苏州大学历年高等代数真题

2000年真题

1.(14分)设f(x),g(x),h(x)都是数域P上的一元多项式，并且满足：

(x4+l)/(x)+(x-l)g(x)+(x-2)〃(x)=0(1)

(x4+l)/(x)+(x+l)g(x)+(x+2)A(x)=0(2)

证明：£*+1能整除8&)。

2.（14分）设A是nXr的矩阵，并且秩（A）=r,B,C是rXm矩阵，并且AB=AC,证明：B=C。

r32-1

3（15分）求矩阵的最大的特征值乙，并且求A的属于4）的特征子空间的一组基。

4-2-22

、36-1

4（14分）设-2,3,-1是3x3矩阵A的特征值，计算行列式,3-64+11E,J.

5（14分）设A,B都是实数域R上的〃X〃矩阵,证明:AB.BA的特征多项式相等.

证明：要证明AB,BA的特征多项式相等，只需证明：=

6.（14分）设A是〃xw实对称矩阵，证明：A2-5A+7E”是一个正定矩阵.

证明：A是实对称矩阵，则A的特征值均为实数.

7.（15分）设A是数域P上的11维线性空间V的一个线性变换，设aeV,使A-#0,但是A"a=O,（其中n>l）.证明:

{<7,41,42&,...,4"-%}是丫的•组基.并且求线性变换A在此基下的矩阵，以及A的核的维数.

2000年真题答案

1、证明：(2)-(l):2g(x)+4/z(x)=0=>/7(x)=-gg(x)(3)

将(3)带入(1)中，得到：(x4+l)/(x)=-gxg(x)

,/X4+l与X互素,x4+l|g(x).

注：本题也可以把g,h作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。

2、证明：A6=AC,;.A(B—C)=O.

•••A是〃x/•的矩阵,R(A)=r,；.A是列满秩的矩阵，即方程4X=0只有零解.

.•.8-。=0,即8=。

3、解：|花一4|=(/1_2)2(/1+4),.,.4=2

当4=2时，求出线性无关的特征向量为0=(1,0,1)',$=(0,1,2)',

则构成儿的特征子空间,品多是z的特征子空间的一组基.

4、解：•••-2,3,-1是3x3矩阵A的特征值，不妨设a=—2自=3,4=—1,

则矩阵万一6A+11纥对应的特征值为：《=15,$=20,刍=16

故|屋一64+11纥卜15x20x16=4800

5、利用构造法，设4工0,令|叫=5-Bt

AE

(EO^E[E],两边取行列式得

I*147,0E--AB

|H|==忆E—A8].(1)

E-fiVE0](E--BA-BL两边取行列式得

LE卜4E”0E

\H\=E--BA

/t

由(1),(2)两式得(―)"—AB\\=^y\AE-BA\

：.\AE-AB\=\AE-BA\.（3）

上述等式是假设了％*0,但是（3）式两边均为；I的n次多项式，有无穷多个值使它们成立从而定是恒等式.

注：此题可扩展为A是加X〃矩阵，B是〃X”?矩阵，AB,BA的特征多项式有如下关系：A"\AEm-AB\=|2£„-BA\,这

个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester）公式.

6、设4为A的任意特征值，则A?—5A+7E”的特征值为彳=/I?—54+7=（丸―/）~+1>0.

故/P-5A+7纥是一个正定矩阵.

7、证明：•••A"T工0,A"a=0.令4a+/]（Aa）+...+/“T（A"Ta）=o.（1）

用A'T左乘（1）式两边，得到/o（Aia）=0.

由于A"1H0,.，./（）=0,带入（1）得/]（Aa）+=0.（2）

再用An~2左乘（2）式两端，可得乙=0.

这样继续下去，可得到4=乙=…=/,1=0.

/.a,Aa,A2a,...,A"~'a线性无关.

A(a,Aa,A2a,...,An~la)=(a,Aa,A2a,...,An~'a)(0°00、

1000

0100

、0010;

<00...00、

A在此基下的矩阵为

10...00

01...00

100...10>

可见,R(A)=n-1,dimkerA=n-(n-l)=l

即A的核的维数为1.

2001年真题

高等代数考研（01.2）A

f111...1P'123...〃-1n、

011...11012...〃-277—1

001...11001...〃-3n-2

1.（15分）设/=,B=

••••••••••••••••・•

000...11000...12

000...01,

k、000…01?

都是〃x〃矩阵。解矩阵方程4r=13。

'-143'

2.（20分）设/=-253，/是否相似于对角矩阵？如果相似

、4-4-2,

于对角矩阵，求可逆矩阵C,使得CT/C是一个对角矩阵。

3.（10分）设4，加，八s,都是非负整数。设〃x）=l+x+d+x3,

g（;c）=x4t+x4m^+x4r+2+x4i+3o证明：/（x）整除g（x）。

4.（10分）设48都是〃X〃矩阵，G是〃Xm矩阵，并且G的秩是

证明：如果4G=8G,则4=8。

5.（10分）设力是〃X"矩阵，并且力是可逆的。证明：如果力与

.47的所有的元素都是整数，则4的行列式是一1或1。

6.（10分）设“是〃X〃反对称矩阵，证明：一加是半正定的。

7.（15分）设力是〃X〃矩阵。如果加=&，并且（AT”）的秩是r,

A是否相似于一个对角矩阵？如果是，求这个对角矩阵。

8.（10分）设V是有理数域Q上的线性空间，V的维数是小,4与5

是V的线性变换。其中8可对角化，并且,48—区4=力。证明：存

在正整数阴，使得力加是零变换e

2002年真题

I23

1.（15分）设A=0j]〃一〃]都是〃X〃矩阵。解矩阵方程AX=BO

0I2n-2n-1

001n-3n-2

000•••1100012

、000…01,0000I,

43'

2.（20分）设A是否相似于对角矩阵？如果相似于对角矩阵，求可逆矩阵C,使得AC是一个对角矩阵。

A=-253

14-4-2,

2344m+14r+24J；+3

3.（10分）设％,“2",S都是非负整数。设f（X）=1+X+X+X,g（x）=x*+x+X+J£：«证明:

/（X）整除g（%）。

4.（10分）设A,B都是“X〃矩阵，G是八xm矩阵，并且G的秩是证明：如果AG=BG,则A=B。

5.（10分）设A是〃X〃矩阵，并且A是可逆的。证明：如果A与A-I的所有的元素都是整数，则A的行列式是一1或L

6.（10分）设A是〃x〃反对称矩阵，证明：一/P是半正定的。

7.（15分）设4是〃x〃矩阵。如果从2=£“，并且（A-E,）的秩是r,A是否相似于一个对角矩阵？如果是，求这个对角矩阵。

8.（10分）设V是有理数域上的线性空间，V的维数是〃，A与B是V的线性变换。其中B可对角化，并且AB-BA=A。

证明：存在正整数"2,使得A"'是零变换。

2003年真题

嚼州大学

二0。三年攻读硕士学位研究生入学考试试题

学才匕专业：..............，•比定方向：...............考试科£*

1.（24，）⑴.求.—…:臀—

（2）.设/（x）在有限开区间（Q）b）上连续，孙孙・・•，为W（a,6）.

1n

证明存在fe（a,6）,使得/⑹=-£/（叼）.

nj=l

1n2

92.（18，）设"）是（-8,+oo）上的无穷次可微函数./（±）=三7T

求心）（0）,上=1,2,…,.

23.（18，）设S是简单的封闭曲面，.分别计算曲面积分

j_ffzdydz+ydzdx+zdxdy

（rr2+y24-z2）l

,1.J,

•'•J

当原点在s之外和在s之内时的值，其中S取外侧.

!-/、.

4.（159利用平分号下积分法或积分号下微分法计算积分

,/+8cosax-cosbxt,

I=-------$------dx,其中6>a>0.

Joxz

5.（18，）设/⑺:殛缪可微，且Ji里世=0.证明：

OO-1£

⑴.£/（-）绝对收敛；

n=ln

'⑵.如果数例Ran｝满足皿=1+/（-）,则liman存在且大

-_-annn—8

于零.--------一

6.（180设月是nxn的实对称矩阵.证明如果凡是4的最

小特征值，则（>％）&+♦是正定矩阵.

汪怠：答案请不会做在求运仪上，

次卷佐号:

刘（|）页共（2）页

苏州大学

二00三年攻读硕士学位研究生入学考试试题

学科、专业:研完方向;

7.(21，)设P是一个数域，V是P上n维的线性空间，A

是V的一个线性变换，记W={Aa|a€V}.证明：如果

A5=3A2-6A,则V是A的核与W的直和.

8.(189设f3,/2(x),fn(z)是［0,1)上的连续函数.称

力㈤,/2(x),•­­,fn(z)在［0,1］上线性相关,若存在不全为零

的常数4C2,…,%,使得

n

£卬/⑸=o,xe[o,i].

>1

4*

证明：A⑺，延叫…，/n㈤在10,1］上线性相关的充要条件是

订;

线

汪怠：答案请不要他在送过长上,

武卷插号:第(2)页共(2)页

2004年真题

苏州大学

二00四年攻读硕士学位研究生入学考试试题

学科、专■业，研究方向：考试科目：高等代数（A）卷

一、（】5分）求满足下列条件的X

二、（13分）设尸是一个数域，/（z）是尸田中次数大于零的多

项式.证明：如果对于任何多项式/⑺，g{x},由〃Gr）|/（z）g（：r）可以推

出P（X）|/（3T）或者P（X）|Q（J?）.那么P（T）是不可约多项式.

三、（25分）设。是数域P上的n维向量空间V的一个线性变

换，d，证明：

1）a"1（0）={a—cr（a）|a€I"}.

2）V=a-^O）^cr（V）.

3）如果T是1/的线性变换，b-l（0）,<7（V）都是T的不变子空间，则

CTT=TCJ.

四、（20分）设。是数域P上向量空间V的一个线性变换，S

是a的属于特征值人的特征向量，向量蛆3-2,…，a,满足关系，

（。—A£7）a,+1=a,,i=1,2,•••,s—1,其中E是恒等变换，

证明，3,8,…，a.线性无关.

其、（20分）用正交线性格换化三元;三次型

/(a：i,x2,xs)=x,—2状—2x1—46工；\之4x,xs+8工2H3

为标准形，并给出所用的正交线性替换.

六、（15分）设4,6为两个n阶方阵，秩（4）=秩（B）="一1，

其中n>l,齐次线性方程组.4X=0与BX=0同解,证明，.4,的非

零列与B-的非零列成比例，其中A-和B-分别是.4,B的伴随矩阵.

七、（15分）设。，丁是n维欧氏空间V的线性变换，对任意a,

36V都有9（a）,/5）=（a,r（5））.证明，。的核等于7的值域的正交补.

八、（15分）设M是数域P上的n阶方阵（n>1）,f（x）,

g（H）€P[x],且（/（x）,5（x））=1,A=/（A/）,B=g（M）,W,WltW2分别是方

程组ABX=0,.4X=0,BX=0的解空间，证明：卬=IV,©W2.

九、（10分）设I，是数域尸上的n维线性空间，6T是丫的线

性变换，。有n个互异的特征值，证明，r与e可交换的充要条件是

,是，,。，小,…，的线性组合，其中，是恒等变换.

2004年真题答案

(15')求满足下列条伟欣

一二(15')设P是•个数域，p(X)是P[x]中次数大于0的多项式，

(10；证明：如果对于任何多项式f(x),g(x),由p(x)|f(x)g(x)可以推出p(x)f(x)或

X=02

02,p(x)g(x),那么p(x)是不可约多项式。

'-41-P证明：假设p(x)是可约多项式，则存在P1(X),P2(X)

=5

<2~22>使得p(x)=P](X)P2(X),且。(pi(x))<5(p(x)),i=l,2

取f(x)=p1(x),g(x)=p2(x),因此f(x)g(x)=p(x)

则p(x)|f(x)g(x)

但P(x)不整除f(x)且不整除g(x)与题设矛盾！

所以p(x)是不可约多项式

三(25')设。是数域尸上的〃维向量空间V的一个线性变换，。2=b,证明:

(1)o--1(0)={a-a)\aeV}

(2)丫=07(0)㊉b(V)

(3)如果「是V的线性变换，<T-'(0),b(V)都是邢J不变子空间，则有6二“

证明：(1)Va£V,贝ijcr(a-(7(a))=cr(a)=cr(a)-cr(a)=()

贝IIa-cr(a)£(T-1(0)ncr-l(O)3{a—(T(a)Ia£V}

2

又取y?wcrXO),cr(y9)=0,/?=/?-<T(y0)=>J3e{a-a)\aEV}

=>cr-,(O)q{a-cr(a)Ia£V}

所以cr'(0)={a~(T(a)\aeV]

(2)X/a£V,贝lja-cr(a)wcr-(0)

a=a-cr(a)+cr(a)e<T-,(0)+cr(V)

BPV=o-,(0)+o-(V)

任取〃£bT(0)Cb(V),则b(/?)=0

VaGV,使得〃=b(a)

从而尸=b(a)=。“。)二小c)=(j(0)=O

所以or"(0)c(T(V)={0}

因此V=07(0)㊉cr(V)

(3)因为。々((J),b(V)是由J不变子空间

VerGcr-,(O),pG<T(V),/GV,且了=a+/?

r(a)GCT",(O),r(y0)Gcr(V),cr(7(a))=0,K0))=r(

CTT(/)=cr(T(7))=cr(c(a+6))=cr(T(a)+K0))=b(r(尸))=K0)

(T(a)=0,

T(T(/)=r(cr(7))oQa邛))=r(cr(a)+cr(夕))=r(/?)

从而crr(/)=rcr(7)=>err=ra

四（20）设<T是数域P上的向量空间V的一个线性变换，%是（T属于特征值

X的特征向量，向量组%,a2,....凡满足关系

(cr-2E)%+1=%,i=l,2…s-1,其中E是恒等变换

证明：%,a2,as

证明：因为((T-2E)4+1=%

所以cr(Oi+P=。1+i=1,2…s-1

设k1%+k2a2+…+k,a,=0,即Vkj(z.=0

1=1

cr(k1%+k2a2++k、％)=0

5—1

k]b(%)+Zki+]CT(*+])=0,i=l,2…S-1

i=\

s-\s-1

n於四+Zki+«+ki+i%+i=0

f=lf=l

_S,一!_s

=>kj/+Zki+巴=0,由于kiaj=0

i=li=li=\

=>Zki+1%=0

i=l

So,k2al+k3a2+・・・+ks_]%=0

b(k2al+k3«2+…+ks.|«J=0

重复上述过程可得k3al+%%+…+ks一2as=0

继续重复上述过程，我们有卜％=0,因为%显然不为0,所以k,=0

从而我们有h%+k2a2+…+卜$.1%_1=0

再继续上面步骤，可得k-%=0=>k._]=0

由归纳法得％=1<2=…s士强

因此％,a2,....线性无关

五(20)用正交线性替换三元二次型

222

f(X],x9,x7)=X,-2X9-2X.,-4X,X9+4XIX^+8X9X..

为标准型，并给出所用的正交线性替换.

‘1-22、

解：设A为二次型矩阵，A=-2-24

<24-2,

令IXE—AI=0

1-22

即-2-24(4-2)2(2+7)=0

24-2

4,2=2,4=-7

对应于4.2=2的特征向量为。=(0,1,1),4=(2,0,1)

对应于4=-7的特征向量为=(1,2,-2)

正交化

令%=(0,1,1)

=(2,」」)

%=42

(«,,«,)22

%=(1,2,-2)

/\

021

从而令C=1--2

2

1--2

I2/

’200、

从而C'4C=020

、。0-7,

令X=CY

,,222

则f(X],x2,x3)=XAX=(Cr)A(Cr)=Y'C'ACY=2j,+2y2-7y3

六(15)设A,8为两个〃阶方阵,*A)=r(8)=〃-1,其中〃>1

齐次线性方程组AX=0与BX=0同解，证明：A*的非零列与B*的非零列的非零

列成比例，其中A*,B*分别是A,B的伴随矩阵.

证明：sincer(A)=r(8)=〃-1

so,r(A*)=r(B*)=1

because,AA*=\A\E0,BB*=\B\E=0

nA*的列向量是AX=0的解，8*的列向量是BX=0的解

For,AX=0与BX=0同解

设a是A*的非零列，〃是B*的非零列

=>a=k尸

七(15)设G7是n维欧式空间V的线性变换,对任意a/eV,都有

(cr(a),£)=(a,r(夕)),证明:cr的核等于了的值域的正交补

证明：Vackercr,so,cr(a)=O

n(a"(7?))=(Mz),0=(O,夕)=0

nacd(V)=>kercrc尸⑺.........................(1)

andR/3e尸(V),=(夕,«夕))=0

=>3尸),。)=(夕,「(夕))=0=>0-(/7)=0=>/?eker(T,

n”(V)ckercr........................................(2)

According(l)and(2)WeCanSee

T1(V)=kercr

八(15)设M是数域P上的〃阶方阵(〃>1)J(x),g(x)e,印且(f(x),g(x))=1

A=/(用),8=8(知),卬,”,卬2分别是方程组43*=0,4X=0,8X=0的解

空间,证明:c.

证明：⑴V/eWi,a2eW2

Aa,=0=>f(M)a,=0=>ABa,=f(M)g(M)a,==0

nawWn叱=W

同样吗

=>W1+W,uW

(2)hecause,(/(x),g(x))=1,5<?,3M(X),V(X)eP[x]

w(x)/(x)+v(x)g(x)=1n)/(M)+v(M)g(M)=E

VacW]nW2,Aa=0,8a=0,=f(M)a=0,g(M)a=0

=>)f(M)+v(M)g(M))a=Ea=a=0

nW]CW2={0}

(3)since,Wj+W2cW

so,dim(W]+W2)<dim(W)

Also,WjnW2={0}=>dim(W]+W2)=dim(Wl)4-dim(W2)

=>dim(Wt)+dim(W2)<dim(W)...........................(1)

Still,r(A)+r(B)</?+r(AB)

=>n-dimCWj)+n-dim(W2)W〃+〃-dim(W)

=>dim(W])+dim(W2)>dim(W)...........................(2)

From,(X)and(2).

dim(W1)+dim(W2)=dim(W)

also,WjnW2={0}

nW|CW2={0}

九(10)设丫是数域P上的n维线性空间，gT是V的线性变换，。有n个互异

的特征值,证明：r与o■可交换的充分必要条件是：r是E,b,4,...."I的

线性组合，其中E是恒等变换.

证明：n因为R=e,设4是b的〃个互异的特征值,％是属于4的特征向量

则名也是T的特征向量

(事实上，对于每个a.(i=1,2....〃)有))=)=T<y(a.)=))=~4四)=4了(%)

从而rQ)eV2，由于4互异,所以dim(以)=l,(i=1,2....〃)

故火也是丁的特征向量)

从而三对€V,使7(%)=%%,«=1,2....〃)

(4、

于是有....%)=(%,%....%)’.

'%]

武/,。2••…«„)=(apa2....%)..

、Mn>

%+44+........\~'xn=%

考虑方程组｛否+办2+......=〃2..........................(1)

为++....^n""'xn=wn

14…a，-

1/；Up...；

由于系数行列式I[(4-乙)#0(4互异)

l</<j<n

4…A/i

则方程组有唯一解,设为(a^a2.....aj

则+4a2+....=Mi，(，'=1，2.........«)

即(a1+44+....4"-4)a\~uiai

n_1

得(a]£+a2b(a)+....o„cr(a,))=r(a()

由于%4...%是V的一组基，因此r=ai£+a2a(a)+.....4。"1a)

所以r是E,b,....的线性组合

2005年真题

1、(20分)设A,B均为n阶方阵4中的所有元素均为1,B中的除元素为1外,其余元素均为0.问是否等价?是否合同?是否相似?为什么？

■/1O-35\■

401

2、(20分)设A=V、，y。V是的A最大的特征值。求A的属于v的特征子空间的基。

3、(20分)设f(x)是一个整系数多项式。证明：如果存在一个偶数m和一个奇数n使得f(m)和f(n)都是奇数，则f(x)没有整数

根。

4、(20分)设A是一个2nx2n的矩阵。证明：如果对于任意的2nX2矩阵8,矩阵方程都有解，则』是可逆的。

5、(20分)证明实系数线性方程组AX=B有解的充要条件是用它的常数项依次构成的列向量B与它所对应的齐次线性方程组AX=0的解空间

正交。

6、(20分)设A,B是nXn实对称矩阵，且A+B=E,E为单位矩阵。证明下列结论等价:

(1)AB=0,0为零矩阵(2)秩(A)+秩(B)=n

7、(20分)设V是复数域I：的n维线性空间，q,p是V上的两个可对角化的线性变换，且qp=pq。证明：

(1)如果k是q的特征值，那么V(k)是的不变子空间。(2)存在一组基使得q、p在这组基下的矩阵都是对角矩阵。

8、(10分)设A,B,C分别是mXm,nXn,mX〃矩阵(m>n)，且AC=CB,C的秩为r.

证明:A和B至少有r个相同的特征值。注意：7题中V(k)在原题中k为V的下标。

2006年真题

—,用正交线性替换将实三元二次型/(X1,々,刍)=x；-4X,X2+4X,X3-2X；+8X2X3-2x；变成标准形，并写出所用的非退化线性

变换。

21-2

二、设A=-25-4。A是否相似于.个对角阵？如果相似，则求出可逆矩阵C，使得AC为对角阵，且写出此对角阵。

1-15

三、设/（X）=Q〃X〃+・・・+〃/+。0是一个整系数多项式，证明：如果。”+0是一个奇数，则/（X）不能被X-1整除,

也不能被X+1整除。

四、设A是个〃义〃矩阵，证明：如果A的秩等于A?的秩，则齐次线性方程组AX=O与齐次线性方程组A2x=0同解。

五、设v是有理数域Q上的线性空间，id是v的恒等变换。乂设6是v的•个线性变换，证明：如果+55+〃/,则b没有

特征值。

,(Aa,a),,

六、设A是〃x〃实对称矩阵，b是A的最大的特征值。证明：对任意n维非零的实列向量a,都有~~~<b.

(a,a)

七、设V=F[X]5是F上全体次数<5的多项式及零多项式构成的线性空间。

\/f(x)eV,定义映射b(/(x))=r(x),其中/(彳)=(犬-l)q(x)+r(x),r(x)=o或deg(r(x))<2

a)证明映射b是V的一个线性变换。

b)求6在基｛1,x,J,/4｝下的矩阵。

8.设A,B都是〃X”矩阵，并且AB=BA。证明：如果A,B都相似于对角矩阵，则A+B也相似了对角矩阵。

2007年真题

化二次型/(为，々,X3)=2玉》2—2》2%3+2苞％3为标准型,并给出所用的非退化线性替换.

二，求三阶矩阵L26］的Jordan标准型.

1725

、0-2-7.

三，设a,£€R”且长度为2,矩阵A=E,,+aaT+幽,求A的特征多项式.

四，设A是〃阶反对称矩阵,E,为单位矩阵.证明：aE+A可逆设为设Q=(E+A)(E—求证。是正交阵.

五，设A是3阶对称矩阵，且4的各行元素之和都是3,向量a=(O,—1,1)，,£=(一1,2,-1)，是AX=0的解,求矩阵A的特征值，特

征向量，求正交阵。和矩阵B使得=A

六，设P是一个数域，P(x)是中次数大于0的多项式，证明：如果对于任意的/(X),g(X),若有

P(x)l/(x)g(x)n〃(知/(%)或者〃(刈8(x),那么P(x)是不可约多项式.

七，设欧氏空间中有a{,a,,---,%=l(/,。2,…，%)，吗=L(4％。2，3，%)证明：如果(4«)=°，

那么dimW2wdimW}

八，设。是几维欧氏空间中的个对称变换，则V=kero㊉b(V)

2007年真题答案

(011)

I.解所给二次型的矩阵为A=1()_［其特征多项式为/(/l)=UE-AI=(/i—l)2(/i+2).故特征值为

-10.

4=1,4=一2.

r

4=1，解对应的特征方程任一4/=0得％=(110),X2=(l01/.

4=一2,解对应的特征方程(一2E—A)X=0得X3=(-11l)r.

以X1,X2,X3作为列向量作成矩阵C.则C可逆,且CTAC为对角阵.

这时做非退化线性替换

%=玉+x2

«y2=xt+x3得/(%%，%)=城+%2-2%2.■

$=一/+乙+七

；+1-2-6、'100100、

2.解AE—A=-12-7-25，将其对角化为010.故A的若当标准形为1-10

2

1024+7,、00(2+1)(2-1)?、00L

'a、

3.解A的特征多项式为f(A)^\AEn-A\=林—1)纥一。/—砂1=(2-1)£„-8)

T

-22aaa，0、

(2-1)"(2-l)E2-(«/?)=(/l-ir(2-l)£2-

Fa"邛,

A.—1—6a—a，0

=(2-ir2=(/I—-102+25+(a，尸产).■

0ra4—1—，/?

4.证⑴A是反对称实矩阵，故其特征值为零或纯虚数.其实，假定；I是A的特征值，。是相应的特征向量.则

)=西n(JA)T=(恁1=斯'=>"I'==―夕双尸=—石乒，又

=44己'，故之=—N，这说明4是零或纯虚数.由此得IE+AIW0,因而E+A可逆.

⑵由⑴知E-A可逆,这说明Q有意义而Q，=(E+4尸(E—A),因此

QrQ=(E+A)-'(£-A)(£+A)(E-A)(E+A)T(E+A)(£—A)(E—A)T=E.故。是正交矩阵.■

5.解依题意有

0-1nfo03、0030-1111\

A-121003因而A-00-121111

1-11-1111

I9037007J7

其特征多项式为f(2)=1AE-A1=zl2(/l-3).故特征值为4=0,4=3.

rr

⑴4=0,解特征方程一AX=0得X]=(-1,0,l),X2=(-l,l,0).特征向量为/[X]+l2X2.

⑵否=3,解特征方程(3E-A)X=0得X3.特征向量为4X3.

GV3V3

以上/],4，,3£R.把向量X1,X2正交并单位化得=(―,,〃2=.把向量X3单位化得

2万@272

以7，〃2，〃3作为列向量作成矩阵P则P为正交矩阵且

—1

-O

正

至

Fo0

o正

o0BQ7V&3V3

-----一

o，则。满足Q'BQ=A.・

O312V2

2V12・

V3

V3

6.证假设p(x)可约，不妨设p(x)=P[(x)p2(x),其中0<3(P](x),P2(x))<3(p(x)).这时显然有p(x)lP](x)p2(x),

但不可能有p(x)I0|(x)或者p(x)Ip2(x).这与题设矛盾,故假设错误.因而p(x)不可约.■

7.证依题显然有W|U%,假设dimW2=dimW]，则叱=吗•于是月€叱，这说明夕可被名，。2,…，%线性表出.记

£=/乌+/2a2+.•.+/”&给上式两边同时计算〈£,/?)得〈£,用=0，于是£=0,与题设矛盾，故假设错误，原命题

dim%。dim叱成立.■

8.证对于任意的awkerb及任意的型EOV,有〈a,o»)=〈m,〃)=0,于是有

kera_LaV,因而keraAaV={0}.又dimkera+dimaV=n,于是

dim(kercr+crV)=n,故V=ker。㊉crV.

2008年真题

一、（20分）计算”阶行列式

210«••0000

121•••0000

012•••0000

*

000•••0121

000•••0012

二、（20分）设实二次型/=咛+状+n+2“g工2+工1工3+工2工3）.问当t取

何值时，/是正定的，半正定的？

/300\

三、（20分）设力=1-114卜求⑴d的初等因子；⑵<的Jordan

标准我♦攵）

四、（如分）设n维线性空间V上的线性变换c的最小多项式与特征多项式

相同.求证：必存在某个aW匕使得。.武。）,，（6）,・一3”一（。）为卜

的—基.

五、（20分）设4,B都是mx“矩阵，线性方程坦4X=0与BX=0同

解，则4与B的行向，组等价.

六、（20分）设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向■a=（-1,2,-1）?；0=

（0,-1J）r是线性方程蛆4X=0的两个解.

（1）求同的特征值与特征向量；

（2）求正交矩阵Q和对角矩阵B,