行波波动方程

行波波动方程§2.1行波

一．机械波的产生二．描述波的物理量

§2.2平面简谐波

一．波函数二．波动曲线

§2.3

波动方程第二章波动学基础作业：21.3，21.6，21.7，第2页,共64页，2024年2月25日，星期天

振动在空间的传播过程叫做波动第二章波动学基础机械振动在媒质中的传播称为机械波。如声波、水波、地震波等变化电场或变化磁场在空间的传播称为电磁波。如无线电波、光波、等虽然各类波的本质不同，各有其特殊的性质和规律，但在形式上它们也具有许多共同的特征。如都具有一定的传播速度，都伴随着能量的传播，都能产生反射、折射、干涉或衍射等现象。第3页,共64页，2024年2月25日，星期天一.机械波的产生§2.1行波

机械波产生的条件振源作机械振动的物体——波源媒质传播机械振动的物体在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的，因此这样的媒质又称弹性媒质。什么是物质的弹性？第4页,共64页，2024年2月25日，星期天2.3物体的弹性变形物体包括固体、液体和气体，在受到外力作用时，形状或体积都会发生或大或小的变化。这种变化统称为形变当外力不太大因而引起的形变也不太大时，去掉外力，形状或体积仍能复原。这个外力的限度称作弹性限度。在弹性限度内，外力和形变具有简单的关系，由于外力施加的方式不同，形变可以有以下几种基本方式：线变切变体变第5页,共64页，2024年2月25日，星期天⑴

线变一段固体棒，当在其两端沿轴的方向加以方向相反大小相等的外力时，其长度会发生改变，伸长或压缩视二者方向而定。以F表示力的大小，以S表示棒的横截面积，则叫F∕S叫做应力，以l表示棒的长度，实验表明：在弹性限度内，应力和应变成正比。以Δl表示在外力F作用下的长度变化。则Δl∕l叫相对长度变化，又叫应变第6页,共64页，2024年2月25日，星期天⑴

线变胡克定律在弹性限度内，应力和应变成正比。为关于长度的比例系数，它随材料不同而不同，叫杨氏模量。第7页,共64页，2024年2月25日，星期天⑵

切变一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平行的大小相等方向相反的力作用时，形状就要发生改变，如图，外力F和施力面积S之比，为切变的应力施力面积相互错开而引起的材料角度的变化ф，叫切变的应变。这种形式的形变叫切变。第8页,共64页，2024年2月25日，星期天⑵

切变在弹性限度内，切变的应力也和应变成正比。称作切变弹性模量。由材料的性质决定。第9页,共64页，2024年2月25日，星期天⑶

体变一块物质周围受到的压强改变时，其体积也会发生改变，如图，以

V表示原体积，ΔP表示压强的改变，以ΔV∕V表示相应体积的相对变化，即应变，则有叫体变弹性模量,它由物质的性质决定,“－”表示压强的增大总导致体积的减小第10页,共64页，2024年2月25日，星期天一.机械波的产生§2.1行波

机械波产生的条件振源作机械振动的物体——波源媒质传播机械振动的物体在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的，因此这样的媒质又称弹性媒质。机械振动是如何靠弹性来传播呢？第11页,共64页，2024年2月25日，星期天

机械波的传播第12页,共64页，2024年2月25日，星期天

纵波和横波按质元振动方向与波传播的方向之间的关系波划分为横波纵波振动方向与波传播方向垂直的波。振动方向与波传播方向在一条直线上的波。如弹簧中传播的波以及声波如细绳中传播的波波传播是由于质元的形变，对横波、纵波来说，质元发生形变情形是什么样的呢？第13页,共64页，2024年2月25日，星期天横波从图上可以明显看出在横波中各质元发生切变，外形有波峰波谷之分横波只能在弹性固体中传播第14页,共64页，2024年2月25日，星期天纵波在纵波中，各质元发生长变或体变，因而媒质的密度发生改变，各处疏密不同，所以纵波也叫疏密波。纵波在气体、液体、固体媒质中都可以传播第15页,共64页，2024年2月25日，星期天

波的特征

不管是横波还是纵波，在波传播的过程中，媒质中各质元均在各自的平衡位置附近振动，质元本身并不迁移，质元并未“随波逐流”

。(2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动。(3)

某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻

于“下游”某处出现---波是振动状态的传播

(4)在媒质中沿波传播方向，相隔一定距离存在同相质元----质元的振动状态相同第16页,共64页，2024年2月25日，星期天

波的几何描述波的传播是振动的传播而非质元的迁移，由于振动状态常用位相来表示，所以振动状态的传播也可以用位相的传播来说明。为了形象直观地表示媒质中各质元的位相的关系以及波传播的方向，常用几何图形加以描述。波线：用带箭头的线表示波传播的方向。波面：媒质中振动位相相同的质元组成的曲面。波前：波源开始振动后，在同一时刻，振动到达的各点构成的面,显然是一个同位相面，由于这一波面在波传播方向的最前方，所以又叫做波前或波阵面。第17页,共64页，2024年2月25日，星期天根据波前的形状不同，波可分为平面波，球面波，柱面波。球面波平面波波线

波面第18页,共64页，2024年2月25日，星期天二．描述波的物理量

周期T、频率ν波是机械振动的传播，在传播的过程中，媒质的各个质元都在平衡位置附近作机械振动。由于振动具有时间上的周期性，所以波也具有时间上的周期性，即每隔一定的时间，媒质中各质元的振动状态都将复原。媒质中振动状态复原时所需的最短时间，也即质元完成一次全振动的时间叫波的周期，周期的倒数叫频率。第19页,共64页，2024年2月25日，星期天在媒质中沿波传播方向，每隔一定距离，媒质的质元的振动状态在各时刻都相同

----质元的振动同相表明波具有空间上的周期性。引入波长的概念来描述波在空间上的周期性。第20页,共64页，2024年2月25日，星期天

波长λ在波的传播方向上两个相邻的同相质元之间的距离叫做波长。记作

λ从外形上看，横波的一个波长中有一个波峰和一个波谷，相邻两个波峰或波谷之间的距离等于一个波长λλ第21页,共64页，2024年2月25日，星期天

波长λ在波的传播方向上两个相邻的同相质元之间的距离叫做波长。记作

λ纵波的一个波长内有一个疏部和一个密部。相邻两个密部或疏部之间的距离等于一个波长λλ横波中的一峰一谷和纵波的一疏一密构成了一个“完整波”——包含了全部振动状态，因此一个波长就是一个“完整波”的长度。第22页,共64页，2024年2月25日，星期天

周期T、频率ν与波长λ的关系波的时间上的周期性和空间上的周期性是密切联系的，这种联系就表现在：在一个周期的时间内，某一确定的振动状态，也即某一确定的位相，所传播的距离正好是一个波长。如果以u表示振动状态或振动相的传播的速度，则这一联系可用公式表示为这是表示波的基本特征的重要公式第23页,共64页，2024年2月25日，星期天将上式改写表明：波的频率等于单位时间内通过媒质某一点的“完整波”的个数。第24页,共64页，2024年2月25日，星期天

波速u波速的大小决定于媒质的性质，振动状态或振动位相的传播速度，也称相速度E—

杨氏弹性模量

—

体密度(2)

固体棒中的纵波(1)

固体中的横波G—

切变模量∵G<E,固体中

ｕ横波<ｕ纵波第25页,共64页，2024年2月25日，星期天(3)

弹性绳上的横波T—

绳的初始张力,

—

绳的线密度(4)

流体中的声波k—体积模量,

0—无声波时的流体密度=Cp/Cv

,

—

摩尔质量理想气体:第26页,共64页，2024年2月25日，星期天§2.2简谐波如果媒质中所传播的是简谐振动，则媒质中各质元均作简谐振动，则相应的波称作简谐波，又叫正弦波。平面简谐波：波面是平面的简谐波。球面简谐波：波面是球面的简谐波。第27页,共64页，2024年2月25日，星期天一．平面简谐波的波函数（波的表达式）波函数的含义：与简谐振动表达式对比说明x=Acos(

t

o)是简谐振动质点的运动方程表示时刻t质点离开平衡位置的位移，取决于位相

t

o第28页,共64页，2024年2月25日，星期天一．平面简谐波的波函数（波的表达式）

波函数波的表达式给出一个能够描述媒质中所有质元的运动状态的方程，即振动表达式应表示出所有质元在时刻t的位移，除了取决

t

o

外，还应与质元的位置坐标有关第29页,共64页，2024年2月25日，星期天下面来写出平面简谐波的表达式假设一平面简谐波在理想的、不吸收振动能量的均匀无限大媒质中传播。波传播的速度为，方向如图选择平行波线方向的直线为x轴。●第30页,共64页，2024年2月25日，星期天在垂直x轴的平面上的各质元（振动状态相同），它们在同一时刻对各自的平衡位置有相同的位移。因此，对于平面波来说只需知道x轴上各质元的振动状态就可以了。●即:平面波的波函数给出的是x轴上各质元的振动表达式第31页,共64页，2024年2月25日，星期天已知平面简谐波沿x轴正向传播，

x轴上质元离开平衡位置的位移用y表示●设t时刻位于原点o的质元的振动表达式为：第32页,共64页，2024年2月25日，星期天由假设，在振动传播过程中，媒质并不吸收振动的能量，所以各质元的振动的振幅相等。则当o

点质元的振动以波速u传到任一点P时●●

P点质元将以相同的振幅和频率，重复o

点质元的振动，但P点振动的位相要比

o

点落后。第33页,共64页，2024年2月25日，星期天由于沿波传播方向每隔一个波长λ，位相就要落后2π，每隔单位长度位相落后2π∕λ

设P点距o

点的距离为x，P点振动的位相要比

o

点落后x

2π

∕λ

●●第34页,共64页，2024年2月25日，星期天P点振动的位相要比

o

点落后x2π∕λ

●●t时刻o点质元的振动位相：t时刻P点质元的振动位相：第35页,共64页，2024年2月25日，星期天●●结果：t时刻P点质元振动的振幅和频率与o

点相同，

P点振动的位相t时刻P点质元振动的表达式：第36页,共64页，2024年2月25日，星期天●●因为P点是任选的，上式就是x轴上任意质元的振动表达式，即平面简谐波的波函数利用关系波函数还有其它形式第37页,共64页，2024年2月25日，星期天令波数第38页,共64页，2024年2月25日，星期天讨论

平面简谐波波函数的物理意义

当x一定时，即对于某一确定位置（x＝x0）的质元。波函数给出了x＝x0处质元作简谐振动的表达式第39页,共64页，2024年2月25日，星期天当t一定时，即对于某一确定时刻（t＝t0）。波函数给出了t0时刻各个质元离开平衡位置的位移当x、t变化时，波函数给出了任意x

处质元在任意t

时刻离开平衡位置的位移第40页,共64页，2024年2月25日，星期天表达式也反映了波是振动状态的传播●●●第41页,共64页，2024年2月25日，星期天沿负向传播的平面简谐波的表达式●●第42页,共64页，2024年2月25日，星期天二．波动曲线根据波动表达式以t时刻，质元的平衡位置x为横坐标，以质元离开平衡位置的位移y为纵坐标，画出的曲线，叫t时刻波形曲线。xyo

u→

t第43页,共64页，2024年2月25日，星期天xyo

t

u→

波形曲线上两相邻波峰或波谷之间的距离等于一个波长，表示一个周期内波传播的距离。

波形曲线上波峰或波谷的纵坐标的绝对值等于波的振幅，表示质元离开平衡位置的最大位移。-AA

λ

λ第44页,共64页，2024年2月25日，星期天xyo

t

u→

λ

t＋Δto-AA

不同时刻对应有不同的波形曲线

第45页,共64页，2024年2月25日，星期天将平面简谐波的波函数分别对t及x求两次偏导数比较两式波动方程的运动学推导§2.4波动方程第46页,共64页，2024年2月25日，星期天——波动方程注意：波动方程是由平面简谐波推导出的，但对其它平面波仍然成立，从数学上，平面简谐波波函数只是上述波动方程的一个特解。第47页,共64页，2024年2月25日，星期天——波动方程波动方程的动力学推导以平面波在固体细长棒中的传播为例以上是按运动学的观点来讨论波动过程的传播规律，还可以进一步从动力学的观点，更本质地分析波动方程的意义.设有一截面积为S，密度为ρ的固体细棒，一平面纵波沿棒长方向传播。第48页,共64页，2024年2月25日，星期天当有纵波传播时，该体积元发生线变，设t时刻体积元正被拉长(先做力分析—应力分析）：这一体积元的长度为dx，体积选棒长的方向为x轴，在棒上距o点x处附近取一体积元ab，

●●●●左端受到应力为σ，方向向左；右端受到应力为σ＋dσ

，方向向右；第49页,共64页，2024年2月25日，星期天●●●●应力是x和t

的函数t

时刻体积元所受合力体积元质量为根据牛顿第二定律有第50页,共64页，2024年2月25日，星期天●●●●●●●在应力作用下体积元发生线变（分析长度方向的变化—应变分析）：a端发生的位移为y，b端发生的位移为y＋dy由图上几何关系，体积元长度变化为dyt

时刻第51页,共64页，2024年2月25日，星期天由图上几何关系，体积元长度变化为dy●●●●●●●t

时刻体积元的原长dx体积元的应变为由胡克定律

杨氏模量。第52页,共64页，2024年2月25日，星期天●●●●●●●t

时刻牛顿第二定律应力公式速度公式第53页,共64页，2024年2月25日，星期天例1.⑴o点振动表达式；⑶P点振动表达式；⑹Q，P点的位相差⑵波函数⑷Q点振动方向⑸P点振动方向；xyo●●mm第54页,共64页，2024年2月25日，星期天⑴o点振动表达式；解：设

o点振动表达式xyo●●由波形图第55页,共64页，20