第17讲圆锥曲线中的阿基米德三角形（高阶拓展）（教师版）

第17讲圆锥曲线中的阿基米德三角形（高阶拓展）（核心考点精讲精练）命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为512分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线阿基米德三角形的定义2.理解、掌握圆锥曲线的阿基米德三角形问题及其相关计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习知识讲解椭圆中的阿基米德三角形设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的弦为AB,过A，B两点做椭圆切线，交于Q点，称△ABQ为阿基米德三角形,则有:

性质1:弦AB绕双曲线中的阿基米德三角形设双曲线C:x2a2−y2b2=1a,b>0的弦为AB,过A，B两点做双曲线切线，交于Q点，称△ABQ为阿基米德三角形,则有:

性质1:弦抛物线中的阿基米德三角形抛物线的弦为AB,阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C,则另一顶点Q的轨迹为一条直线若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点(若直线l方程为:ax+by+底边为a的阿基米德三角形的面积最大值为a3若阿基米德三角形的底边过焦点,顶点Q的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积最小值为p在阿基米德三角形中,∠AF⋅抛物线上任取一点I(不与A,B重合),过I作抛物线切线交QA,QB于S,T,连接考点一、阿基米德三角形的认识及简单应用1．（2022·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，又常被称作阿基米德三角形．的面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设出直线的方程，利用弦长公式求出弦长，求出两条切线的方程得出点的坐标，利用三角形的面积公式可得.【详解】设，，由题意可得直线AB的斜率不为0,因为直线AB过焦点，所以设直线AB的方程；联立得，所以，由抛物线的性质可得过点，的抛物线的切线方程为：，联立得，，即.点到直线的距离，当且仅当时取到最小值.故选：C.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，结合韦达定理求解弦长，根据点到直线的距离求出三角形的高，根据面积公式的特点求出最值，侧重考查数学运算的核心素养.2．（2023·甘肃·高三校考阶段练习）抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：①点必在抛物线的准线上；②．若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，得到点，进而得到直线的斜率，再由，得到直线的斜率即可.【详解】设抛物线的焦点为，由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，因为为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，所以点必在抛物线的准线上，所以点，直线的斜率为．又因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故选：A．3．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（Archimedes，公元前287年公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于面积的）．若抛物线方程为，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】D【分析】根据题目所给条件可得阿基米德三角形的面积，再利用三角形面积公式即可求解.【详解】由题意可知，当过焦点的弦垂直于x轴时，即时，，即，故选：D．4．（2023·新疆克拉玛依·克拉玛依市高级中学校考模拟预测）我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质：①P点必在抛物线的准线上；②；③．已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形”的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件求出直线PF方程，进而求出点P坐标及长即可求出的面积.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，直线经过抛物线的焦点，依题意，，设，，由消去y并整理得，则，，，解得，即，当时，因为“阿基米德三角形”，则直线PF斜率，直线PF方程为：，点P必在抛物线的准线上，点，，又，于是得，由对称性可知，当时，同理有，所以的面积是.故选：A1．（2022秋·广东茂名·高三统考）阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的物理学家，数学家和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理．在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．若抛物线上任意两点处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，且当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）；（3）．若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点在直线上，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根据题意可得到点在抛物线的准线上，又在直线上，从而可求出点的坐标；根据，即可求出直线的斜率，从而可求出直线的方程.【详解】根据题意，可知点在抛物线的准线上，又点在直线上，所以，又，所以，因为，所以，所以直线的方程为，即.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）我们把圆锥曲线的弦与过弦的端点，处的两条切线所围成的三角形（为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”，抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下性质：①点必在抛物线的准线上；②；③.已知直线：与抛物线：交于，点，若，记此时抛物线的“阿基米德三角形”为，则点为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，，求出过点的切线方程，两方程联立方程组解得点坐标，直线的方程代入抛物线方程，应用韦达定理得，由焦点弦长公式求得，从而可得点坐标．【详解】设，，过点的切线方程为，由得，，，，切线方程为，化简得，同理过点的切线方程是，由，得，由，得，，，直线过焦点，所以，，，异号，所以，，，所以．故选：A．3．（2022·全国·高三专题练习）阿基米德（公元前287年公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论不正确的是（

）A． B．C． D．点P的坐标为【答案】D【分析】联立方程可解得，则，根据导数可得，可判断，利用点斜式可求得两条切线方程和，联立求P，再求，可判断．【详解】联立方程，消去得：，解得或即，则，A正确；∵，即对于，切线斜率分别为∴，即，B正确；在点A的切线方程为，即同理可得在点B的切线方程为联立方程，解得，即P，D不正确；∵，则，∴，即，C正确；故选：D．4．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于P.给出如下结论，其中正确的为（

）（1）若弦过焦点，则为直角三角形且；（2）点P的坐标是；（3）的边所在的直线方程为；（4）的边上的中线与y轴平行（或重合）.A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）【答案】D【分析】设，，，由导数的几何意义得切线斜率，利用焦点弦性质得，正确；写出切线方程，联立求出点坐标，得（2）错误；用两点坐标表示出，写出直线方程，并化简可得（3）正确；设为抛物线弦的中点，立即得（4）正确；【详解】由题意设，，，由，得，则，所以，，若弦过焦点，∴，∴，∴，故（1）正确；以点为切点的切线方程为，以点为切点的切线方程为，联立消去得，将代入，得，所以，故（2）错误；设为抛物线弦的中点，的横坐标为，因此则直线平行于轴，即平行于抛物线的对称轴，故（4）正确；设直线的斜率为，故直线的方程为，化简得，故（3）正确，故选：D.．【点睛】本题考查直线与抛物线相交，考查导数的几何意义，焦点弦性质，考查学生的推理论证能力，属于中档题．考点二、阿基米德三角形之定点问题1．（2023秋·江西上饶·高三统考期末）（多选）若，，点满足，记点的轨迹为曲线，直线，为上的动点，过点作曲线的两条切线，，切点为，，则下列说法中正确的是（

）A．的最小值为B．直线恒过定点C．的最小值为0D．当最小时，直线的方程为【答案】ABC【分析】由题知，点的轨迹曲线为，对于A，即可判断；对于B，设，根据条件得到直线，由，得，即可判断；对于C，根据条件得到，为全等的等腰直角三角形，得，即可判断；对于D，求出四边形的面积，得到A和B的坐标,即可判断.【详解】设，因为，，点满足，所以，即，化简得，所以点的轨迹曲线为，圆心为，半径.对于A，因为直线，为上的动点，过点作曲线的两条切线，，切点为，，设圆心到直线l的距离为d,所以，故A正确；对于B，设，则，所以，以为圆心，为半径的圆的方程为，①因为为，②由①，②相减,得直线，即，由，得，所以直线恒过定点，故B正确；对于C，因为，，根据几何性质可知，，在中，，因为，所以，所以此时，为全等的等腰直角三角形，所以，，即有，所以，所以的最小值为0，故C正确；对于D，因为四边形的面积为，此时四边形为正方形，，所以直线的方程为，故D错误.故选：ABC.2．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为为的中点.（1）证明轴；（2）直线是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）直线恒过定点．【分析】（1）设切点，，求出导数，由此可得切线斜率，得切线方程，同时设，代入切线方程并整理，同理得方程，从而可得是方程的两根，利用韦达定理得，求出点横坐标可证得结论；（2）利用（1）再求得点纵坐标，由两点坐标求得直线的斜率，然后得出直线方程后可得定点坐标．【详解】（1）设切点，，，∴切线的斜率为，切线，设，则有，化简得，同理可的∴，是方程的两根，∴，，，∴轴.（2）∵，∴..，∴直线，即，∴直线过定点.【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，考查导数的几何意义，方法是设切点，，设动点坐标，把点坐标代入两切线方程得出是一元二次方程的根，利用韦达定理得出，这样可得中点坐标，由中点坐标写出直线方程可得定点坐标．是设而不求思想的运用．3．（2021·北京·高三专题练习）抛物线，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，.（1）证明：直线过定点；（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）或.【解析】（1）设点，，，利用导数求出切线的斜率，再利用斜率公式求出切线的斜率，进而求出直线的方程，从而可证明直线过定点；（2）将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理，求出点坐标，借助向量垂直的坐标运算，求得或，进而求得圆的面积.【详解】（1）设，，则，由，所以，所以切线的斜率为，故，整理得，设，同理可得，所以直线的方程为，所以直线恒过定点.（2）由（1）得直线的方程为，由，得，，，设为线段的中点，则，由于，而，与向量平行，所以，解得或，当时，圆半径，所以圆的面积为，当时，圆半径，所以圆的面积为.所以，该圆的面积为或.【点睛】本题考查了直线过定点问题及直线与抛物线的位置关系，其中涉及到利用导数求切线的斜率、斜率公式及向量垂直的坐标运算，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.4．（2023·湖南岳阳·高三校考）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）或．【解析】（1）设，则，利用导数求斜率及两点求斜率可得设，同理可得，从而得到直线AB的方程为，再由直线系方程求直线AB过的定点；（2）由（1）得直线AB的方程为，与抛物线联立，利用中点坐标公式及根与系数的关系求得线段AB的中点，再由，可得关于的方程，可得到t=0或，然后分类求得结果.【详解】（1）设，则．由于，所以切线DA的斜率为，故．整理得设，同理可得．故直线AB的方程为．所以直线AB过定点．（2）由（1）得直线AB的方程为．由，可得．于是．设M为线段AB的中点，则．由于，而，与直线AB的方向向量平行，所以．解得t=0或．当=0时，=2，所求圆的方程为；当时，，所求圆的方程为．【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小，属于中档题．1．（2023秋·山东临沂·高三校考期末）已知，动点满足，动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若点是直线上的动点，过点作曲线的两条切线，切点为，则直线是否过定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.【答案】(1)(2)过定点，定点【分析】（1）点点距离，列等量，化简即可求解轨迹方程，（2）根据四点共圆得方程，进而根据两圆方程得相交弦方程，进而可求定点.【详解】（1）设点，依题意知，整理得，曲线的方程为.（2）设为坐标原点，由题意可知：四点共圆且在以为直径的圆上（对角互补的四边形的四顶点共圆），设该圆为圆,设，则圆心，半径，于是圆的方程为：即，又在圆上，即，（直线是两圆的公共弦所在直线，故两圆方程相减便得其方程）.由得所以直线过定点..2．（2023·辽宁大连·高三校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知两个定点，动点满足，设动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若直线与曲线交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线的斜率；(3)若点是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点.【答案】(1)；(2)；(3)过定点.【分析】（1）利用两点间距离公式列式化简作答.（2）求出点到直线距离，再利用点到直线距离公式计算作答.（3）设出点的坐标，求出直线的方程即可推理作答.【详解】（1）设点的坐标为，由，得，整理得，所以曲线的轨迹方程为.（2）依题意，，且，则点到边的距离为，于是，解得，所以直线的斜率为.（3）依题意，，则都在以为直径的圆上，而是直线上的动点，设，则圆的圆心为，圆的方程为，即，又因为在曲线上，由，得，因此直线的方程为，即过定点，所以直线是过定点.3．（2023秋·山西太原·高三校考期末）已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）把已知条件用坐标表示，并化简即得的方程；（2）设，，，利用导数得出切线的方程，由在切线上，从而可得直线的方程，由直线方程可得定点坐标．【详解】（1）设，则，，，，所以，可以化为，化简得．所以，的方程为．（2）由题设可设，，，由题意知切线，的斜率都存在，由，得，则，所以，直线的方程为，即，①因为在上，所以，即，②将②代入①得，所以直线的方程为同理可得直线的方程为．因为在直线上，所以，又在直线上，所以，所以直线的方程为，故直线过定点．【点睛】关键点点睛：本题考查直接法求动点轨迹方程，考查抛物线中的直线过定点问题，解题方法是设出切线坐标，由导数的几何意义写出切线方程，再由在切线上，根据直线方程的意义得出直线方程，然后得定点坐标．4．（2023·全国·高三专题练习）设点为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点为，.（1）证明：直线过定点；（2）若以线段为直径的圆过坐标原点，求点的坐标和圆的方程.【答案】（1）证明见解析；（2），.【分析】（1），，，，，利用导数的意义，求解直线的斜率，然后求解直线系方程，推出定点坐标即可．（2）直线的方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合向量的数量积，求解，然后求解圆的方程与半径即可．【详解】（1）证明：，，，因为，所以，所以，化简得，同理，故直线的方程为，即，所以过定点.（2）由（1）得直线的方程为，联立，所以，，因为若以线段为直径的圆过坐标原点，所以，即，解得或，当时，的中点坐标为，所以，则圆的方程为，；当时，的中点坐标为，所以，则圆的方程为，.考点三、阿基米德三角形之定值问题1．（2023·河南郑州·高三校考期末）如图，已知抛物线：（）上的点到焦点的距离的最小值为1，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，为线段上的动点，过点作抛物线的切线，切点为（异于点，），且直线交线段于点．(1)求抛物线的方程；(2)证明：为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线的性质即可求解；（2）利用判别式求出切线的斜率，求出切点的坐标以及直线的方程，表示出，的坐标，即可证明为定值.【详解】（1）抛物线：（）的焦点坐标为，因为此抛物线上到焦点距离最近的点就是坐标原点，所以，，所以抛物线方程为；（2）证明：设直线：，由可得，则，解得，则，解得，不妨令直线：，直线：，则，，设，，设直线：，由可得，由，可得或（舍），则，直线：．由解得即，故为定值．1．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，抛物线的顶点为原点.(1)求椭圆和抛物线的方程；(2)设点为抛物线准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，，其中，的斜率分别为，，求证：为定值.【答案】(1)椭圆的方程为，抛物线的方程为；(2)证明见解析.【分析】（1）利用待定系数法，由已知列出方程组，解方程组即可求出椭圆和抛物线的方程；（2）假设过点P与抛物线相切的直线方程为，与抛物线方程联立可得，由及其根与系数的关系即可证明为定值．【详解】（1）设椭圆和抛物线的方程分别为，，，椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，，解得，，椭圆的方程为，抛物线的方程为．（2）由题意知过点与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，设，则切线方程为，联立，消去，得，由，得，直线，的斜率分别为，，，为定值．考点四、阿基米德三角形之面积问题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点到原点的距离等于直线的斜率.（1）求抛物线C的方程及准线方程；（2）点P是直线l上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值.【答案】（1）抛物线方程为，其准线方程为；（2）最小值为.【分析】（1）求出直线斜率可得即可写出抛物线方程及准线方程；（2）利用切线求出直线的方程，联立抛物线方程，求出弦长，再有点到直线的距离即可求出三角形面积，利用二次函数求最值即可.【详解】（1）由题意，，即，可知抛物线方程为，其准线方程为.（2），则切线：，即；同理：.分别代入点可得，对比可知直线的方程为：.(即切点弦方程)联解，可知，点到直线的距离为，因此，，而，故.当且仅当，即时，的最小值为.【点睛】关键点点睛：涉及三角形面积问题，一般可利用直线联立抛物线方程求出弦长，再由点到直线距离求出高，即可表示三角面积，属于中档题.2．（2023·全国·高三专题练习）已知点A（0，2），动点M到点A的距离比动点M到直线y＝﹣1的距离大1，动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）Q为直线y＝﹣1上的动点，过Q作曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值【答案】（1）x2＝8y；（2）4．【分析】（1）确定动点M的轨迹为抛物线，计算得到答案.（2）设Q（m，﹣1），设切线的斜率为k，计算得到k1+k2，k1k2，得到，计算得到答案.【详解】（1）设动点M（x，y），动点M到点A的距离与动点M到直线y＝﹣2的距离相等，∴动点M的轨迹为抛物线，且焦点为A，准线为y＝﹣2，∴曲线C的方程为：x2＝8y；（2）设Q（m，﹣1），设切线的斜率为k，则切线方程为：y+1＝k（x﹣m），代入抛物线整理：x2﹣8kx+8km+8＝0，由△＝0得：64k2＝32（km+1），∴km＝2k2﹣1，∴x2﹣8kx+16k2＝0，解得：x＝4k，∴切点坐标为（4k，2k2），由2k2﹣km﹣1＝0，得k1+k2，k1k2，设直线QD与QE的夹角为θ，则tanθ＝||，则sin2∠QDE＝1﹣cos2∠QDE.令切点（4k，2k2）到Q的距离为d，则d2＝（4k﹣m）2+（2k2+1）2＝16k2﹣8km+m2+（km+2）2＝16k2﹣8km+m2+k2m2+4km+＝（8+m2）（k2+1），∴|QD|，|QE|，∴S（8+m2）••（8+m2）••4，∴当m＝0，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．【点睛】本题考查了抛物线方程，面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的方程为，点是抛物线的准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，点是的中点.（1）求证：切线和互相垂直；（2）求证：直线与轴平行；（3）求面积的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4.【解析】（1）设点坐标为，切线斜率为，过点的切线方程为，联立直线和抛物线的方程得到韦达定理，得到，即得切线和互相垂直；（2）设点，得到，即中点的横坐标为，而点的横坐标也为，所以直线与轴平行；（3）求出，即得面积的最小值.【详解】解：（1）由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在.设点坐标为，切线斜率为，过点的切线方程为，联立方程，，消去，得，由，得，记关于的一元二次方程的两根为，则分别为切线的斜率，由根与系数的关系知，所以切线和互相垂直.（2）设点，由，知，则，所以过点的切线方程为，将点代入，化简得，同理可得，所以是关于的方程的两个根，由根与系数的关系知，所以，即中点的横坐标为，而点的横坐标也为，所以直线与轴平行.（3）点，则，则，由（2）知，，则，，，当时，面积的最小值为4.【点睛】方法点睛：圆锥曲线的最值问题常用的求解方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择合适的方法求解.2（2023·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线上的点R的横坐标为1，焦点为F，且，过点作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，D为线段PA上的动点，过D作抛物线的切线，切点为E（异于点A，B），且直线DE交线段PB于点H.(1)求抛物线C的方程；(2)（i）求证：为定值；（ii）设，的面积分别为，求的最小值.【答案】(1)(2)6【分析】（1）依据抛物线定义即可求得抛物线C的方程；（2）依据设而不求的方法得到的表达式再去证明其为定值；依据设而不求的方法得到的表达式再去求其最小值即可.【详解】（1）抛物线的焦点，准线则，则，抛物线C的方程为（2）（i）设直线AP：由，可得则，解得则，解得不妨令直线AP：，直线BP：，则设，设直线由，可得由，可得或（舍）则，直线由，可得故，为定值.（ii）由（i）得，，则，故，令则当时，，单调递减；当时，，单调递增则，故的最小值为6.考点五、阿基米德三角形之切线垂直1．（2023·全国·高三专题练习）抛物级的焦点到直线的距离为2.（1）求抛物线的方程；（2）设直线交抛物线于，两点，分别过，两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）利用抛物线的定义求出即可得出结论；（2）联立直线和抛物线的方程，得出韦达定理，设切线的斜率为，切线的斜率为，点坐标为，利用已知条件对函数求导得出切线的斜率，写出切线方程，求出两切线的交点坐标，利用，即可得出结论.【详解】（1）由题意知：，则焦点到直线的距离为：，所以抛物线的方程为：；（2）证明：把直线代入消得：，又，利用韦达定理得，由题意设切线的斜率为，切线的斜率为，点坐标为，由（1）可得：，则，所以，则切线的方程为：，切线的方程为：，则，利用韦达定理化简整理得：，把代入整理得：，则，，则【点睛】本题主要考查了利用定义求抛物线的方程，直线与抛物线应用.做这道题的时候要注意，利用韦达定理，得出两根的关系，设出两切线的交点，认真计算.属于中档题.1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的方程为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.（1）若点坐标为，求切线的方程；（2）若点是抛物线的准线上的任意一点，求证：切线和互相垂直.【答案】（1）和；（2）证明见解析.【解析】（1）设过点的切线方程为，与抛物线的方程联立，由根的判别式为零求得切线的斜率，由此可求得切线的方程．（2）设点坐标为，切线斜率为，过点的切线方程为，与抛物线的方程联立，由根的判别式为零求得切线的斜率间的关系，根据直线垂直的条件可证得切线和互相垂直.【详解】解：（1）由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在，设切线斜率为，点坐标为，过点的切线方程为，联立方程，消去，得，由，解得，所以切线的方程分别为和，即切线方程分别为和；（2）设点坐标为，切线斜率为，过点的切线方程为，联立方程，消去，得，由，得，记关于的一元二次方程的两根为，则分别为切线的斜率，由根与系数的关系知，所以切线和互相垂直.【点睛】方法点睛：求抛物线的切线方程的方法：方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。方法二：设切线的方程，与抛物线的方程联立，采用判别式法求解．考点六、阿基米德三角形之角度问题1．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为.(1)求轨迹的方程；(2)若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为A、B，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性.【答案】(1)(2)猜想，证明见解析【分析】（1）由椭圆，可得，的坐标，从而可得动点到定直线与定点的距离相等，由此可得轨迹的方程；（2）猜想，先求切线AP、BP的方程，联立可得P的坐标，进一步可得、、的坐标，利用向量的夹角公式，可得，从而可得结论.【详解】（1）解：，，椭圆半焦距长为，，，，动点到定直线与定点的距离相等，动点的轨迹是以定直线为准线，定点为焦点的抛物线，轨迹的方程是；（2）解：猜想证明如下：由（1）可设，，，则，切线的方程为：同理，切线的方程为：联立方程组可解得的坐标为，在抛物线外，，，同理1．（江西·高考真题）设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB．【答案】(1)(2)见解析【详解】本试题主要考查了轨迹方程的求解和证明角的相等问题．解：（1）设切点，坐标分别为和，切线的方程为：；切线的方程为：；由于既在又在上，所以解得，所以的重心的坐标为，，所以，由点在直线上运动，从而得到重心的轨迹方程为：，即．（2）方法1：因为，，．由于点在抛物线外，则．，同理有，．方法2：①当时，由于，不妨设，则，所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：；而直线的方程：，即．所以P点到直线BF的距离为：所以，即得．②当时，直线AF的方程：，即，直线的方程：，即，所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由，可得到．考点七、阿基米德三角形之点坐标问题1．（2023·全国·高三专题练习）已知动点P到直线的距离比到点的距离大7．(1)求动点P的轨迹方程；(2)记动点P的轨迹为曲线C，点M在直线上运动，过点M作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，点N是平面内一定点，线段MA，NA，NB，MB的中点依次为E，F，G，H，若当M点运动时，四边形EFGH总为矩形，求定点N的坐标．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，结合抛物线定义求出点P的轨迹方程作答.（2）求出四边形EFGH为矩形的等价条件，再由特殊位置判断点N的位置，设出点N的坐标，借助导数求出切线方程进而建立关系，然后用向量数量积的坐标表示计算推理作答.【详解】（1）因为动点P到直线的距离比到点的距离大7，则动点P到直线的距离等于到点的距离，因此动点P的轨迹是以点为焦点，为准线的抛物线，所以动点P的轨迹方程是．（2）分别为线段的中点，若四边形EFGH为矩形，则，当点M在处时，两个切点A，B关于y轴对称，要使，则点N必须在y轴上，于是设，，，，曲线C的方程为，求导得，则切线MA的斜率，直线MA的方程为，又点M在直线MA上，因此，整理得，同理得，则和是一元二次方程的根，有，则，当时，恒成立，即点N的坐标为.【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率.2．（2023春·广东茂名·高三校考阶段练习）已知平面内动点，P到定点的距离与P到定直线的距离之比为，(1)记动点P的轨迹为曲线C，求C的标准方程．(2)已知点是圆上任意一点，过点作做曲线C的两条切线，切点分别是，求面积的最大值，并确定此时点的坐标.注：椭圆：上任意一点处的切线方程是：.【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用直接法列方程，然后化简可得；（2）根据题中结论可得切线方程，由切线过点和切线结构特征可得直线的方程，结合弦长公式和点到直线的距离公式可得面积，然后换元，利用导数求最值可得.【详解】（1）设d是点P到直线的距离，根据题意，动点P的轨迹就是集合．由此得．将上式两边平方，并化简，得.（2）设，则，切线方程：，切线方程：，因为两直线都经过点，所以，得，，从而直线的方程是：，由，得，由韦达定理，得，，点到直线的距离，，其中，令，则，令，则，在上递增，，即时，的面积取到最大值，此时点.【点睛】难点点睛：本题难点在于根据切线过点和结构特征求直线的方程，然后利用点到直线的距离公式和弦长公式表示出面积，然后利用换元法和导数求解即可.1．（2023秋·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期末）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴，点抛物线上，且到抛物线的准线的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)动点在抛物线的准线上，过点作拋物线的两条切线分别交轴于两点，当面积为时，求点的坐标.【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式与标准方程得到关于的方程组，解之即可；（2）先由面积得到，再联立切线与抛物线方程，结合韦达定理得到，从而求得，由此得解.【详解】（1）依题意，设抛物线的方程为，因为点在抛物线上，所以，则，因为到抛物线准线的距离为，所以，联立，解得，所以抛物线的方程为.（2）设动点的坐标为，设直线的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为，令两个方程中的，则可得，此时，因为，所以，则，设过点的抛物线的切线方程为，联立方程，消去，得，因为直线与抛物线相切，所以，整理得，由题知直线为抛物线的两条切线，则为方程的两根，所以，由得，解得，此时，对于，有，满足题意，所以点的坐标为或.【能力提升】1．（2022·陕西·校联考模拟预测）抛物线上任意两点､处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：①点必在抛物线的准线上；②为直角三角形，且；③.若经过抛物线焦点的一条弦为，阿基米德三角形为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由△PAB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线焦点，可得：P点必在抛物线的准线上，可求出点P（−1，4），从而得到直线PF的斜率为−2，又，所以直线AB的斜率为，再利用点斜式即可求出直线AB的方程.【详解】解：由题意可知，抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0），准线方程为：x＝﹣1，由△PAB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线y2＝4x焦点，可得：P点必在抛物线的准线上，∴点P（﹣1，4），∴直线PF的斜率为：＝﹣2，又∵PF⊥AB，∴直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为：y﹣0＝，即x﹣2y﹣1＝0，故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的性质，是中档题.2．（2023·全国·高三专题练习）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线，过焦点的弦的两个端点的切线相交于点，则下列说法正确的是（

）A．点必在直线上，且以为直径的圆过点B．点必在直线上，但以为直径的圆不过点C．点必在直线上，但以为直径的圆不过点D．点必在直线上，且以为直径的圆过点【答案】D【分析】结合导数几何意义可证得过抛物线上一点的切线方程为，由此可确定在处的切线方程，进而结合点坐标得到直线方程，代入可知点必过直线；结合韦达定理可得，知，由此可得结论.【详解】设为抛物线上一点，当时，由得：，在处的切线方程为：，即，；同理可得：当时，在处的切线方程切线方程为；经检验，当，时，切线方程为，满足，过抛物线上一点的切线方程为：；设，则抛物线在处的切线方程为和，，点满足直线方程：，又直线过焦点，，解得：，点必在直线上；AC错误；由题意知：，，，，；设直线方程为：，由得：，，，即，以为直径的圆过点；B错误，D正确.故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，那么阿基米德三角形满足以下特性：①点必在抛物线的准线上；②为直角三角形，且为直角；③，已知为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形面积的最小值为（

）A． B． C．2 D．1【答案】B【分析】设直线的方程为，，，，，联立直线的方程和抛物线方程求得，通过PF⊥AB求得，再过点作轴交于点，进而得到为中点，由表示出三角形PAB的面积，结合基本不等式求出最小值即可．【详解】易知，焦点，准线方程，设直线的方程为，，，，，联立，消整理得，则，，又PF⊥AB，可得，即，化简得，过点作轴交于点，如图所示：则，所以为中点，故，故，当且仅当时等号成立，故三角形PAB的面积的最小值为．故选：B．【点睛】关键点点睛：过点作轴交于点，且证明为中点，得到，从而得到阿基米德三角形面积关于，的表达式，再结合基本不等式求解．4．（2023·青海西宁·统考二模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，设直线为，代入抛物线方程，由韦达定理得，设过的切线方程为，与抛物线方程联立，利用判别式得，则过点A的切线为，同理得过的切线斜率为，过点B的切线为，可得，可证得，则的面积，结合图形特征，可得面积的最小值．【详解】设且，直线，联立，整理得，则．设过点的切线方程为，联立，整理得，由，可得，则过A的切线为：，即，即，即，同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：，联立两切线，则，所以两条切线的交点在准线上，则，两式相减得，，可得，，又因为直线的斜率为，（也成立），如图，设准线与轴的交点为，的面积，当轴时，最短（最短为），也最短（最短为），此时的面积取最小值．故选：B【点睛】关键点点睛：设且，，联立抛物线应用韦达定理有，求过的切线，进而确定在准线上且，利用面积公式讨论最小值情况.5．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知动点到直线的距离比到定点的距离大1.（1）求动点的轨迹的方程.（2）若为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，，切点为，，为的中点.①求证：轴；②直线是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）①证明见解析；②.【分析】（1）由题意知，动点到直线的距离等于到定点的距离，符合抛物线的定义，求轨迹的方程为；（2）①设动点，，，利用导数求出切线的方程分别为：、，从而有，为方程的两根，证明点的横坐标与点的横坐标相等，从而证得轴；②由①中的结论，把直线的方程写成含有参数的形式，即并把方程看成关于的一次函数，从而得到定点为．【详解】（1）由动点到直线的距离比到定点的距离大1得，动点到直线的距离等于到定点的距离，所以点的轨迹为顶点在原点、开口向上的抛物线，其中，轨迹方程为.（2）①设切点，，，所以切线的斜率为，切线.设，则有，化简得.同理可得.所以，为方程的两根.则有，，所以.因此轴.②因为，所以.又因为，所以直线，即.即直线过定点.【点睛】本题考查抛物线的定义求方程、利用导数求切线方程、直线与抛物线相切、直线过定点等知识，考查运算求解和逻辑推理能力．特别是在求证直线过定点进，也可以有另外的思路，即把直线设成的形式，然后寻找的关系，再把直线方程转化成只含变量或变量的方程．6．（2022·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，已知抛物线：，点是抛物线上的一点，点到焦点的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)点为圆：上的任意一点，过点Р作抛物线C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求点О到直线AB距离的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）结合抛物线的定义求得，由此求得抛物线的方程.（2）设出的坐标，求得过两点的切线方程，从而求得点坐标，根据在圆上以及点到直线的距离，结合二次函数的性质求得点О到直线AB距离的最大值.【详解】（1）依题意，点是抛物线上的一点，点到焦点的距离为2，所以，所以抛物线方程为.（2）设在第一象限（）、在第四象限（），当时，直线的方程为，，①，当，即直线的斜率不存在时①也符合.所以直线的方程为①.抛物线在第一象限部分，，所以过的切线斜率为，所以过点的抛物线的切线方程为，即.抛物线在第四象限部分，，所以过的切线斜率为，所以过点的抛物线的切线方程为，即.由，则，且，，到直线的距离..，，所以，，所以，故的最大值为..7．（2023·全国·高三专题练习）如图已知是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，与轴分别交于.（1）求证：直线过定点，并求出该定点；（2）设直线与轴相交于点，记两点到直线的距离分别为；求当取最大值时的面积.【答案】（1）证明见解析，；（2）4.【解析】（1）设过点与抛物线相切的直线方程为：，与抛物线方程联立得，设是该方程的两根，由韦达定理表示及直线方程可得答案.（2）求出，直线方程和，由利用基本不等式得，再由可得答案.【详解】（1）设过点与抛物线相切的直线方程为：，由，得，因为相切，所以，即得，设是该方程的两根，由韦达定理得：，分别表示切线斜率的倒数，且每条切线对应一个切点，所以切点，所以，所以直线为：，得，直线方程为：，所以过定点.（2）由（1）知，由（1）知点坐标为，，所以直线方程为：，即：，所以，分居直线两侧可得，所以，∴∴当且仅当等号成立，又由，令得：，.【点睛】本题考查了抛物线中直线过定点和三角形面积的问题，本题的关键点是设直线方程的形式和求出的最小值，考查了学生的推理能力、计算能力，具有一定的难度.8．（2023·全国·高三专题练习）已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q作曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．【答案】（1）（2）最小值4【详解】试题分析：（Ⅰ）设，由题意得，化简可得曲线的方程为；（Ⅱ）设，切线方程为，与抛物线方程联立互为，由于直线与抛物线相切可得，解得，可切点，由，利用韦达定理，得到，得到为直角三角形，得出三角形面积的表达式，即可求解三角形的最小值．试题解析：（1）设M（x，y），由题意可得：，化为x2=4y．∴曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（2）联立，化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1•k2=﹣1．∴切线QD⊥QE．∴△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），∴|QD|=，|QE|=，∴（4+m2）=≥4，当m=0时，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程的求解．【方法点晴】本题主要考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点间的距离公式、三角形的面积公式、二次函数的性质等知识点的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中把切线的方程代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，表示出三角形的面积是解答问题的关键．9．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的方程为，点是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）点为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，求面积的最小值．【答案】（1）；（2）1.【分析】（1）根据抛物线的定义可得，求出即可求解，（2）设，设切线方程为，，将直线与抛物线联立，求出切点，利用韦达定理判断，的面积，利用两点间的距离公式求出、，代入面积公式即可求解.【详解】本题考查直线与抛物线位置关系的应用．（1）设抛物线焦点为，由题意可得，故，∴抛物线的方程为．（2）设，由题可知切线的斜率存在且不为0，故可设切线方程为，．联立，消去得．由直线与抛物线相切可得，∴，即．∴，解得，可得切点坐标为，故可设，．由，可得，，∴，∴为直角三角形，∴的面积．令切点到点的距离为，则，∴，，∴，当，即点的坐标为时，的面积取得最小值1．【点睛】本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系中的面积问题，此题对计算能力要求比较高，属于难题.10．（2022春·安徽滁州·高二校考开学考试）已知抛物线上的任意一点到焦