福建省福州市达州铁路中学高三数学理上学期期末试卷含解析

福建省福州市达州铁路中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数，若方程恰有四个不同的实数根，则实数m的取值范围为

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A略2.设全集是实数集，M=，N＝

，则图中阴影部分表示的集合是

(

)A．{|1＜≤2B．{|0≤≤2}

C．{|1≤≤2

D．{|＜0}参考答案：C略3.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D4.曲线在点处的切线方程为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略5.如图，A，F分别是双曲线的左顶点、右焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点．若AP⊥AQ，则C的离心率是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：6.已知等比数列的前项和为，则的极大值为（

）A．

2

B．3

C.

D．参考答案：D7.某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n﹣m的值（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B【考点】茎叶图．【分析】利用茎叶图、平均数、中位数的性质，列出方程组，求出m，n，由此能求出结果．【解答】解：由题意得：，解得m=3，n=9，∴n﹣m=9﹣3=6．故选：B．8.经过点作圆的切线l，则l的方程为（

）A. B.或C. D.或参考答案：C【分析】设直线存在斜率，点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率，再讨论直线不存在斜率时，是否能和圆相切，如果能,写出直线方程，综上所述，求出切线方程.【详解】，圆心坐标坐标为，半径为，当过点的切线存在斜率，切线方程为，圆心到它的距离为，所以有，当过点的切线不存在斜率时，即，显然圆心到它的距离为，所以不是圆的切线；因此切线方程为,故本题选C。【点睛】本题考查了求圆的切线.本题实际上是过圆上一点求切线，所以只有一条.9.现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 A．①④②③ B．①④③②

C．④①②③

D．③④②①参考答案：A10.设函数，若和是函数的两个零点，和是的两个极值

点，则等于(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若圆x2+y2=1与直线（参数t∈R）相切，则实数a=．参考答案：±【考点】圆的切线方程．【分析】求出直线的普通方程，利用圆心到直线的距离d==1，即可求出实数a．【解答】解：直线（参数t∈R），普通方程为2x﹣y﹣2a=0，∵圆x2+y2=1与直线（参数t∈R）相切，∴圆心到直线的距离d==1，∴a=±．故答案为：±．【点评】本题考查直线的参数方程转化为普通方程，考查直线与圆的位置关系的运用，属于中档题．12.对任意非零实数，若的运算原理如右图程序框图所示，则=．参考答案：2略13.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为

。参考答案：2本题考查圆参数方程、直线极坐标方程转化为一般方程和直线与圆交点个数问题，难度中等。化简可得曲线；曲线，所以联立两条曲线的方程整理得，即，因此交点有两个。14.已知实数满足，则的最大值为

.参考答案：415.定义在R上的偶函数在[0，)上是增函数，则方程的所有实数根的和为

.参考答案：4略16.用一张16cm×10cm长方形纸片，经过折叠以后，糊成了一个无盖的长方体形纸盒，这个纸盒的最大容积是

cm3.

参考答案：14417.若函数在其定义域上的最小值为0，则a2b的最小值为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），将曲线C1上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为4ρsin（θ+）+=0．（1）求曲线C2的极坐标方程及直线l与曲线C2交点的极坐标；（2）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程．利用同角三角函数的基本关系消去α，把曲线的参数方程化为直角坐标方程，再求出交点的极坐标；（2）设点P（1+2cosα，sinα），求得点P到直线l的距离，由此求得d的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），可得曲线C1的参数方程为（α为参数），利用同角三角函数的基本关系消去α，可得x2+y2﹣x﹣=0，极坐标方程为ρ2﹣ρcosθ﹣=0直线l的极坐标方程为4ρsin（θ+）+=0，即4ρ（sinθ+cosθ）+=0，即2x+2y+=0．联立方程可得交点坐标（﹣，0），（0，﹣），极坐标为（，π），（，）；（2）设P（1+2cosα，sinα），则点P到直线l的距离d=（tanθ=2），∴点P到直线l的距离的最大值为．19.（本小题满分12分）

已知分别是的内角的对边，且（1）求的值；（2）求证：成等差数列；参考答案：（1）∵C=2A,∴sinC=sin2A………2分[K]∴∴.…4分（文5分）[K]（2）∵∴………6分[K]（文8分）∵cosA=,∴,……………（文10分）∴[K]即，∴a,b,c成等差数列.…8分（文12分）法二：由

得20.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，a2=8，Sn+1+4Sn﹣1=5Sn（n≥2），Tn是数列{log2an}的前n项和．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求满足的最大正整数n的值．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）运用当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；（2）由等差数列的求和公式，可得Tn，化简不等式可得，解不等式即可得到n的最大值．【解答】解：（1）∵当n≥2时，Sn+1+4Sn﹣1=5Sn，∴Sn+1﹣Sn=4（Sn﹣Sn﹣1），∴an+1=4an．∵a1=2，a2=8，∴a2=4a1，∴数列{an}是以a1=2为首项，公比为4的等比数列，∴．（2）由（1）得：，∴Tn=log2a1+log2a2+…+log2an=1+3+…+（2n﹣1）==n2．即有===，令，解得n≤1008．故满足条件的最大正整数n的值为1008．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的通项和前n项和的关系，以及不等式的解法，注意化简整理，考查运算能力，属于中档题．21.（本小题满分12分）已知向量，定义函数（I）求函数最小正周期；（II）在△ABC中，角A为锐角，且，求边AC的长．参考答案：解：（Ⅰ）

∴

…………6分（Ⅱ）由得，∴

且∴，又∵，∴

……………10分在△ABC中，由正弦定理得：，∴

……………12分略22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点O为原点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与x轴的交点为P，过点P作倾斜角为的直线m与曲线C交于A，B两点，求的最大值.参考答案：（1），；（2）2【分析】（1）由得曲线C的普通方程为：y2＝1，由ρsin（θ）得ρ（sinθcosθ），得直线l的直角坐标方程为：x+y﹣1＝0；（2）先求出直线l的参数方程的标准形式，并