2021年高考理科数学热点10概率与统计-2021年高考数学（理）【热点·重点·难点】（解析版）(一)

热点10概率与统计

【命题趋势】

统计主要考查抽样的统计解析、变量的相关关系，独立性检验、用样本预计总体

及其特点的思想，以布列组合为工具，考查对五个概率事务的判断识别及其概率的

计算.试题考查特点是以现实应用问题为载体，小题部分主要是考查布列组合与古典概

型，几何概型解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布

对应的数学盼望以及方差.概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，切近学生的

现实生活.取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点.解答题中概率与统计的

交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注

【满分本领】

1.抽样方式是统计学的根本，在温习时要抓住各种抽样方式的概念以及它们之间的

区别与联系.茎叶图也成为高考的热点内容，应重点掌握.明白变量间的相关关系，体会

最小二乘法和线性回归方式是解决两个变量线性相关的根基方式，就能适应高考的要

求.

2.求解概率问题起首确定是何值概型再用相应公式进行计算，特殊对于解互斥事务（独立

事务）的概率时，要注重两点：（1）卖力审题，明白题中的几个事务是否为互斥事

务（独立事务），要联合题意解析清楚这些事务互斥（独立）的缘故.（2）要注重所求

的事务是包含这些互斥事务（独立事务）中的哪几个事务的和（积），参加不吻合以

上两点，就不能用互斥事务的和的概率.

3.离散型随机变量的均值和方差是概率常识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.

解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注重分布

列性质的应用.

【考查题型】挑选，解答题

【限时检测】（建议用时:55分钟）

1.（2021•全国高三专题练习（理））甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8小时，假

定它们在一昼夜的时间段中随机地到达,则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须

等待的概率（)

14c52

A.-B.C.一D.-

3993

【答案解析】C

【考点解析】设甲到达的时候为X,乙到达的时候为y则所有的根基事务构成的区

域

24

O={(x,y)|241

这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的根基事务构成的区域

'碱24

A={(x,y)|<0^-24

8

这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为：

S阴二116x16=5

P(A)ZT-24x24-9

故

运C

乙

船

到284

达

时

间

/r

824

甲船到达时间/r

2.（2021•全国高三专题练习（理））为了领会此刻互联网行业的就业情况，某高校

教授组织学生对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年纪分布饼

状图（如图1）和90后从事互联网行业者岗位分布图（如图2）,则下列结论中不必然对的

是（注：80后是指在1980-1989年（包含1980年与1989年）出生，90后是指在

1990-1999年（包含1990年与1999年）出生，8（）前是指在1979年及从前出生）（）

90后从事互联网行业者岗位分布图

39.6%

17%

13.2%

12.3%

9.8%

6.5%

1.6%

图2

A.互联网行.业从'也人员中80后的人数不超过一半

B.互联网行业中90后从事技术岗位的人数超过所有年纪从业者总人数的20%

C.互联网行业中90后从事市场岗位的人数少于所有年纪从业者总人数的10%

D.互联网行业中从事职能岗位的人数90后比8（）后多

【答案解析】D

【考点解析】对于A选项，由饼状图可知80后人数占了41%,故A正确：

对选项，90后从事技术岗位的人数所占比例为39.6%,由饼状图知90后人数占

了56%,所以56%x39.6%=22.176%>20%,故B正确；

对•于C选项，90后从事市场岗位的人数所占比例为13.2%,由饼状图知90后人数占

了56%,所以56%xl3.2%=7.392%<10%,故C正确；

对于D选项，因为80后从事职能岗位的人数所占比例不清楚，所以无法判断，故D

错误.

故选:D.

3.（2021•全国高三专题练习）采购经理指数（PMI）,是通过对企业采购经理的月

度调查成果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、制作、流通等各个环节,

包罗制造业和非制造业领域，是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，

具有较强的猜测、预警作用.如图为国家统计局所做的我国2021年1〜12月份的采购

经理指数（PMI）的折线图，若PMI指数为50%,则说明与上月对照无转变，根

据此图，下列结论对的个数为（）

制造业PM1指数（经季节调整）

□2021年1至12月的PMI指数逐月削减;

□2021年1至12月的PMI指数的最大值出此刻2021年5月份;

□2021年1至12月的PMI指数的中位数为51.25%；

□2021年1月至3月的月PMI指数相对6月至8月，波动性更大.

A.1B.2C.3D.4

【答案解析】C

【考点解析】1月到5月PMI指数有增有减，所以错误；2021年5月的PMI指数的最

cI2%4-S13%

大，所以.正确；根据折线图，=51.25%,所以「正确；1月至3月的

2

月PMI指数极差为1.2%,6月至8月的月PMI指数极差为（）.3%,故1月至3月的

月PMI指数波动性更大，所以正确；

故选：C

4.（2021•全国高三专题练习（理））以下四个命题:

①从匀速传递的产物制作流水线上，每30分钟从中抽取一件产物进行检测，如许的

抽样是分层抽样；

②某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据表现某市30000高中男生的身高自

(单位：cm)听从正态分布N(172,cr2),且P(172<JK18O)=O.4,那么该市身高

高于180an的高中男生人数大约为3000；

③随机交量x听从二项分布5(100,0.4),若随机变量y=2X+i,则y的数学盼望为

双丫)=81,方差为。(丫)=48；

④分类变量x与y,它们的随机变量K?的观测值为左，当左越小，“x与y有关

系的掌握程度越大其中对的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案解析】A

【考点解析】：①根据抽样是间隔一样，且样本间无显明差别，故①应是系统抽样，

即①为假命题；

②某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据表现某市30000高中男生的身高

J(单位：cm)听从正态分布N(172,cP),且尸(172<4<180)=0.4,所以

P(^>180)=1-P(172<^<180)=0.1,所以该市身高高于180cm的高中男生人

数大约为3(XXX)x0.1=3(XX)A,故②为真命题；

③随机交量X听从二项分布B(100,0.4),则E(X)=100x0.4=40,

Z）（X）=100x0.4x（1—04）=24,若随机变量y=2X+l,则F的数学盼望为

£（y）=2E（X）+l=81,方差为D（y）=22D（X）=96；故③为假命题;

④对分类变量x与y的随机变量K?的观测值出来说，％越小，“x与y有关

系”的掌握程度越小，故④为假命题.

故选：A.

5.（2021•扬州市祁江区蒋王中学高三月考）某产物的广告费用x与销售额的统计数

据如下表：

广告费用X（万元）23456

销售额y（万元）1925343844

根据上表可得回归直线方程为y=7.3x+a,下列说法对的是（）

A.回归直线y=6.3x+a必经由样本点（2,19）、（6,44）

B.这组数据的样本中间点（工亍）未必在回归直线y=6.3x+a上

C.回归系数6.3的含义是广告费用每增添1万元，销售额现实增添6.3万元

D.据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元

【答案解析】D

【考点解析】回归直线y=6.3x+a，不必然经由任何一个样本点，故A错；

由最小二乘法可知，这组数据的样本中间点@5）必然在回归直线y=6.3x+a上，

故B错：

回归系数6.3的含义是广告费用每增添1万元，猜测销售额增添6.3万元，故C错；

-1-1

x=—（2+3+4+5+6）=4,y=—（19+25+34+38+44）=32,

55

将（4,32）代入y=6.3x+a可得a=6,8＞则回归方程为y=6.3x+6.8,

x=7时，y=6.3x7+6.8=50.9，故D正确.

故选：D.

6.（2021•山东济南市•高三开学考试）《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易

经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（一示意一根阳线，

------示意一根阴线），现有3人各自随机的从八卦中任取两卦，恰有2人两卦的六

根线中有四根阳线和两根阴线的概率为（）

29799675225

A.-------B.-------c.D.---------

274427442195221952

【答案解析】A

【考点解析】8卦可分为四类：1阳3阴共3个,3阳1阴共3个，3阳共1个，3阴共1

个,

3人各取2卦的法为ClClCl=283,

2卦的六根线中有四根阳线和两根阴线的方式数为C；+C；=6,

是以3人中恰有2人两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线方式为

-6)*6乂6=2巾*11,

23x33xll297

所求概率为P=

2832744

故选：A.

7.（2021•全国高三专题练习（理））设一个正三棱柱ABC—。跖，每条棱长都相等,

一只蚂蚁从上底面43。的某极点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个极点，算一

次爬行，若它挑选三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的

概率为几，贝1］片0为()

B-

1

D+-

⑶2-I32

【答案解析】D

【考点解析】由题意，设第〃次爬行后仍然在上底面的概率为P„.

①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为

叫；

②若上一步在下面，则第〃一1步不在上面的概率是1—月_1,(〃之2).参加爬上来,

其概率是|(l-^_,),(n>2),

2111

两种事务又是互斥的，..•？=§匕_+§(1_匕4)，即月=§匕一1+1

数列｛勺-g｝是觉得;公比的等比数列，而4=1，所以+g

故选：D.

8.(2021•江西吉安市•白鹭洲中学高三期中(理))己知随机变量X~N(l,cr2),且

p(x<0)=p(x>«),则(1+以户的展开式中f的系数为(

B.120C.240D.280

【答案解析】D

【考点解析】根据正态曲线的性质可知，0+a=lx2,解得。=2,

(l+2x)3的展开式的通项公式为re{0,1,2,3).

2S+2(4S)s3v+8

fx+-l的展开式的通项公式为7；+1=T-QX~-=2-c^-,

5G{0,1,2,3,4},

令两式展开通项之积x的指数为r—3s+8=2,可得<、或〈°

5=35=2

.­.(l+2x)3-|x2+-|的展开式中V的系数为

23C2y+zy.22.《=256+24=280,

故选：D.

9.（2021•全国高三专题练习（理））已知0＜。＜；,随机变量J的分布列如下，当。

增大时（）

€-101

12

pa——a

33

A.石偌）增大，增大B.减小，。（幻增大

C.E（J）增大,减小D.七仔）碱小，。仔）减小

【答案解析】B

2

【考点解析】：E（^）=j-a,

・••当a增大时，£片）减小，

£）O=（—|+a）2a+（a-'|）2（（-a）+（：+4）-=-a2+^-a+^-,

3333339

二。©）在（0,g）上随〃的增大而增大,

故选：B.

10.（2021•全国高三专题练习）将3个球（形状一样，编号差别）随机地投入编号为1、

2、3、4的4个盒子，以J示意其中至少有一个球的盒子的最小号码（4=3示意

第1号,第2号盒子是空的，第3个盒子至少1个球），则E（J）、E（2J+1）分别

等于（）

A,”252533C.|、33

B.—D.一、4

16T16T2

【答案解析】B

【考点解析】由题意可知，随机变量的大概取值有1、2、3、4,

237

C]x3+C3x3+C^_C；X22+C；X2+C；_19

P傍=1）=P（"2）=

4364,4364,

C；+C；+CL7

「（"3）=噂=4）4.，

4^"64,

37197195

所以，E（J）=lx—+2x—+3x—+4x—=一

v76464646416

2533

是以，E（2^+l）=2E（^）+l=2x—+1=—

168

故选:B.

二、解答题

11.（2021•全国高三专题练习（理））某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费

金额（单位：元），如图所示：

（1）现从去年的消费金额超过3200元的消费者中随机抽取2人，求至少有1位消费

者去年的消费金额在（3200,4000］内的概率；

（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：

会员等级消费金额

一样会员2000

银卡会员2700

金卡会员3200

预计去年消费金额在（0,1600］内的消费者今年都将会申请解决一样会员，消费金额在

（1600,3200］内的消费者都将会申请解决银卡会员，消费金额在（3200,4800］内的

消费者都将会申请解决金卡会员，消费者在申请解决会员时，需一次性缴清相应等级的

消费金额，该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利运动，现有如下两种预

设方案：

方案1：按分层抽样从一样会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予

奖励：一样会员中的“幸运之星”每人奖励500元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600

元；金卡会员中的“幸运之星''每人奖励800元.

方案2:每位会员均可参加摸奖游戏，游戏法则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球

只有颜色差别）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球，若摸到红球的总

数为2,则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3,则可获得300元奖励金；其

他情况不给予奖励.规定每位一样会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次

摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的成果彼此独立）.请你猜测哪一

种返利运动方案该健身机构的投资较少？并说明来由.

【答案解析】（1）甘；（2）方案2投资较少，来由见解析.

【考点解析】（1）去年的消费金额超过3200元的消费者有12人,随机抽取2人，消

费金额在（3200,4000］的范畴内的人数为X,大概取值为0,I,2,

P(X21)=l—P(X=0)=l—博一IT

所以至少有1位消费者去年的消费金额在（3200,4000］的范畴内的概率为—

（2）方案1:按分层抽样从一样会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”,

28

则“幸运之星'’中的一样会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为一x25=7,

100

60._,_122〜

-----x25=15,-----x25=3.

100100

根据方案1奖励的总金额。=7x500+15x600+3x800=14900（元）.

方案2：设"示意参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则〃的大概取值为0,200.

300.

c'2

摸到红球的概率2=才=一

G5

所以尸(〃=0)=或.0。,4)3+C；1.02=黑

JJJJ

P(7=200)=C/.(|)2.|=^,

7QQ

P①=300)=《•(m.(/。=言.

77的分布列为

70200300

81368

P

125125125

数学盼望£(〃)=0x&-+200x曳+300x^=76.8(元)，

125125125

根据方案2奖励的总金额$=(28+2x60+3x12)x76.8=14131.2(元)

由白＞刍知，方案2投资较少.

12.（2021•全国高三专题练习（理））据某市地产数据研究院的数据表现，2021年该

市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采纳宏观调

控措施，10月份最先房价得到很好的抑制.

某市2018年新建住宅销售均价走势

万元/平方米

05

..........................................月份

-123~4~5~6~~7~~8~9~101112

（1）地产数据研究院研究发觉，3月至7月的各月均价八万元/平方米）与月份x之间具

有较强的线性相关关系，试创立》关于x的回归方程（系数精确到0.01）,政府若不调

控，依据相关关系猜测12月份该市新建住宅销售均价；

（2）地产数据研究院在2021年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本解析,

若关注所抽三个月份的所属季度，记差别季度的个数为X,求X的分布列和数学盼望.

参考数据：£西=25,之y=5.36,-x)(y-、)=0.64.

/=!i=li=\

回归方程中斜率和截距的最小二乘预计公式分别为：

Zx^i-nxyZ(X,-幻(》->,)

Dh-_闫n_______________-_上1________________，a=一y-b号x

-〃0)22(%-X)2

/=1/=1

i[A

【答案解析】（1）y=0.06x+0.75,1.47万元/平方米；（2）分布列见解析，—

【考点解析】（1）由题意

月份X34567

均价y0.950.981.111.121.20

__5_

2

计算可得：x=5,y=1.072,^(x,.-%)=10,

/=1

_

b=------=-----=0.064,令=Q-屈=0.752,

，(西-龙>

/=1

...从3月到7月，y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75,

当x=12时，代入回归方程得y=1.47.即可猜测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47

万元/平方米.

⑵X的取值为1,2,3,

P(X=l)

Cl55

C：C；C；C=27

P(X=3)

C,255

27

P(X=2)=1-P(%=1)-P(X=3)=—

X的分布列为

X123

12727

P

555555

12727136

E(X)=1X—+2X——F3X—一

555555~55

13.（2021•全国高三专题练习（理））为领会学生寒假期间学习情况，学校对某班男、

女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查成果绘制成折线图如下:

人数

3产飞

2一，------二一一

1一一■■MB■■«0一«0一■■■

0

23456学习时间

女生统计图

男生统计图

(1)已知该校有400名学生，试预计全校学生中，天天学习不足4小时的人数;

(2)若从学习时间不少于4小时的学生中拔取4人，设拔取的男生人数为X,求随机

变量X的分布列及均值E(M;

(3)试对照男生学习时间的方差与女生学习时间的方差的大小.(只需写出结论)

【答案解析】(1)240人；⑵分布列见解析，2；(3)S；＞S；.

【考点解析】(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8

人，女生中学习时间不足4小时的有4人.

故可预计全校学生中天天学习时间不足4小时的人数为400X--240.

20

(2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4,

故X的所有大概取值为0,1,2,3,4.

由题意可得

1

P(X期

C；701

C：C：」6=8

P(X=1)

-70-351

C~C^_36_18

P(X包)

7035'

168

尸(X=3)

《7035,

P(XW)C=_L

C；70

X01234

181881

P

7035353570

所以随机变量X的分布列为

1,，8「18、8,1、

均值旬X—+1X—+2X—+3X—+4X—2.

7035353570

（3）由折线图可得s；＞s；.

14.（2021•全国高三专题练习）改革开放以来，人们的支付方式产生了巨大转变.近年来,

移动支付已成为主要支付方式之一.为领会某校学生上个月48两种移动支付方式的

使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发觉样本中48两种支付方式都不使用

的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额（元）

(0,1000](1000,2000]大于2000

支付方式

仅使用/18人9人3人

仅使用810人14人1人

(1)从全校学生中随机抽取1人，预计该学生上个月48两种支付方式都使用的概

率；

(2)从样本仅使用Z和仅使用8的学生中各随机抽取1人，以X示意这2人中上个月

支付金额大于1000元的人数，求X的分布列；

(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有转变.现从样本仅使用4的学生中，

随机抽查3人，发觉他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查成果，能否认为样本

仅使用/的学生中本月支付金额大于2000元的人数有转变？说明来由.

【答案解析】(1)0.4；(2)分布列见解析；(3)答案见解析.

【考点解析】：(1)由题意知，样本中仅使用4的学生有18+9+3=30人，仅使用B的

学生有10+14+1=25人，A,8两种支付方式都不使用的学生有5人.

故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.

所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月48两种支付方式都使用的概率预计

(2)X的所有大概值为0,1,2.

记事务C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于

1000元“，事务。为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付

金额大于1000元”.

由题设知，事务C,。彼此独立，且P（C）=¥=0.4,P（£＞）=%2=0.6.

所以尸(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,

p（x=i）=尸（C方u。。）=P（C）P（方）+尸（。）尸（。）

=0.4x(l-o.6)+(l-0.4)X0.6=0.52,

P(X=0)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24.

所以X的分布列为

X012

p0.240.520.24

（3）记事务E为“从样本仅使用力的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大

于2000元”.

假定样本仅使用力的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有转变，

C31

则由上个月的样本数据得P（E）=-^-=——.

C„,4060

答案示例1:可以认为有转变.

来由如下：

P(£)对照小，概率对照小的事务一样不容易产生.

一旦产生，就有来由认为本月的支付金额大于2000元的人数产生了转变，所以可以

认为有转变.

答案示例2:无法确定有没有转变.来山如下：

事务£是随机事务，P(E)对照小，一样不容易产生，

但仍是有大概产生的，所以无法确定有没有转变.

15.(2021•贵州毕节市•贵阳一中高三月考(理))随着此刻人们生活水平的接续提高，

旅游成了一种生活时尚，尤其是老年人的旅游市场在接续扩大.为了领会老年人每年

旅游消费支出(单位：元)的情况，相关部分抽取了某地区1000名老年人进行问卷调查,

并把所得数据列成如下所示的频数分布表：

组[0,1000)[1000,2000)[2000,3000)[3000,4000)[4000,5000)[5000,6000)

别

频

120260340250201()

数

(1)求所得样本平均数(精确到元)

(2)根据样本数据，可近似地认为老年人的旅游费用支出X听从正态分布

N(3000,IO。。?)，若该地区共有老年人95000人，试预计有几位老年人旅游费用支出

在5000元以上；

(3)已知样本数据中旅游费用支出在［5000,6000)范畴内的10名老人中有7名女性，

3名男性.现想选其中3名老人回访，记选出的男生人数为短求4的分布列.

附：若尸("—b<X<M+cr)=0.6826,

尸(4-2b<X<〃+2(7)=0.9544,P(--3cr<X<必+3cr)=0.9973.

【答案解析】⑴23207C；(2)2166位；(3)分布列见解析.

【考点解析】(D设样本平均数为％,则有：

500x120+1500x260+2500x340+3500x250+4500x20+5500x10

x=-------------------------------------------------------------=2320

1000

(元)；

(2),///=3000,<T=IOOO,二〃+2b=5000,

所以旅游费用在5(XX)元以上的概率为

P(X2〃+2b)=.凸—2b；X<〃+2b)=Q0228

•.•95000x0.0228=2166,所以预计有2166位老人旅游费用支出在5000元以上；

（3）由题意可知，J的取值为0、1、2、3,

厂7C2C]21C]C27

«°）咯4年9簧磊吆普磊,

,、C31

P（J=3）=-^-=-----

'）党120

所以，随机变量J