函数逼近的插值法省公开课一等奖全国示范课微课金奖

分段线性插值前面我们依据区间[a,b]上给出节点做插值多项式Ln(x)近似表示f(x)。普通总认为Ln(x)次数越高，迫近f(x)精度越好，但实际并非如此，次数越高，计算量越大，也不一定收敛。所以高次插值普通要慎用，实际上较多采取分段低次插值。第1页1分段插值第2页第3页分段线性插值第4页分段线性插值第5页分段线性插值第6页缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在第7页分段三次Hermite插值上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，假如交通工具用这么外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，所以用hermite分段插值更加好。第8页分段三次Hermite插值第9页分段三次Hermite插值算法第10页第11页2三次样条插值第12页三次样条插值第13页三次样条插值第14页三次样条插值第15页三次样条插值第16页三次样条插值第17页三次样条插值第18页三次样条插值第19页第20页三次样条插值第21页三次样条插值第22页三次样条插值第23页三次样条插值第24页例题例2.4.1已知函数y=f(x)数表以下表所表示。

求满足边界条件x00.150.300.450.60f(x)10.978000.917430.831600.73529第25页解做差商因为是等距离节点,第26页由第二类边界条件得第27页解方程得将Mi代（*）式得第28页因为故

第29页MATLAB实现x=0:0.15:0.60;y=[1,0.97800,0.91743,0.83160,0.73529];y1=interp1(x,y,0.2,'spline')y1=0.9615第30页对离散数据曲线拟合最小二乘法曲线拟合问题对于f(x)插值问题,要想提升精度,就要增加节点,所以多项式次数也就太高,计算量过大,而节点少,多项式次数低,但误差精度不能确保,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲线拟合问题.第31页直线拟合第32页第33页曲线拟合在科学试验中,得到函数y=f(x)一组试验数据:,求曲线与试验数据误差在某种度量意义下最小.第34页设是[a,b]上一组线性无关连续函数,令记误差.为寻求我们常以误差加权平方和最小为度量标准,即第35页到达极小值,这里是[a,b]上权函数.有多元函数极值必要条件有第36页特例第37页例题例1设函数y=f(x)离散数据以下表所表示试用二次多项式拟和上述数据,并求平方误差.01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718第38页解由式(*)可得解方程组得所以拟合二次函数为第39页平方误差为第40页MATLAB实现x=[0:0.2:1];y=[1.000,1.221,1.492,1.822,2.226,2.718];[p,s]=polyfit(x,y,2);y1=polyval(p,x);plot(x,y1,'b:',x,y,'r^')第41页例2地球温室效应问题下表统计了近100年内地球大气气温上升数据.试依据表中数据建立一数学模型即拟和曲线,并依据这一模型,预报地球气温何年会比1860年平均温度高第42页年份N1860年后地球气温增加值年份N1860年后地球气温增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.0619800.3219300.08第43页解为简化数据,从1880年起年份记N,其变换n=(N-1870)/10.将地球气温增加值改记为t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是将原气温增加值扩大100倍,依据新数据绘制图以下第44页第45页从上图能够看出,气温t与变换n大致服从指数函数增加过程,所以,能够假设t与n满足指数函数关系为决定参数α,β将上式改写成第46页记则有这是已知数据对应地变为以下表所表示n1234567891011ln1ln2ln3ln4ln6ln8ln10ln13ln19ln24ln32第47页由（*）式取n=1,m=10,并将上表已知数据带入得解方程组得:第48页对应t与n指数型拟合