广东省湛江市华港高级中学高一数学理模拟试卷含解析

广东省湛江市华港高级中学高一数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若平面向量与的夹角为120°，=（，﹣），||=2，则|2﹣|等于（）A． B．2 C．4 D．12参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的模，以及向量的数量积公式计算即可．【解答】解：∵平面向量与的夹角为120°，=（，﹣），||=2，∴||=1，∴=||?||?cos120°=1×2×=﹣1，∴|2﹣|2=4||2+||2﹣4=4+4﹣4×（﹣1）=12，∴|2﹣|=2故选：B2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为A.2 B.3 C.5 D.6参考答案：C【分析】画出可行域，用截距模型求最值。【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，故目标函数在点处取得最大值。由，得，所以。故选C。【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．3.已知与均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（）A. B. C. D.4参考答案：A本题主要考查的是向量的求模公式。由条件可知==，所以应选A。4.已知函数f（x）=，若f（x）=3，则x=（）A．0，6 B．﹣1，6 C．﹣1，0 D．﹣1，0，6参考答案：B【考点】函数的值．【分析】由已知得当x＞0时，f（x）=x2﹣6x+3=3；当x＜0时，f（x）=1﹣2x=3．由此能求出x．【解答】解：∵函数f（x）=，f（x）=3，∴当x＞0时，f（x）=x2﹣6x+3=3，解得x=6或x=0（舍）；当x＜0时，f（x）=1﹣2x=3，解得x=﹣1．∴x=﹣1或x=6．故选：B．5.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907

966

191

925

271

932

812

458

569

683431

257

393

027

556

488

730

113

537

989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15参考答案：B【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果．【解答】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，∴所求概率为．故选B．【点评】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．6.已知，则

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.下列各函数中，最小值为2的是（）A．y=x+ B．y=sinx+，x∈（0，2π）C．y= D．y=+﹣2参考答案：D【考点】7F：基本不等式．【分析】通过举反例，排除不符合条件的选项A、B、C，利用基本不等式证明D正确，从而得出结论．【解答】解：当x=﹣1时，y=x+=﹣2，故排除A．当sinx=﹣1时，y=sinx+=﹣2，故排除B．当x=0时，y==，故排除C．对于y=+﹣2，利用基本不等式可得y≥2﹣2=2，当且仅当x=4时，等号成立，故D满足条件，故选：D．8.设函数，则的值是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D略9.已知函数,若有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是（）A.(1,3)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)参考答案：D10.给出以下四个选项，正确的个数是（）①函数f（x）=sin2xcosx的图象关于直线x=π对称②函数y=3?2x+1的图象可以由函数y=2x的图象仅通过平移得到．③函数y=ln与y=lntan是同一函数．④在△ABC中，若==，则tanA：tanB：tanC=3：2：1．A．1个B．2个C．3个D．0个参考答案：A考点：命题的真假判断与应用．

专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数图象的对称变换，分析函数f（x）=sin2xcosx的图象关于直线x=π对称后的函数解析式与原函数解析式的关系，可判断①；根据指数的运算性质及函数图象平移变换法则，可判断②；分析两个函数的定义域和对应关系是否一致，可判断③；根据已知结合向量数量积的定义及正弦定理的边角互化，求出tanA：tanB：tanC的值，可判断④解答：解：①函数f（x）=sin2xcosx的图象关于直线x=π对称变换后的解析式为：f（x）=sin2（2π﹣x）cos（2π﹣x）=sin（4π﹣2x）cos（2π﹣x）=﹣sin2xcosx，x=π不是函数f（x）=sin2xcosx的图象的对称轴，故①错误；②函数y=3?2x+1=的图象可以由函数y=2x的图象向左平移log23个单位，再向上平移1个单位得到，故②正确；③函数y=ln=ln=ln=ln=lntan，但函数y=ln的定义域与函数y=lntan的定义域不同，故两个函数不是同一函数，故③错误；④在△ABC中，若==，则，则，则tanA=3tanB且tanA=2tanC，则tanA：tanB：tanC=6：3：2，故④错误．故正确的命题的个数是1个，故选：A点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，﹣1），则|2﹣|的最大值是．参考答案：4【考点】三角函数的最值；向量的模．【分析】先根据向量的线性运算得到2﹣的表达式，再由向量模的求法表示出|2﹣|，再结合正弦和余弦函数的公式进行化简，最后根据正弦函数的最值可得到答案．【解答】解：∵2﹣=（2cosθ﹣，2sinθ+1），∴|2﹣|==≤4．∴|2﹣|的最大值为4．故答案为：412.关于平面向量，，，有下列三个命题：①若?=?，则=、②若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=﹣3．③非零向量和满足｜｜=｜｜=｜﹣｜，则与+的夹角为60°．其中真命题的序号为

．（写出所有真命题的序号）参考答案：②【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①向量不满足约分运算，但满足分配律，由此我们利用向量的运算性质，可判断平面向量，，的关系；②中，由∥，我们根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为0的原则，可以构造一个关于k的方程，解方程即可求出k值；③中，若｜｜=｜｜=｜﹣｜，我们利用向量加减法的平行四边形法则，可以画出满足条件图象，利用图象易得到两个向量的夹角；【解答】解：①若?=?，则?（﹣）=0，此时⊥（﹣），而不一定=，①为假．②由两向量∥的充要条件，知1×6﹣k?（﹣2）=0，解得k=﹣3，②为真．③如图，在△ABC中，设，，，由｜｜=｜｜=｜﹣｜，可知△ABC为等边三角形．由平行四边形法则作出向量+=，此时与+成的角为30°．③为假．综上，只有②是真命题．答案：②13.已知定义在上的奇函数，满足，且在区间[0,2]上是增函数，若方程在区间[-8,8]上有四个不同的根，则___________参考答案：-814.已知函数f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．参考答案：【考点】指数型复合函数的性质及应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=ax+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=ax+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题．15.若函数在区间上是增函数，则的取值范围是

。参考答案：16.下列各组中的两个函数是同一函数的是

．（填序号）①y1=，y2=x－5；②y1=，y2=；③y1=x，y2=；④y1=x，y2=；⑤y1=()2，y2=2x－5；⑥y1=x2－2x－1，y2=t2－2t－1.

参考答案：④⑥17.已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的最大值是1，其图象经过点M（，），则f（）=

．参考答案：﹣【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由已知函数f（x），得出A的值，再根据函数图象过点M，求出φ的值，即可写出f（x）的解析式，进而利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：由函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，∴A=1；又其图象经过点M（，），∴sin（+φ）=，∴+φ=+2kπ，或+φ=+2kπ，k∈Z；∴φ=﹣+2kπ，或φ=+2kπ，k∈Z；又0＜φ＜π，∴φ=；∴f（x）=sin（x+）=cosx；…∴f（）=cos=﹣…故答案为：﹣．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.小王大学毕业后决定利用所学知识自主创业，在一块矩形的空地上办起了养殖场，如图所示，四边形ABCD为矩形，米，米，现为了养殖需要，在养殖场内要建造一个蓄水池，小王因地制宜，建造了一个三角形形状的蓄水池，其中顶点分别为A，E，F（E，F两点在线段BD上），且，设∠BAE=α.（1）请将蓄水池的面积表示为关于角的函数形式，并写出角的定义域;（2）当角为何值时，蓄水池的面积最大？并求出此最大值.参考答案：（1）因为，，所以，在中，米，米，所以在中，.......4分在中由正弦定理得：所以，......................6分在中，由正弦定理得：所以，..........8分则的面积，，......10分（2）因为，所以....................12分所以则的最小值为…………...………………14分所以当时，取最大值为............16分答：当时，蓄水池的面积最大，最大值为……...………16分19.（12分）我们知道在△ABC中有A+B+C=，已知B=，求sinA+sinC的取值范围。参考答案：

略20.已知函数，且函数y=f（x）的图象经过点（1，2）．（1）求m的值；（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．参考答案：【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（1）根据函数y=f（x）的图象经过点（1，2），将点的坐标代入函数的解析式，我们易得一个关于m的方程，解方程即可求出m的值．（2）要证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，我们可以利用定义法（作差法）进行证明．【解答】解：（1）∵函数y=f（x）的图象经过点（1，2）∴2=1+m∴m=1（2）设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=∵x1﹣x2＜0，x1x2﹣1＞0，x1x2＞0∴f（x1）＜f（x2）∴y=f（x）在（1，+∞）上为增函数21.已知两个定点，动点P满足.设动点P的轨迹为曲线E，直线.（1）求曲线E的轨迹方程；（2）若l与曲线E交于不同的C，D两点，且（O为坐标原点），求直线l的斜率；（3）若是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点.参考答案：解：（1）设点坐标为由，得：整理得：曲线的轨迹方程为（2）依题意（3）由题意可知：四点共圆且在以为直径的圆上，设，其方程为，即：又在曲线上，即，由得，直线过定点.22.（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且CD⊥面PAD，E为侧棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若直线AC与平面PCD所成的角为45°，求．参考答案：考点： 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题： 空间位置关系与距离；空间角．分析： （1）连结BD交AC于O，连结EO，由已知得EO∥PB，由此能证明PB∥平面EAC．（2）由已知得AE⊥PD，CD⊥AE，由此能证明AE⊥平面PCD．（3）AE⊥平面PCD，直线AC与平面PCD所成的角为∠ACE，由此能求出．解答： （1）证明：连结BD交AC于O，连结EO，∵O、E分别为BD、PD的中点，∴EO∥PB

…（2分）∵EO?平面EAC，PB不包