新教材2021秋高中数学苏教版必修第一册学案：第6章对数函数

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6.3对数函数

第1课时对数函数的概念、图象和性质

1.能一描点法或借助计算工具Mi出具体对数函数的图象.

.2.探索并「解时数函数的单调件.

::3.学会用函数的图象和代数运算的方法研究对数函数的性质.

4.理解对数函数所蕴含的运算规律.

5.知道对数函数.、■—k>K“r可指数函数为反函数

份基础认知•自主学习《—

概念认知

1,对数函数

一般地，函数y=logax(a>0,arl)叫作对数函数，它的定义域是(0,+

g).

2.对数函数的图象与性质

⑴定义

一般地，设A,B分别为函数y=f(x)的定义域和值域，如果由函数y

=f(x)可解得唯一x=巾(y)也是一叙函数(即对任意一个yGB,都有唯

一的xGA与之对应),月陷掰x=巾(y)是函数y=f(x)的反函数，记

作x=f-i(y).

⑵函数与其反函数性质之间的关系

①图象：关于直线y=x对称；

②定义域与值域：原函数的定义域为其反函数的值域，值域为其反

函数的定义域；

③单调性：互为反函数的单调性相同.

自我小测

］

1.函数y=log2x在区间(0,2上的最大值是()

A.2B.1C.0D.-1

选B.函数y=logzx在(0,2］上递增，故x=2时，y的值最大，最大值

是1.

2.(2021・无锡高一检溯都寸数函数y=f(x)满足f⑷=2,则该又擞函

数的解+析式为()

A.y=log2xB.y=2log4x

C.y=log2x或y=2log4xD.不确定

选A.场寸数函数的解+析式为y=logax(a>0，且awl)，由题意可知嗨4

=2,所以a?=4,所以a=2.所以该对数函数的解+析式为y=log2x.

3.函数f(x)=In(1-x)的定义域是()

A.(0,1)B.［0,1)

C.(1,+oo)D.(-00,1)

选D.要使f(x)有意义，则1-x>0,

所以x<1,所以f(x)的定义域为(-g,1).

4.函数y=Inx的单调增区间是一,反函数是________.

y=InX的底数为e>l，故y=Inx在(0,+2上单调递增，其反函数

为y=ex.

答案：(0,+g)y=ex

5.设函数f(x)=logaX,则f(a+1)与f(2)的大小关系是_______.

当a>l时，a+1>2,f(x)=logaX是增函数，贝Uf(a+l)>f(2)；当0<a<l

时，a+1<2,f(x)=logaX是减函数,则f(a+l)>f(2).

综上,f(a+l)>f(2).

答案：f(a+l)>f(2)

6.若logo.i(l-a)>log0.i(2a-1),贝[Ja的取值范围是_______.

因为y=logo.ix是减函数目定义域为(0,+°°),所以0<1-a<2a-1,

fl-a<2a-1tn

即解得&<a<l.

11-a>0,§

答案：<a<l

7.已知函数f(x)=loga(x+3)在区间[-2,-1]上总有|f(x)|<2，求实数

a的取值范围.

因为x£[-2,-1],所以1WX+3W2.

当a>l时，logal<loga(x+3)<loga2,

卜>1.

即04f(x)$loga2.因为|f(x)|<2,所以《解得a>v2.当0<a<l

[loga2<2,

时,loga2<loga(x+3)<logal,

0<a<l,

即Ioga2$f(x)40.因为|f(x)|<2,所以J

Uoga2>-2,

解得0。<券.

综上可得，实数a的取值范围是，乎)U(3,+g).

》学情诊断•课时测评《

基础全面练

一、选择题

2

1.若loga§<1,则a的取值范围是()

(2](2、

A.[O,"B七，+刃

(2]『2]

C-,1D.0-U(1,+oo)

7\i)

、22

选D.由loga-<1得：loga§<logaa.

2_

当a>l时，有a>],即a>l；

2

当0<a<l时,则有0<a<~.

(2、

综上可知，a的取值范围是0,-U(1,+oo).

\a

2

2.函数f(x)=log3(x-x-2)的定义域为()

A.{x|x>2或x<-1}

B.{x|-1<x<2}

C.{x|-2<x<1}

D.{x|x>l或x<-2}

选A.由题意得：x2-x-2>0,

解得：x>2或x<-1,

所以函数的定义域是{x|x>2或x<-1}.

（

3.2021彳余州高一木佥则）设a=log25,b=log35,c=log32，贝[Ja,b,c

的大小关系为（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.c>a>b

（

选B.因为函数y=logsx在0,+8止单调递增，所以log53>log52>log5l

=0,

11、

而a=Iog25,b=log35，所以0<log35<log25,又因为

（

函数y=log3x在0,+8）上单调递增,所以log35>log32,所以

Iog25>log35>log32,即a>b>c.

4.（2021•廊坊高一检测）设a=Iog3e,b=log（e,c=e",贝U（）

2

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>a>b

1

选c.因为c:g,

111

2e

log3e>log33>log33=->0,

loggvlog]1=0,所以a>c>b.

22

5.若点(a,b)在函数f(x)=Inx的图象上，则下列点中，不在函数f(x)

图象上的是()

A.,-b]B.(a+e,1+b)

(e]

C.-,1-bD.(a2,2b)

选B.因为点(a,b)在f(x)=Inx的图象上，所以b=Ina,所以-b=In

1e,

一,1-b=In-,2b=2lna=Ina2,

aa

6.函数y=|也仅+1)|的图象是()

选A.由于函数y=Ig(x+1)的图象可由函数y=Igx的图象左移一个单

位而得到，函数y=lgx的图象与x轴的交点是(1,0),

故函数y=lg(x+1)的图象与x轴的交点是(0,0),即函数y=|lg(x+

1)I的图象与x轴的公共点是(0,0),考查四个选项中的图象只有A选

项符合题意.

7.侈选)设函数f(x)的定义域为D,VxeD,3yeD，使得f(y)=-f(x)

成立，则称f(x)为"美丽函数〃.下列所给出的函数，其中是“美丽函数〃

的是()

1

A.y=x2B.y=

x-1

C.y=In(2x+3)D.y=2x+3

选BCD.由题意知，函数f(x)的定义域为D,VxGD,3yGD，使得f(y)

=-f(x)成立,所以函数f(x)的值域关于原点对称,

对于A中，函数y=x2的值域为［0,+oo),不关于原点对称,不符合

题意；

对于B中，函数y=工的值域为(-g,0)U(0,+8),关于原点对

x-1

称，符合题意；

对于C中，函数y=In(2x+3)的值域为R,关于原点对称，符合题意；

对于D中，函数y=2x+3的值域为R,关于原点对称，符合题意.

8.(多选)黄同学在研究幕函数时，发现有的具有以下三个性质：①

奇函数；②值域是｛y|y£R且#0｝；③在(--,0)上是减函数.则以

下幕函数符合这三个，性质的有()

A.f(x)=x2B.f(x)=x

C.f(x)=x-1D.f(x)=x3

选CDAf(x)=x2,为偶函数，排除；

B.f(x)=x，值域为R,排除；

C.f(x)=x-1,为奇函数，值域为｛y|y£R且y4)｝，在(-—,0)±^减

函数，满足；

D.f(x)=x3,为奇函数，值域为｛y|yWR且y#0｝，在(-8,0)上是减

函数，满足.

二、填空题

I2a+Inx,x>l,

9.函数f(x)=的值域为R,则翊a的取值范围是

l^a+1-x2,x<l

由题意知，当x>l时,f(x)=2a+lnx>2a；

当x<l时,f(x)=a+l-x2<a+1.要使函数f(x)的值域为R，需满足2a<a

+1,即a<l.

答案：(-8,1]

10.函数y=loga(2x-3)+1的图象恒过定点P，则点P的坐标是

f2x-3=1,[x=2,

函数可化为y-l=loga(2x-3),可令所以彳即

ly-1=0,ly=i,

P(2,1).

答案：(2,1)

三、解答题

11.已知函数f(x)=loga(l+x),

g(x)=loga(l-x),(a>0,awl).

⑴设a=2,函数g(x)的定义域为[-15,-1],求g(x)的最大值.

⑵当0<a<l时，求使f(x)-g(x)>0的x的取值范围.

⑴当a=2时,g(x)=嗨(1-x),由-15,-1]上为减函数,

因此当x=-15时g(x)的最大值为4.

(2)f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x),所以

当0<a<l时logafl+X)>loga(l-X),

1+x<l-X,

满足<1+x>0,所以-l<x<0,故当0<a<l时f(x)-g(x)>0的角躁

<1-x>0,

为]x|-l<x<0(.

12.设函数f(x)=(log2x+2)(log2x+1)的定义域为1,4.

⑴若t=log2x,求t的取值范围；

(2)求y=f(x)的最大值与最小值，并求出取得最值时对应的x的值.

「1

⑴因为t=log2X,而xWz，4.

所以t的取值范围为log2^,log24^j=[-2,2].

(2)y=f(x)=(log2x+2)(log2x+1),

令g(t)=(t+2)(t+1)=t2+3t+2(-2<t<2).

因为g(t)在区间［-2,-I］上是减函数，在区间］［，2］上是增函

3

2-

数，所以当t=log2x=，即X=彳时，y=f(x)有最小值，最小值

为f*=g「|)=-4；当t=log2X=2,即x=4时，y=f(x)有最

大值,最大值为f(4)=g(2)=12.

综合突破练

一、单选题

1.若l0g(a-1)(2X-l)>l0g(a-i)(X-1),则有()

A.l<a<2,x>0B.l<a<2,x>l

C.a>2,x>0D.a>2,x>l

选D.当a>2时，a-1>1,

(2x-l>x-1,

由彳解得x>l；

[x-l>0,

当l<a<2时,Ova-1<1,

12x-l<x-1,

由无解.

12x-l>0,

2.已知函数f(x)在区间[0,+8)上是增函数，且g(x)=-f(|xI).若g(lg

X)>g⑴，则X的取值范围是()

A.[1,10)

f1]

B.110，J

fl、

c.W,10

1

D.77,1U(10,+8)

选C.由题意,因为g(-x)=-f(|x|)=g仅),所以g(x)为偶函数,

又因为f(x)是［0,+8)上的增函数,

所以g(x)是[0,+8)上的减函数，

又因为g(lgx)>g⑴,所以g(|lgx|)>g(l),

1

所以|lgx|<l,解得正<x<10.

ex(e)(2e)

3.已知函数f(x)=ln——，若蛾a,b满足f淅+f淅+

e_xyUN，/yuzi/

f77*+…+f2=505(a+b)，则a?+b?的最小值为()

UZJL/\ZUZ±7

A.2/B.4C.6D.8

exe(e-x)

选D.因为f(x)+f(e-x)=In------+In---------------=Ine2=2,

e-xx

(e)(2e1/3e、

所以f〔2021J+\202V+A2021>

/2020e][e](2020e^

V021J=%021J+Q2021J+

((2e、(2019eT

F1202L+\2021]+...+

[1010e]flOlle'l

+f)=1010x2=2020,

\2021JIzUZJ.)

所以505(a+b)=2020,

所以a+b=4,a2+b2=（a+b）2-2ab=16-2ab,

a+h]2

因为abW—=4,所以a2+b2>8.

k2>

二、多选题

4.已知0<a<b,a+b=1,则下列不爵t中，正确的是（）

卜1

A.log2a<0B.2a'b<^

ba

C.2ab<4D.log2a+log2b<-2

选AD.因为0<a<b且a+b=1,

所以0<a<b<l,-l<a-b<0,

1_

所以log2a<0,A正确；2a-b>2-1=5,B错误；

因为!+忘>2A/||=2（当且仅当号力，即a=b时取等号），又

dUdUdU

0<a<b,

所以9+3乂，所以2M>22=4,C错误；

因为ab«山2=!（当且仅当a=b时取等号）,又0<a<b,所以

\2）4

1

0<ab<~,

、1

所以log2a+log2b=log2ab<log2a=-2,D正确.

三、填空题

IgX,x>0,

5.设f(x)=j则f(f(-2))=________.

[10x,x<0,

因为f(-2)=10-2>0,f(10-2)=lgl0-2,

令Ig10-2=a,贝[Jl()a=I。-2,

所以a=-2,所以f(f(-2))=-2.

答案：-2

fx2+(4a-3)x+3a,x<0,

6.已知函数f(x)=《(a>0且awl)在R上

lloga(x+1)+1,x>0

单调递减，则a的取值范围是_______.

由分段函数在R上单调递减可得0<a<l,又因为二次函数图象开口向

4a-3

上，所以>0,

3

解得a<-,且得+(4a-3)x+3a]min(x<0)>

1

[loga(x+l)+l]max(x>0)，将x=0代入可得3a>l,解得a>-,所以a

如

的取值范围是[-1§,如.

生案•P-

口・3，4

7.设函数y=ax的反函数为f(x),则f(a+1)与f⑵的大小关系是

因为y=aX的反函数为f(x),所以f(x)=lOgaX.

当a>l时，a+1>2,f(x)=logaX是单调递增函数,

则f(a+l)>f(2)；当0<a<l时，a+1<2,

f(x)=logaX是单调递减函数,则f(a+l)>f(2).

综上f(a+l)>f(2).

答案：f(a+l)>f(2)

8.已知a£R且;>1，贝［J关于x的不等式loga(x2-5x+7)>0的解集为

因为aWR且:>1,所以0<a<l,y=logx在(0,+g)上递减,

da

因为不等式嗨俨-5x+7)>0=logal,

fx2-5x+7>0fx2-5x+7>0

所以，即,

[x2-5x+7<1[x2-5x+6<0

解得2<x<3,所以不等式的解集是(2,3).

答案：(2,3)

四、解答题

9.已知函数f(x)=logax(a>0,且awl)在­,2上的最大值为2.

⑴求a的值；

⑵若0<a<l,求使得f(f(x)-2)>0成立的x的取值范围.

(1)由题意，当a>l时，函数出X)=lOgaX在,2上单调递增，因此f(X)max

=f(2)=loga2=2,解得a=/；

1/ii

当0<a<l时函数f(X)=lOgaX在“2上单调递减因此f(X)max=

1

=l0ga[=2,

解得a=|.综上可知：a=啦或a=；.

(2)由不等式f(f(x)-2)>0,

即loga(f(x)-2)>logal,又0<a<l,根据对数函数的性质，可得0<f(x)

-2<1,即2<log；x<3,解得/<x<(.

_1-X

10.已知函数f(x)=loga------(a>0且awl).

1+x

⑴判断函数f(x)的奇偶性;

(2)求不等式f(x)>0的解集.

⑴由一>0得-1<X<1,函数的定义域关于原点对称，又f(-x)=

1-x

-lOga=-f(X),所以f(X)为奇函数.

1-X

(2)(i)当a>l时,由f(x)>0,即loga------>