三角函数应用

7.4三角函数应用

一、选择题

1.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置。的距离5cm和时间ts的函数关系式为s

=6sin（100位+目，那么单摆来回摆一次所需的时间为（）

A.%sB.y^gsC.50sD.100s

【答案】A

2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y=3sin（1r+0）+A,据此函

数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）

水深/m

O618x时间/h

A.5B.6C.8D.10

【答案】c

【解析】由题干图易得ymin=%-3=2,则&=5.

，ymax=k+3=8.

3.弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间Z（s）时离开平衡位置的位移s（cm）满足函数关系式s=

2sint+J.给出下列三种说法：①小球开始时在平衡位置上方啦cm处；②小球下降到最低点时在

平衡位置下方2cm处：③经过21ts小球重复振动一次.其中正确的说法是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】D

【解析】当f=0时，s=2sin（0+*=W，故①正确；Smin=-2,故②正确；函数的最小正周期

T=2n,故③正确.

4.如图所示为2018年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数y=Asin（s+9）+

（4>0,。>0,会〈兀）的半个周期的图象，则该天8h的温度大约为（）

A.16℃B.15℃C.14℃D.13℃

【答案】D

【解析】由题意得A=：x(30-10)=10,

/?=1x(30+10)=20,

V2x(14—6)=16,.*.-=16,.'.co=5,

CDo

10si+夕)+20,

将无=6,y=10代入得lOsin像＜6+，+20=10,

即sin仔+，=-1,

由于刍＜夕＜兀，可得"=竽，

10sin^.r+-^-J+20,xG[6,14].

当x=8时，y=10sin《x8+,）+20=20-5gl3,

即该天8h的温度大约为13°C,故选D.

5.一观览车的主架示意图如图所示，其中。为轮轴的中心，距地面32m（即OM长），巨轮的半径长

为30m,AM=8P=2m,巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱尸的初始位置，经

过，分钟，该吊舱P距离地面的高度为版/）m,则人⑺等于（）

A.30sin（帝一与）+30B.30sin（U）+30

C.30sin儡一号+32D.30sin信一刍）

【答案】B

【解析】过点O作地面的平行线作为x轴，过点。作x轴的垂线作为），轴，过点8作x轴的垂

线8N交x轴于N点，如图，点A在圆。上逆时针运动的角速度是招=看，所以，分钟转过的弧度数

为如

设夕=，当比鄂j,/BON=()一；,

〃=OA+BN=30+30sin(<9-^,

当时，上述关系式也适合.

故6=30+30sin(，-5=3Osin@-9+3O.

6.如图所示，有一广告气球，直径为6cm,放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角/BAC

=30。时，测得气球的视角为尸=1。，当。很小时，可取sin依仇试估算气球的高8C的值约为()

【答案】B

CD33

【解析】AC=sin口=71H7cx180kl72(m),

sin前

又NBAC=30°,/.BC=1AC=86in.

7.设y=W)是某港口水的深度y(m)关于时间f(h)的函数，其中0WK24.下表是该港口某一天从0到

24时记录的时间f与水深y的关系：

t03691215182124

y1215.112.19.111.914.911.98.912.1

经长期观测，函数y=/(x)的图象可以近似地看成函数y=4sin(初+°)+k的图象.下面的函数中，最

能近似地表示表中数据间对应关系的函数是()

兀

A.y=12+3sin下，/£[0,24]

B.y=12+3sin(gf+7t),re[0,241

C.y=12+3sin各re[0,24]

D.y=12+3sin(j¥+办00,24]

【答案】A

【解析】由已知数据，可得y=/(r)的周期T=12,

所以。=竿=5.

由已知可得振幅A=3,々=12.

7T

又当，=0时，y=12,所以令＜＜0+3=0得0=0,

故y=12+3sin氏，00,24].

二、填空题

8.设某人的血压满足函数式p(f)=115+25sin(160m),其中p(/)为血压(mmHg),/为时间(min),则此

人每分钟心跳的次数是.

【答案】80

【解析】7=高=志分)，户4=80(次/分).

9.已知某种交流电电流/(A)随时间小)的变化规律可以拟合为函数/=5&sin(100m—3,七[0,+

8),则这种交流电在0.5s内往复运动的次数为.

【答案】25

【解析】因为/4=券=喋=50，

所以0.5s内往复运动的次数为0.5x50=25.

10.如图所示，弹簧下挂着的小球做上下振动.开始时小球在平衡位置上方2cm处，然后小球向上

运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4cm,每经过兀s小球往复振动一次，则小球

离开平衡位置的位移y与振动时间x的关系式可以是.

O-——初始位置

O平衡位置

【答案】y=4sin(2x+§

【解析】不妨设y=Asin(5+°).

由题意知A=4,7=兀，所以①=爷=2.

当x=0时，y=2,且小球开始向上运动，

所以有3=2E+会上£Z,不妨取0=5，

故所求关系式可以为y=4sin(2x+§.

11.一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为a(rad),并规定当小球在铅锤方向右侧时a

为正角，左侧时a为负角.a作为时间r(s)的函数，近似满足关系式a=4sin(初十号，其中。＞0.已知

小球在初始位置(即r=0)时，a=?且每经过冗s小球回到初始位置，那么A=；a关于/

的函数解析式是.

【答案】|a=，sin(2l+?,00,+oo)

【解析】・・•当f=0时，a=j,

.九_匹・卫

・・§=44s♦in],・・A4=_§.

又；周期7=Jt,.,.产=兀，解得3=2.

CD

故所求的函数【解析】式是a=?in(2r+S，fG[0,+oo).

三、解答题

12.如图，一个水轮的半径为4in,水轮圆心。距离水面2m,已知水轮每分钟转动1圈，如果当水

轮上点P从水中浮现时(图中点Po)开始计算时间.

⑴将点P距离水面的高度z(m)表示为时间f(s)的函数；

(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？

解⑴如图所示建立平面直角坐标系，设角夕(一如”0)是以。x为始边，OPo为终边的角.

OP每秒钟内所转过的角为言奇，

则OP在时间/(s)内所转过的角为强/.

由题意可知水轮逆时针转动，

得z=4sin4f+，+2.

1jr

当1=0时,z=0,得sin3=-g,即伊=一%.

故所求的函数关系式为z=4sin岛L*)+2.

⑵令z=4sin儒，-聿)+2=6,

得sin儒

令却4崂得,=2。，

故点P第一次到达最高点大约需要20s.

13.据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：fix)=Asin(tox+<?>)+

8(A>0,。>0,阳与，x为月份.已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品

的价格首次达到最低，为5万元.

(1)求7(x)的解析式；

(2)求此商品的价格超过8万元的月份.

解⑴由题意可知,=7—3=4,"=8,

.2兀兀

••co=，7=不

(5+9

~2~=Bf［A=2,

即©=2sin仅+e)+7.(*)

又贝戈)过点(3,9),代入(*)式得2sin伶+卬)+7=9,

•,.sin(¥+,=l,•,.才+°=，+2攵兀，fccz.

T7lI兀・兀

又131<5，・・(P=-R

=2sin^.r-^+7(l<x<12,xeN*).

⑵令兀v)=2sin(H)+7>8,

.入也像-习斗

,7t।7C7T57t.,

・・z+2Ev/—彳<~^+2k兀，kGZ,

O440

5B

口J得1+Sk<x<^+8A,2eZ.

又10烂12,xeN*,Ax=2,3,4J0,11,12.

即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元.

四、探究与拓展

14.有一冲击波，其波形为函数y=—sin发的图象，若其在区间［0,f］上至少有2个波峰，则正整数

t的最小值是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

15.某海滨浴场一天的海浪高度y(m)是时间*0登24)(h)的函数，记作产就，下表是某天各时的浪

高数据：

t03691215182124

y1.51.00.51.01.51.0