广西柳州市2021年中考数学真题试卷（解析版）

2021年柳州市初中学业水平考试与高中阶段学校招生考试

数学

（考试时间：120分钟满分：120分）

第I卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合

要求的）

1.在实数3,0,一2中，最大的数为（）

A.3B.—C.0D.-2

2

【答案】A

【解析】

【分析】根据正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，两

个正数比较大小，绝对值大数就大，据此判断即可.

【详解】根据有理数的比较大小方法，可得：

-2<0<-<3，

2

因此最大的数是：3,

故选：A.

【点睛】本题考查了实数的比较大小，解答此题的关键在于明确：正数>0>负数.

2.如下摆放的几何体中，主视图为圆的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】逐项分析，根据三视图的定义，找出主视图为圆的选项.

【详解】A.主视图为三角形，不符合题意；

B.主视图为矩形，不符合题意；

C.主视图为正方形，不符合题意；

D.主视图为圆，符合题意.

故选D.

【点睛】本题考查了三视图的知识点，熟知主视图的定义和画三视图的规则是解题的关键.

3.柳州市大力发展新能源汽车业，仪今年二月宏光M/N/EV销量就达17000辆，用科学记数法将数据17000

表示为（）

A.0.17X105B.17x103C.1.7xl04D.1.7xl05

【答案】C

【解析】

分析】用科学计数法表示出即可.

【详解】17000=1.7xlO4.

故选C.

【点睛】本题考查了科学计数法，科学记数法表示形式为axlO”的形式，其中号同＜10,〃为整数.确定

〃的值时，要看把原来的数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.

4.以下四个标志，每个标志都有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形是（）

节能

绿色食品“

【答案】D

【解析】

【分析】根据轴对称图形的定义判断即可

【详解】都不是轴对称图形，

...都不符合题意；

。是轴对称图形，符合题意,

故选D.

【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，准确理解轴对称图形的定义是解题的关键.

5.以下调查中，最适合用来全面调查的是（）

A.调查柳江流域水质情况B.了解全国中学生的心理健康状况

C.了解全班学生的身高情况D.调查春节联欢晚会收视率

【答案】C

【解析】

【分析】逐项分析，找出适合全面调查的选项即可.

【详解】A.调查柳江流域水质情况，普查不切实际，适用采用抽样调查，不符合题意；

B.了解全国中学生的心理健康状况，调查范围广，适合抽样调查，不符合题意；

C.了解全班学生的身高情况，适合普查，符合题意；

D.调查春节联欢晚会收视率，调查范围广，适合抽样调查，不符合题意.

故选C.

【点睛】本题考查的是全面调查与抽样调查；在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问

题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小.理解全面调查与抽样调查的适用范围是解题的

关键.

6.如图，在菱形ABC。中，对角线AC=8,8。=10,则”口）的面积为（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【解析】

【分析】菱形的对角线互相垂直平分，故八4。。的面积为对角线的一半的乘积的4.

【详解】•.•ABCD是菱形

AC±BD,AO=OC,BO=OD

△40。的面积

2

——X—X8X—X10

222

=10

故选B.

【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形面积，理解△AOD是直角三角形是解题的关键.

7.如图，有4张形状大小质地均相同的卡片，正面印有速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶四种不同的图案,

背面完全相同，现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面怡好是

冰壶项目图案的概率是（）

【答案】A

【解析】

【分析】事件所有可能的结果有4种，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的结果有1种，据此利用概率公

式求解即可.

【详解】事件所有可能的结果有4种，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的结果有1种，所以抽出的卡片

正面怡好是冰壶项目图案的概率是1.

4

故选：A.

【点睛】本题考查了等可能事件的概率，根据概率计算公式，必须知道所有可能的结果及事件发生的结果.

8.下列计算正确的是（）

A.6+币=回B.3+近=34C.73x77=721D.277-2=77

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次根式的运算性质求解，逐项分析即可

【详解】A.6+J7,不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；

B.3+近，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；

c.6xJ7==符合题意;

D.2近-2，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意.

故选C.

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法法则，是解题的关键.

9.某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分为及方差片如右表所示，那么这三

名同学数学成绩最检定的是()

甲乙丙

X919191

S262454

A.甲B.乙C.丙D.无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】先比较平均成绩，当平均成绩一致时，比较方差，方差小的波动小，成绩更稳定.

【详解】甲、乙、丙的成绩的平均分［都是91,故比较它们的方差，甲、乙、丙三名同学的方差分别为6,

24,54；故甲的方差是最小的，则甲的成绩是最稳定的.

故选A.

【点睛】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题

的关键.

10.若一次函数y=+b的图像如图所示，则下列说法正确的是()

A.%>0B.b=2C.y随x的增大而增大D.x=3时，y=0

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据图像中过两点(0,2),(4,0),求出一次函数的解析式，然后根据函数的性质进行判断即可.

【详解】首先将(0,2),(4,0)代入一次函数解析式丁二丘+〃，得

b=2

4Z+b=0'

L_l

解得彳=2,

b=2

所以解析式为y=—+2；

A、女〉0,由求出的左=一,，可知此选项错误；

2

B、h=2,由求出的h=2,可知此选项正确；

C、因为％<0,所以)，随x的增大而减小，故此选项错误:

D、将43代入，^=--x3+2=-,故此选项错误；

22

故选：B.

【点睛】本题考查一次函数丁=履+双左#0)图像的性质和求一次函数解析式，熟练掌握函数图像与函数解

析式中系数％,b的关系是解题关键.

II.往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度

AB=24cm,则水的最大深度为()

A.5cmB.8cmC.10cmD.12cm

【答案】B

【解析】

【分析】连接OA，过点。作OQ_LAB交A8于点C交。。于。，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得

出CD的长.

【详解】解：连接04过点。作00,48交AB于点C交。。于£>,

VOCLAB,由垂径定理可知，

：.AC^CB=—AB=\2,

2

在RSAOC中，由勾股定理可知：

OC=-AC2=7132-122=5，

CD=0。-OC=13-5=8(cm),

故选：B.

【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，属于基础题，关键是过O点作AB的垂线，由此即可求解.

12.如图所示，点A,B,C对应的刻度分别为1,3,5,将线段C4绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次

落在矩形8C0E的边跳上时，记为点A',则此时线段C4扫过的图形的面积为()

48

C.一冗D.-71

33

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可知，AC扫过的图形为一个扇形，，半径为4,求出？54c30,?BCA'60,再根据扇

形面积公式求解即可.

【详解】解：由图可知：AC=A,C=4,BC=2,

BC21

：.sin?BAC

A,C42

；.?BA'C30,?BCA'6(),

线段C4扫过的图形为扇形，此扇形的半径为C4=4,

&_60，/_8

。扇形ACT-360。04一32，

故选：D.

【点睛】本题考查了扇形的面积公式，读懂题目明确AC扫过的图形为一个扇形，且扇形的半径为4是解决

本题的关键.

第n卷

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）

13.如图，直线a〃0,Nl=60。，则N2的度数是

【答案】60

【解析】

【分析】根据平行线的性质可得Nl=/3,根据对顶角相等即可求得/2的度数.

【详解】如图

.•./3=/1=60°

,ZZ2=Z3

Z2=60°

故答案为：60

【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角的性质，掌握这两个性质并熟练运用是关键.

14.因式分/_1=.

【答案】（x+l）（x-l）.

【解析】

【详解】原式=(x+l)(x—1).故答案为(x+l)(x—1).

考点：1.因式分解-运用公式法；2.因式分解.

15.如图，在数轴上表示x取值范围是.

-101234

【答案】x>2

【解析】

【分析】根据数轴可知，表示尤的数在数2的右边，且不等于2,因此即可判断x的取值范围.

【详解】由数轴知：%>2,

故答案为：x>2.

【点睛】本题考查用不等式表示数轴上的数的范围，体现了数与形的结合，要注意是实心点还是空心圆圈.

16.若长度分别为3,4,。的三条线段能组成一个三角形，则整数。的值可以是.(写出一个即可)

【答案】5(答案不唯一)

【解析】

【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可.

【详解】解：由题意知：4-3<«<4+3,即

整数。可取2、3、4、5、6中的一个，

故答案为：5(答案不唯一).

【点睛】本题考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边a的取值范围是解答的关键.

17.在x轴，y轴上分别截取。4=06,再分别以点A,8为圆心，以大于;48长为半径画弧，两弧交于

点P,若点P的坐标为(a,2),则。的值是一

【答案】2或—2

【解析】

【分析】分P点在第一象限和第二象限分类讨论，由尺规作图痕迹可知，P为NA0B的角平分线，由此得

到横坐标与纵坐标相等或互为相反数.

【详解】解：当P点位于第一象限时，如下图所示：

由尺规作图痕迹可知，0P为/AOB角平分线，此时尸点横坐标与纵坐标相等,

故。=2；

当P点位于第二象限时，如下图所示：

由尺规作图痕迹可知，0P为/AOB角平分线，此时尸点横坐标与纵坐标互为相反数，

故a=-2；

，。的值是2或-2.

【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，属于基础题，本题要注意考虑P点在第一象限和第二象限这两

种情况.

18.如图，一次函数y=2x与反比例数)，=幺(%>0)的图像交于4,8两点，点M在以C(2,0)为圆心，

3

半径为1的。。上，N是A"的中点，已知。N长的最大值为二，则k的值是.

2

【解析】

【分析】根据题意得出ON是的中位线，所以ON取到最大值时，也取到最大值，就转化为研

究也取到最大值时上的值，根据氏C"三点共线时，3M取得最大值，解出8的坐标代入反比例函数

即可求解.

【详解】解：连接BM，如下图：

••・QN分别是A&AM的中点，

是AAAW的中位线，

ON=-BM,

2

3

已知ON长的最大值为一，

2

此时的3M=3,

显然当民CM三点共线时，取到最大值：BM=3,

BM=BC+CM^BC+l^3,

/.BC=2,

设8（1,力），由两点间的距离公式：水;="-2）2+4产2,

.•・（，—2>+4/=4,

4

解得：。=112=°（取舍），

./8

48k

将5（不?代入y=、（k>0）,

32

解得：k=—,

25

32

故答案是：—

25

【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线段最大值问题，解

题的关键是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究取最大值时女的值.

三、解答题(本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

19.计算：卜3|一次+1

【答案】1

【解析】

【分析】根据绝对值的定义及算术平方根的定义即可解决.

【详解】原式=3-3+1

=1

【点睛】本题考查了绝对值的定义、算术平方根的定义及实数的运算，关键是掌握绝对值和算术平方根的

定义.

20.解分式方程：,=:一

xx+3

【答案】x=3

【解析】

【分析】两边同乘以x(x+3),转化为一元一次方程求解即可

【详解】解：去分母得：

x+3-2x

解得x=3

检验：将x=3代入原方程的分母，不为0

x=3为原方程的解.

【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的求解方法是解题的关键.

21.如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接

到达点A和B,连接AC并延长到点。，使C£)=C4,连接BC并延长到点E,使CE=CB,连接QE，

那么量出。E的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明.

ED

证明：在AOEC和AABC中,

CD=_______

V

CE=_______

^DEC^ABC(SAS)

【答案】CA,ZDCE^ZACB,AB,ED=AB

【解析】

【分析】根据证明步骤填写缺少的部分，从证明三角形全等的过程分析，利用了“边角边”，缺少角相等,

填上一对对顶角，最后证明结论，依题意是要证明。=45.

【详解】证明：在ADEC和△ABC

CD^CA

<ZDCE=ZACB

CE^AB

：.ADEC'ABC(%S)

；•ED=AB

【点睛】本题考查了三角形全等的证明过程，“边角边”两边夹角证明三角形全等，熟悉三角形全等的证

明方法是解题的关键.

22.如今，柳州螺蝴粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蜘粉小镇对A、B两种品牌的螺狮粉举行展销

活动.若购买20箱A品牌螺狮粉和30箱8品牌螺蜘粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蜘粉和40箱B

品牌螺蝴粉则需要4200元.

(1)求A、8品牌螺狮粉每箱售价各为多少元？

(2)小李计划购买A、B品牌螺蜘粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛔粉最多购买多少

箱？

【答案】(1)A品牌螺蛔粉每箱售价为100元，8品牌螺蛔粉每箱售价为80元；(2)60箱

【解析】

【分析】(1)设A品牌螺狮粉每箱售价为X元，8品牌螺蝴粉每箱售价为V元，根据两种购买方式建立方

程组，解方程组即可得；

(2)设购买A品牌螺鲫粉为。箱，从而可得购买8品牌螺蜘粉为(100-。)箱，再根据“预算总费用不超

过9200元”建立不等式，解不等式，结合。为正整数即可得.

【详解】解：(1)设A品牌螺蝴粉每箱售价为X元，3品牌螺蝴粉每箱售价为y元，

20x+30y=4400

由题意得:

1Ox+40），=4200

x=100

解得

y=80

答：A品牌螺狮粉每箱售价为100元，B品牌螺蝴粉每箱售价为80元;

（2）设购买A品牌螺蜘粉为。箱，则购买3品牌螺蜿粉为（1（川一。）箱,

由题意得：100a+80（100-4）49200,

解得aW60,

答：A品牌螺蝴粉最多购买60箱.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关

键.

23.为迎接中国共产党建党100周年，某校开展了以“不忘初心，缅怀先烈”为主题的读书活动，学校政教

处对本校七年级学生五月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称“读书量”）进行了随机抽样调

查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如下图所示.

（1）补全下面图1的统计图；

（2）本次所抽取学生五月份“读书量”的众数为；

（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，五月份“读书量”不少于4本的学生人

数.

【答案】（1）见解析；（2）3本；（3）360人

【解析】

【分析】（1）求出抽取的总人数，即可算出读书量为4本的人数，从而能够将条形图补充完整：

（2）从补全的条形图中即可解决；

(3)求出样本中读书量不少于4本的人数占抽取人数的百分比，从而估计出总体中读书量不少于4本的人

数占总体的百分比，进而问题可解.

【详解】(1)I•读书量1本的人数为5人，占抽取人数的10%,

.••抽取人数为：5+10%=5()(人).

•••读书量为4本的人数为：

50-(5+10+20+5)=50-40=10(人).

...图1补充完整如下：

(2)•.•读书量为3本的人数最多,

抽取学生五月份读书量的众数为3本.

故答案为：3本

(3)•.•样本中读书量不少于4本的人数的百分比为：100%=30%,

A12(X)x30%=360(A).

答：估计七年级学生中读书量不少于4本的学生人数为360人.

【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、简单随机抽样、用样本估计总体等知识点，从不同的统计

图中提取相对应的信息是解题的基础，熟知用样本估计总体的数学思想方法是关键.

24.在一次海上救援中，两艘专业救助船A8同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船3在A的

正北方向，事故渔船尸在救助船A的北偏西30。方向上，在救助船3的西南方向上，且事故渔船P与救助

船A相距120海里.

(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；

(2)若救助船A,5分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船尸处搜救,

试通过计算判断哪艘船先到达.

【答案】（1）收到求救讯息时事故渔船P与救助船3之间的距离为60底海里；（2）救助船5先到达.

【解析】

【分析】（1）如图，作PC_LAB于C,在aPAC中先求出PC的长，继而在△PBC中求出BP的长即可;

（2）根据“时间=路程+速度”分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可.

【详解】（1）如图，作PC_LAB于C,

则NPC4=NPC8=9（r，

由题意得：24=120海里，ZA=30>NBPC=45：

；•。。=」尸4=60海里，ABC尸是等腰直角三角形，

2

•*-3C=PC=60海里，PB=y/pC2+BC2=6（）72海里，

答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60及海里；

北

（2）；PA=120海里，28=60底海里，救助船A6分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发,

120

，救助船A所用的时间为——=3（小时），

40

救助船B所用的时间为竺也=2&（小时）,

30

,：3>2叵，

救助船3先到达.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定,

勾股定理的应用等，熟练正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.

25.如图，四边形ABCO中，AD//BC,AD1AB,ADAB^l,DC,以A为圆心，AD为半径作

圆，延长CO交OA于点凡延长DA交OA于点E,连结8/，交DE于点G.

（1）求证：8c为0A的切线;

（2）求cosNEDb的值；

（3）求线段3G的长.

【答案】（1）见解析；（2）拽；（3）遮

53

【解析】

【分析】（1）根据平行线的性质，证明/ABC=90。即可；

（2）根据平行线的性质，得NEDF=NBCD,过点。作。垂足为“，在直角三角形8”中，根据

三角函数的定义计算即可；

（3）过A作A/LPC于点J,证明后利用勾股定理计算即可

【详解】（1）证明：VAD//BC,AD±AB,

ZCBA=ZBAD=90°

•/AB=AD=1

...CB是0A的切线

(2)过。作Z)”_L3C于H,

•••AB±BC,DH±BC

：.AB//DH

/.四边形A3”。为平行四边形

DH=AB=1,BH=AD=1,NEDF=NC

在中，ZDHC=90°,DH=l,DC=>/5

HC=yJCD2-DH2=V5^1=2,

BC=BH+HC=3,

厂HC22r-

：.cosZ.EDF=cosZC=----=—F==75

DCy/55

(3)过A作A/_!FC于点J,

：.FJ=JD

在中，ZAJD=90°,A£>=1

JO=ADcosZAW=1|石=|石

FD=2JDJ小

FD:FC^FD:(FD+DC)=4:9

ED//BC

AFGD^AFBC

.GDFD4

•,---=

BC~FC~9

4

/.GD—，

3

AG=GD-AD=-

3

RtMJAB中,ZGAB=90°,AG=-,AB=\

3

BG=\lAG2+AB2

【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，三角形相似，勾股定理，熟练掌握切线的判定，灵活运用勾

股定理，垂径定理，三角形相似是解题的关键.

26.在平面直角坐标系X0y中，已知抛物线：丁=奴2+笈+。交》轴于4(-1,0),8(3,0)两点，与y轴交

于点。］。，-|)

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)如图1,点力为第四象限抛物线上一点，连接0。，过点B作垂足为E,若BE=2OE,

求点。的坐标；

(3)如图2,点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM,交.BC于点、N,连接8M，记入8肱7的面积

为S\,AABN的面程为邑，求寸的最大值.

13Q

【答案】(1)y=—x2—X—；(2)(3)一

2216

【解析】

【分析】(1)利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可；

(2)先根据8E=2OE和勾股定理求得0后=X5，BE二正,过点E做7F平行于0B交y轴于7，

55

3BE6

易证AETOSAOEB,利用相似三角形的性质求得=0T=-^^~,进而求得点E坐标，求得直

线0E的解析式，和抛物线联立方程组，解之即可求得点。坐标；

(3)延长3c于至点F,使AE〃y轴，过A点作AHLBP于点”，作MT〃y轴交于点T,过M点

作尸于点。，证明△AFHSAMTD，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可得

S.MDMT(13、

肃二二77二二方，利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而可求得AF,设M苍彳2--尤-彳，则

S,AHAFI22J

<9

X+-

\8根据二次函数求最值的方法求的MT的最大值，进而

\

S.

可求得吩的最大值.

【详解】解：(1)依题意，设y=a(x+l)(x—3),

代入得：1.(-3)=--