〃4,6〃〃5,4〃〃6,4〃PX5P〃5,5〃〃5

,6〃〃6,5〃PX6P〃6,6〃

136

336

536

736

936

2.(1)；(2)

13

1.4

13

1n12

1

2

PX2,4,6,...111222226...lim

n0124132

2

PX31PX31PX1PX21111

2224

4

3.随机变量X的分布律为：

31PX0C22

C221132C1312C2C131C3,PX13,PX23

1535C1535C1535

因为F(x)P(Xx},那么

当x0时，F(x)P(Xx)P()0,当0x1时\F(x)P(Xx)P(X0)

2235

，当1x2时，

F(x)P(Xx)P(X0)P(X1)

223512353435

，当x2时，

F(x)P(Xx)

P(X0)P(X1)P(X2)22121

.353535

1

综合上述情况得

0x0;2235

0x1;随机变量X的分布函数为：F(x)34

1x2;

351

x2.

4.e1.

14

P

k1klimakelleklelela111e

ae1

5.(1)0.0729；(2)0.00856；(3)0.99954；(4)0.40951.设X表示设备被使用的

个数

则X飞5,0.1

2C520.10.90.072923(1)PX

(2)

PX3PX3PX4PX5

3二C50.10.9C540.10.9C550.10.9324150

15=0.00856(3)PX31PX

(4)

PX11PX54PX5二1C540.10.9C50.1=0.99954

40=1C500.9=0.409515

6.(1)0.321；(2)0.243.

设X为甲投篮中的次数，Y为乙投篮中的次数，则

(1)

PXYPXkPYkC3k0.60.4

kOk033k3kC3k0.70.3k3k0.32076

(2)

PXYPXkPXk

k1

33

PXkPYh

k1

3hOhk

C

klk30.60.4C3h0.70.3h0k3khkh3h

1232131211

C3C300.3C30.70.30.60.4C300.3C320.60.4

33122131C3C300.3C30.70.3C320.70.30.6

0.243

15

7.(1)1

70；(2)猜对3次的概率约为3104,这个概率很小，根

据实际推断原理，可以认为他确有区分能力.

(1)所求概率为：114C870

1飞10,70(2)令试验10次中成功次数为X,则X

167PX3C310470703

1037

猜对3次的概率约为3104,这个概率很小，根据实际推断原理，可以认为他确有区分

能力.

8.(1)e；(2)1e.

设X服从泊松分布，其分布率为：

t2et2PXk,2k!kt3252

03323e32e2(1)PX0,20!

525e5521e2(2)

PX1,1PX0,1220!05

9.解：此题为P=0.005的n重伯努利试验，设X为同时发生故障的台数，则

(1)设需要配备x个维修工人，设备发生故障不能及时排除的事200

P{Xx}kX~B(200,0.005),P{Xk}C200(0.005)k(l0.005)200k

件是{X

x},即kx1Ck200(0.005)k(l0.005)200kl6

而由于n=200,P=0.005,所以可以用泊松分布近似替代二项分析，入=叩=1。

查泊松分布表得x15,求得x4,即配备4人即可。X~B(40,0.005),

P{Xk}Ck(0.005)k(l0.005)40k

40P{Xx}0.Ole1P{Xx}0.01kxIk!

(2)

因维修工人只有一个，设备发生故障不能及时排除的事件是{X2},则有

P{X2}1P{X2}1P{X0}P{X1}

1(0.995)40400.0050.99539(0.2)0e0.2(0.2)e0.210!l!

11.2e0.20.0175

(3)由于是2人共同维修100台设备，这里n=100,P=0.005,A=np=O.5,则有

设备发生故障不能及时排除的事件是{X

kX"B(100,0.005),P{Xk)C100(0.005)k(l0.005)100k3),所以17

P{X3}1P{X3}1P{X0}P{X1}P{X2}(0.5)0e0.5(0.5)le0.5(0.5)

2e0.510!l!2!131e0.50.01448

10.0.2.

20.520.1P20.1x20.52220x'u20,22

11.(1)ln20.69315,1,Ini.250.22314；(2)

12.(1)

(2)

(3)a1,b1；2x1,，当1xef(x).0,其它x2f(x)xe,x0；

XFF

21n421n211111e2e2eln4eln4ln2ee424

1e222

13.(1)F(x)2x

0,x124,1x2；xl,x2

x当x1时，，f(x)0,所以，F(x)Odt0；

当1x2时，f(x)2(1l/x2),所以，18

F(x)lOdtx

2(1l/t2)dt2tx

1

2/t

12x2/x4.

当x1时，f(x)0,所以F(x)1

2

Odt12(1l/t2)dt2t2/t211综合上述得:

0,xIF(x)

2x

2

x4,1x2.1,x2

0,x0

x2

(2)

,0F(x)2

2x1x2x1,1x22

lx2当x0时，f(x)0,所以，F(x)x

Odt0；当2

0x1时，

f(x)x,所以，F(x)0

Odtx

tdttx

0

2

x22

当1x2时，f(x)=2x,所以,

(x)0

Odt1

tdt+x

22t2

Fl

2ttx

Oltdt

2

2

1

2

2

12xx

2122

2

x

2+2x1当x2时，f(x)0,所以,

F(x)0

Odt1

2

t2

1

Otdt+12tdt+Odt

2

2tt22

2

1

2

122222

21

21

综合上述得:

0,x0F(x)x2

2,0x1x2

2x1,1x22

lx219

501001et241,t014.FT(t)；P{50T100}e241e241.0,其他

当t0时,fT(t)0,所以，FT(t)Odx0；FT⑴二t

tfT(x)dxOdx01x241edxext01et024It

P{50T100}FT100FT50e50

241e100

241

15.0.9547.

当x1000时，f(x)0,所以,F(x)Odt0；当x1000时,f(x)1000,所

以x2

1000x10001000x1000,F(x)Odt110001000t2txx器件的寿命X大于

1500小时的概率：

10002pPX15001/p>

设k为器件的寿命X大于1500小时的个数,至少有2只寿命大于1500小时的概率

2112Pk21Pk0Pk11CC53

330

5051110.00410.04120.9547

34

16.当x0时，f(x)0,所以，F(x)Odt0；当x0时，f(x)

F(x)Odt0x0x1x/5e,所以5x01t/5edtet/5

51ex/5,

分布函数：

1ex/5

F(x)Ox0其他

某顾客离开的概率：

pPX101F1011e10/5e2以Y表示一个月内他未等到服

务而离开窗口的次数，则20

Y〜B(5,e2),即P{Yk}C5ke2k(le2)5k,k0,1,2,3,4,5；

PY01e250.4833

PY1Cie21e24

50.3782

PY2C2e221e23

50.1184

32322PY3C5e1e0.0185

PY4C4242

5e1e0.0015

PY5e254.54105

P{Y1}1P{Y0}0.5167

17.(1)0.5328,0.9996,0.6977,0.5；(2)c=3；(3)

(1)

P{2X5}=P2-3x353532-3

2x222

10.50.841310.69150.5328P{-4X10}=P-4-

3x3103-4310-3

2x222

3.53.50.999810.99980.9996P{X2}=PX2,X2

=Px323x

x323

2Px2

2.510.510.99380.69150.6977P{X3}=Px

3

x33

21010.50.5P{Xc}P{Xc}

Px3c3x3c3

22P22

1

⑵c3

2c3

2

c3

20.5

c3

20

c3

d0.42.21

(3)因为P{Xd}0.9,则

P{Xd}1P{Xd}1F(d)1(d3)0.92

即d3d3d33d0,那么0.1,可知

10.12222所以查表得，d0.42。

18.应允许最大为31.25.根据题意，X160

~N0,1，所以有,

P120X200200160

120160

240

10.80即40

0.91.28,从而40

1.28,31.25

故允许最大为31.25.

19.129.8.根据题意,X110

12~N0,1,所以有，

P{Xx}1x110

120.05即x110x

120.951.65,从而110

121.65.x129.8

20.0.682.

题意，考生外语成绩

X~N(,2),

其中72,且P{X96)0.023

于是：P{X96}1P{X96)10.0230.977又P{X96}①(96

)①(9672

)中(24

)

22

①(24

)0.977

查表知：①(2)0.977

由①(x)的单调增加性，得242,12

因此,X~N(72,122)

故

P{60X84}①(84726072)①()①⑴0(1)0(1)[1①⑴]2①

(1)11212

查表得①(1)0.841,

故P{60X84}20.84110.682

21.184厘米.

设车门的最低高度h根据题意，X170~N0,1,所以有，6

h170PXh10.016

即h170h1700.992.33,从而2.33,h18466故车门的最

低高度h为184.

22.(1)

处理后立即得到Y的分布率

(2)

23

处理后立即得到Y的分布率

23.(1)

PX1F1x1F(x1)0.3

PX1F1x2F(1x1)0.80.30.5

PX2Fx2F1x210.8

0.2

(2)

处理后立即得到Y的分布率

12e

x22

(x),Y2X1的分

24.(1)X的密度函数为fX(x)

布函数为

FY(y)P(Yy)P(2X1y)P(X

y1

)2

y12

fX(t)dt,y

FY(y)0,y0

24

y12

)2

2(

所以Y2X1的密度函数为

(y1)2/8

fY(y)X的密度函数为fX(x)

fY(y)

1.,y2

故

(2)

12

e

x22

(x),Ye

X

的分

布函数为

FY(y)P(Yy)P(e

-X

y)P(XIny)

Iny

fX(t)dt,y0

FY(y)0,y0

所以YeX的密度函数为

1(lny)2/2

e,

fY(y)2y

0,

(Iny)1

2.,y0fY(y)y

0,y0

2

yOy0

x22

(3)函数为

X的密度函数为fX(x)

12

e

(x),YX

2

的分布

FY(y)P(Yy)P(X2y)P(X

fX(t)dtfX(t)dt,y0

所以YX2的密度函数为

y/2,fY(y)0,

2y0

fY(y)

0,y0

yOy0

1

,0xf(x)

0,x0,x

25.X的密度函数为

25

⑴设Y21nX,则有

x

FY(x)P(Yx)P(21nXx)P(Xe)

x2

x2

x2

e2

fX(t)dto

fX(x)0

所以fY(x)efX(e),因此当x0及x时，由

fY(x)0；

知

当0x时，由fX(x)1知fY(x)

ly/2

e,所以所求密度函数为2

ly/2

e,y21n

;fY(y)2

21ny0,

(2)设YcosX,由于在(0,)区间上cosX是严格单调递减函数，则有

fY(y)fX(arccosx)(arccosx)

1

y

2

，当1y1时；

所以所求密度函数为：

1

,1y12fY(y)y

0,其他

⑶当0y1时，FY(y)P(Yy)P(sinxy)

P(0Xarcsiny)P(arcsinyX)

arcsiny

1

dx

arcsiny

1

dx

2arcsiny

2

,0y1

fY(y)y2.

0,其他

习题三参考答案

26

1.

3.128

P{xlXx2,ylYy2}=Fx2,y2Fx2,ylFxl,ylFxl,y2

P{1X2,3Y5)=F3,5F2,3F1,3F1,5

=12225225122232231212321

3121252153128

2.(1)有放回摸取时的分布律为

P{X0,Y0}

3355,P(X0,Y1}32

55P(X1,Y0)

2355,P{X1,Y1}22

55

(2)无放回摸取时的分布律为

P{X0,Y0}P2

332

P2

P{X0,Y1}

5

P25

P{X1,Y0}23

P22P2,P{X1,Y1}P2

5

5

3.(1)有放回摸取时，(X,Y)的边缘分布律为

27

(2)无放回摸取时，(X,Y)的边缘分布律为

此结果说明不同的联合分布律可以确定相同的边缘分布律，因此边缘分布不能唯•确定联

合分布.4.(1)

(

X,Y)的联合分布律为

(2)离散型随机变量X和Y的联合分布函数为

F(x,y)P{Xx,Yy}Fx,ypij

xixyiy

28

0,1,

F(x,y)2

5,61,

x1或y0;1x0,y0;x0,0y1;x0,y1.

5.

因为X与Y相互独立，所以

PXx,YyPXxPYy

1111

PX-2,Y-PX-2PY-=

2242

以此类推，得到下表

6.(X,Y)的分布律

29

(1)Y的边缘分布律P{Y4}p4pl4p24p34p4401001

6

6

由条件分布率

P{Xxi|Yyj)

pijpjpijpi

,i1,2,,j1,2,

P{Yyj|Xxi}

在Y4的条件下，X的条件分布律；

P{X1|Y4}OP{X2Y4}

16

1

0.61

1.61

0.

6P{X3|Y4}

⑵X的边缘分布律P{X2}p2p21p22p23p240由条件分布率

P{Yyj|Xxi)

pijpi

1110663

，j1,2,

在X2的条件下，Y的条件分布律；

P{Y1|X2}P{Y2|X2}

1

6

1

0.311.321

0.311.32

P{Y3|X2}0P{Y4X2}

16

30

7.(1)1

9；

xy)dxdy

0x1,0a(6y2

=a6xyx1x211

0dy

0y22

a6y1dy

0y22

a6yly212

22y|0

9a

9a=l,a1

9

(2)5

12；Fx,yxy

f(u,v)dudv

1

9xy

006uvdudv

ly12

906x2xvxdv

1

96xy1

2x2y1

2xy2

P{X0.5,Y1.5}=F0.5,1.5F0.5,0F0,0F0,1.55

12

(3)8

27.

8.(1)

f(x,y)2e(2xy),当x0,y0时，

0,其它，

31

F(x,y)yx

f(u,v)dudv

yx(2uv)dudv(1e2x)(1ey),y0,x0002e

0其它

(2)1

3.

P{XY}f(x,y)dxdy

Dxf(x,y)dxdyy

y

002e(2xy)dxdy

Oey[1e2y]dy

Oeydy

Oe3ydy112

33

9.由题意知命中点与靶心(坐标原点)

的距离为ZZ的分布函数，

当z0时:FzZP

ZzPz0

当z0时，

FzZP

ZzP

z

=f(u,v)dudv

z

1

u2v2z2(1u2v2)2dudv

令xrcos

yrsin,则变换的雅可比行列式为

Jrcosrsin

yysinrcosr,

r

故F2zrlz

zZOd0(121lz2

r2)221r211z21z2

a2

Fza1a2

32

10.(1)

因此(X,Y)的概率密度函数为：

14,(x0,0y2xl)f(x,y)20,其他14由x轴，y轴以及直线

y2x1所围成的三角形区域的面积B

(2)分布函数为：F(x,y)PX

1

2x,Yy(a)当x时，F(x,y)P0

(b)

33

当1

2x0时，

y0时，f(x,y)0,所以，F(x,y)00y2x1时，F(x,y)4S2y2xy

梯形4dxdy梯形12

2

y2x1时，F(x,y)4S4

三角形4dxdyx1

三角形2

(c)

当x0时，

y0时，f(x,y)0,所以，F(x,y)00y1时，F(x,y)4dxdy4s梯形

2y1y

梯形2

y1时，F(x,y)

三角形4dxdy4s三角形1

综上所述

0,x1或y0;2

y(4x2y),1x0,0y2x1

F(x,y)2;

y(2y),x0,0y1;.(2x1)2,1x0,y2x121

x0,y1.

11.

34

f(x,y)4,(1

2x0,0y2x1)0,其他

fX(x)

f(x,y)dy=2x1

04dy=4(2x1),

y1

fY(y)f(x,y)dx=24dx=2(y1),

所以

1

f4(2x1),x02X(x)；f(y)(1y),0y1；1.

0,2其它Y0,其它12.

f(x,y)3

2xy2,当0x2,0y1[1寸，0,其它，ff(x,y)dy=13xy31

2x

X(x)02xydy=2

02,

233x2y22

f2Y(y)f(x,y)dx=02xydx=43y2,

所以

x

f),0x23y2,0ylX(x；f

2Y(y).0,其它0,其它13.

f(x,y)4.8y(2x),当0x1,0yx时，

0,其它，f

X(x)f(x,y)dy=x4.8y(2x)dy=2.4(2x)y2x

002.4x2(2x),

35

xy2

fY(y)f(x,y)dx=4.8y(2x)dx=4.8y(2x)2.4y(32y)y2y2121

所以

2.4x2(2x),0x12.4y(34yy2),0yIfX(x)；fY(y).0,其它0,其

它

14.

由x轴，y轴以及直线y2(1x)所围成的三角形区域的面积B1,因此(X,Y)的概率密

度函数为：

1,0xl,0y21x；f(x,y)0,其他

fY(y)

f(x,y)dx=21x

01dx=21x

fY|X(y|x)=f(x,y)l=fY(y)21x所以

1,0y2(1x)fYX(y|x)2(1x).

其它0,

15.密度函数

2xyx，当0x1,0y2时，f(x,y)3

0,其它，

22xy2xy222fX(x)f(x,y)dy=xdyxy2xx

03603

12xy111312fY(y)f(x,y)dx=xdx=xxyy

033636012

36

xy

f(x,y)6x22xyfX|Y(x|y)===fY(y)2yy36

xyx2f(x,y)=3xyfY|X(y|x)==fX(x)2x22x6x2

3

1x2

P{Y1

2X1

2]=23y

0=610310y

5dy3y2

227

22lOy10

040

所以

f6x22xy3xyX|Y(x|y)2y；fY|X(y|x)6x2,0x1,0y2.

P{Y117

2X240.

16.(1)

因为PX0,Y0PX0PY0PX1,Y0PX1PY0

PX0,Y1PX0PY1PX1,Y1PX1PY1所以X和

Y相互独立；

(2)因为PX0,Y0PX0PY0所以X和Y不相互独立.17.

37

PX11

61

91

181

3

PX2112

33

若X、Y独立,则

PX2,Y2PX2PY2PY2二PX1,Y2

PX111

93=1

3

PX2,Y2=PY2PX1,Y2112

39=9

同理可得

PX2,Y3PX2PY3PY3=PX1,Y311

PX1183=1

6

PX2,Y3=PY3PX1,Y31

611

18=9

a2

9；b1

9.

18.习题12中

3

f(x,y)2xy2,当0x2,0y1时，0,其它，