2020年高考数学总复习讲练测思想03 数形结合思想（练）（教师版）

2。2。年而后二沦史习游绿MK浙江迈11K思思方去高11（练）

思想03数形结合思想

株布考

【解析】

sinx

由题可以看出y=x+「一是奇函数，

X

einx

所以y=l+x+H关于（0,1）点对称，

x

当X-0+时/（x）>0，故可排除A、C,

当％="时y=l+»可排除8,

所以选D

2.（2019•全国高考真题（文））已知NACB=9（T,P为平面4BC外一点,PC=2,点尸到/AC8两边ACBC

的距离均为百，那么P到平面ABC的距离为.

【答案】V2.

【解析】

作PD,PE分别垂直于AC,BC.PO1平面ABC,连CO,

知C£>_LPD,CD，PO.P。OD=P,

\。。人平面POO,OOu平面尸。。、

CD1OD

•:PD=PE=g.PC=2.sinNPCE=sinNPCD=—,

2

NPCB=NPCA=60",

：.P。，C。,CO为ZACB平分线,

ZOCD=45cOD=CD^l,OC=0,又PC=2,

3.（2015年浙江理）若实数满足d+丁41,则|2x+y—2|+|6-x-3y|的最小值是.

【答案】3.

【解析】因为V+y2<1表示圆f+y2=1及其内部，易得直线6-x—3y=0与圆相离,所以

|6-x-3y|=6—x-3y,当2x+y-2Z0时，|2x+y-2H6-=x-2y+4,如图所示,可行域为

34

小的弓形内部，目标函数z=x-2y+4,则可知当x=时，zmjn=3：当2x+y—2<0时，

|2x+y-2|+|6-x—3y|=8-3x—4y,如图所示，可行域为大的弓形内部，目标函数z=8—3x—4y,则可

知当x=|,y=［时，2而11=3,综上所述，|2》+/-2|+|6-％-3乂的最小值是3.

4.(2017.浙江高考真题)如图，已知四棱锥P-ABCDqPAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC〃

AD,CD_LAD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.

(I)证明：CE〃平面PAB；

(II)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值

【答案】(D见解析；(II)叵.

8

【解析】

因为E,F分别为PD,PA中点，所以政//A。且EF=』AD,

2

又因为8(7//4。.8。=，4。,所以£///8。REF=BC,

2

即四边形BCEF为平行四边形，所以CEI/BF,

因此CE//平面

(II)分别取BQAD的中点为M,N.连接PN交EF于点Q,连接MQ.

因为EFN分别是的中点，所以Q为EF中点，

在平行四边形BCEF中,MQ〃C£

由△以。为等腰直角三角形得PN1AD.

由DCLAD,N是AD的中点得BNLAD.

所以4Z）J_平面PBN,

由BC//AD得BC_L平面PBN,

那么平面PBCJ_平面PBN.

过点Q作PB的垂线，垂足为“，连接MH.

MH是MQ在平面PBC上的射影，所以是直线CE与平面PBC所成的角.

设CD=\.

在APCD中，由PC=2,CD=\,PD=V2得CE=后，

在△尸8N中,由PN=BN=l,PB=陋得QH=1.

在RtZkMQH中,QH=-,MQ=叵,

所以sin/QMH=—,

8

所以直线CE与平面P8C所成角的正弦值是立.

8

5.（2016•江苏高考真题）现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱锥

P-下部分的形状是正四棱柱ABCD-&B1cJ）］（如图所示），并要求正四棱柱的高。。】是正四棱

锥的高PO1的4倍.

（1）若4B=6m,PO】=2m,则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m,则当P。1为多少时，仓库的容积最大?

【答案】⑴312⑵PO、=2V3

【解析】

⑴由P0i=2知00i=4P01=8.

因为AB=AB=6,

2

所以正四棱锥P-AiB.C.Di的体积匕.AtB,.POX=；x62x2=24(/);

3

正四棱柱ABCD-AiB.CiD,的体积VyAT.00x=6?x8=288(m).

所以仓库的容积丫川作+丫槎=24+288=312(m:,).

(2)设AB=a(m),PO,=h(m)，则0<h<6,00i=4h.连结OB.

因为在RtaP。1B1中,。工BJ+p。J=pat

所以《今广+好=36,即a?=2(36-h2).

于是仓库的容积/=V^+V^=a2-4h+^a2-h=^-a2h=y(36/i-h3)(O<h<6),

从而W=g(36-3h2)=26(12-h2).

令，=0,得h=2掰或h=-2V3(舍).

当o<h<27304,r>0,V是单调增函数；

当2V5<h<6时,V’<0,V是单调减函数.

故h=2丫3时,V取得极大值,也是最大值.

因此当P。：=2V3m时,仓库的容积最大.

栋方旅

1.(2020•浙江高一期末)函数丫=或词的图象大致是()

【解析】

ln-,O<x<l,-,0<x<l

令=<x，则y=d।=e=<X

Inx,x>1X,X>1

当0vxvl时，函数y=,为减函数,且为反比例函数;

x

当尤21时，函数y=x为增函数且为正比例函数；

所以y=J间在（0,1）上为减函数，在［l,y）为增函数.

故选：A.

2.（2020•全国高三专题练习）（2013•重庆）己知圆3：（x-2）,（y-3）邑1,圆C2：（x-3）2+（y

-4）J9,M,N分别是圆3,R上的动点,P为x轴上的动点，则|PM1+|PN|的最小值为（）

A.572-4B.V17-1C.6-25/2D.后

【答案】A

【解析】如图圆G关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2,-3）,半径为1,

圆&的圆心坐标（3,4）,半径为3,PM+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，

即：（3-2）2+（4+3）2-1-3=572-4.

故选A.

3.（2020•北京高三期末）已知正方形ABC。的边长为2,以B为圆心的圆与直线AC相切.若点P是

圆3上的动点，则的最大值是（）

A.272B.472C.4D.8

【答案】D

【解析】

如图,建立平面直角坐标系，则3（0,0）,A（0,2）,D（2,2）,

圆B的方程为：x2+/=2,P(夜cos。,衣加9),

/.DB=(-2,-2),AP=(^plcosO^smO-2),

/.DB•AP=-2y[lcos0-lyflsinO+4=4—4si〃[0+—

I4J

，+-j=-lB'f,AP的最大值是8,

4.(2020•江苏高三专题练习)已知函数/(©=<、'一，若不等式|/(幻但尔一2恒成立,

—x~-3x,x>0

则实数冽的取值范围为()

A.[3-272,3+272]B.[0,3-20]

C.(3-20,3+20)D.[0,3+272]

【答案】D

【解析】

2x-l,x<Q

函数/(x)=,

—x~-3x,x>0

-2r+l,x<0

x?+3x,x>0

要保证不等式I/(x)1>-2恒成立

只需保证函数I/(x)I的图像恒不在函数>=如-2图像的下方

画出函数If（x）I的图像，如图所示,

函数y=WX-2表示过定点（0,—2）的宜线，

结合图像可知：

当机＜0时，不满足题意，

当〃2=0时，满足题意，

当机＞0时,考查如图所示的临界条件,即直线与二次函数相切，

y=x2+3x,y'=2x+3,设切点坐标为脑,片+3%）,切线的斜率为％=2,%+3,

则切线方程（片+3%）=（2x0+3）（x-x0）过点（0,-2）,

即：—2—（片+3%）=（2x0+3）（（）-x。），

数形结合可知%＞0,故％=应,此时切线的斜率左=2/+3=2忘+3,

故实数机的取值范围为[0,3+2J5],

故选：D.

5.（2020•广东高三（文））设三棱锥P—ABC的每个顶点都在球。的球面上，APA8是面积为3石的

等边三角形，AC1BC,AC=3C,且平面PA5J•平面ABC.

（1）求球。的表面积;

(2)证明：平面POC，平面ABC,且平面POC_L平面P4B.

(3)与侧面PAB平行的平面a与棱AC,BC,PC分别交于。，E,尸，求四面体ODEF的体积的最

大值.

4

【答案】(1)16万(2)证明见解析(3)-

【解析】

(1)解：取A3的中点G,连接PG.

因为AC1BC,所以A4BC的外心为G.

因为PA=PB,所以PG，A3.

又平面PAB±平面ABC,平面PABc平面ABC=AB,所以PG，平面ABC,

所以。在PG上.

因为APA3是等边三角形,所以。是线段PG上靠近点G的一个三等分点.

由题意得—AB2=3G,解得AB=25

4

所以球。的半径/?=立xABx2=2,球。的表面积为4万X/?2=16万.

23

(2)证明：因为。在PG上,所以PO_L平面ABC,

又POu平面POC,所以平面POC±平面ABC.

连接CG,则CG1AB,乂平面PAB1平面ABC,所以CG，平面PAB,

又CGu平面POC,所以平面POCJ.平面PAB.

(3)解：因为48=2出，所以C到平面PA8的距离”=⑺.

设CD=/IC4(O<；1<1),。到平面DEF的距离为/?.

因为平面PAB平面OE尸，所以AOEFA48P,则△/)石尸的面积为36矛.

又力=国，所以。至U平面DEF的距离为G,

所以四面体OOEF的体积V=%_即=gx3百分*(石一田)=3万。一小

设f(4)=312(l—a)(0<；l<l),/(A)=32(2-32),

2?

当0<x<§时，/(/l)>0；当一<x<l时，/,(/t)<0

2x_]((<0)

1.(2019•宁夏高三月考(理))已知函数/(x)={一\一1，把方程/(x)-x=O的根按从小

/U-l)+l(x>0)

到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为()

A.I)(JIGN*)B.a“=〃(〃—l)("cN*)

C.a“=〃-l(〃eN*)D.=2"-2(〃eN*)

【答案】C

【解析】

作图y=/(x),y=x可得方程/(x)-x=0的根按从小到大的顺序为0,1,2,3,,n-l,，选C.

2.(2019•福建高考模拟(理))如图，点F是抛物线°尤2=4)，的焦点，点4B分别在抛物线C和圆

产+(),_1尸=4的实线部分上运动，且AB总是平行于轴,贝以斯8周长的取值范围是()

A-(3,6)B.(46)c-(4,8)D-(6,8)

【答案】B

【解析】

抛物线V=4y的焦点为(0,1),准线方程为y=-1,

圆(y-1)°+/=4的圆心为(0,1),

与抛物线的焦点重合,且半径「=2,

IFB\=2,|明="1,|AB\=yB-yA,

三角形力距的周长=2+%+l+%-弘=加3,

三角形/罚■'的周长的取值范围是(4,6).

3.(2020•安徽高三月考(文))已知正方形A8CO的边长为2,动点P满足|Pq41,且

AP=xAB+yAD,则2x+y的最大值为()

A.--2B.—+2C.-D.-

2222

【答案】B

【解析】

以A为原点建立如图所示的直角坐标系:

则A（0,0）,6（2,0）,C（2,2）,D（0,2）,设P（a]）,由，目得，屁了不力，

即动点尸在以（2,0）为圆心,半径厂=1的圆以及圆内部运动，

又AP=xAB+yAD,则a=2x,/?=2y,令m=2x+y=a+g

将加=a+，，即/?=-2a+2m当作直线，

所以当直线6=一2。+2根与以（2,0）为圆心，半径r=l的圆以及圆内部相切时，根有最值,

[4-2叫]

此时,圆心到直线j3=-2a+2m的距离d

即（2加一4）2=5,解得机=2士手，所以2x+y的最大值为2+乎.

故选：B.

4.（2020•广东高三期末（理））已知球。的半径为2,A、3是球面上的两点，且AB=26,若点P是

球面上任意一点，则P4PB的取值范围是（）

A.[-1,3]B.[-2,6]C.[0,1]D.[0,3]

【答案】B

【解析】

作出图形,取线段AB的中点M,连接。尸、OA、OB、OM.尸“，可知OMLAB,

由勾股定理可得卜=1,且有MB=_M4，

由向量的加法法则可得PA=PM+MA，PB=PM+MB=PM-MA、

：.PAPB=（PM+MA^PM-A14）=PM?-MA=’时-|M4|?二-3.

PM=PO+OM,由向量的三角不等式可得卜o|—|OM|卜|《卜。|+|窃陷，

.•.lfPM卜3,所以，PA-PB=\PMf-3e[-2,6].

因此，PA.总的取值范围是[-2,6].

故选:B.

5.（浙江省金华十校2019届高三上期末）已知向量满足：伍|=2,＜工方〉=60。,且

2=—+t1（twR）,贝!l|Z|+12-Z|的最小值为（）

A.VHB.4C.25/3D.运

4

【答案】A

<a>b>=60S

则口可表示为可，点8在直线y=VJx上,

设C(-LO),D(3,0),

••c=--a+tb,te.R,

|c|=BC,c—a=—^a+tb,

\c-a|=|BD|,

则|小+1Z-+的最小值可转化为在直线y=Ox

取一点8使得BD+BC最小,

作点,关于y=的对称点C',

则BD+BC最小值即可求出DC',

设C(x,y),

则C'D=|6+3)2+(—4-0)2=vn,

故|2|+|c—a|的最小值为VIT

故选：A.

6.（2019•江苏月考）在平面直角坐标系X。），中，设点A是抛物线y2=2px（〃>0）上的一点，以抛物线

的焦点F为圆心、以FA为半径的圆交抛物线的准线于B,C两点,记/BFC=8,若

[28

2sin?8—sin26=3cos8—sin。，且A4BC的面积为一^-,则实数P的值为（）

A.8B.4C.472D.80

【答案】A

【解析】

因为2sii?9—sin2。=3cos8—sin9,且sin2。+cos20=1,

解得sin0cos0=—

22

3

结合图象可知,△砒'为等边三角形，

'：\FD\=p,

：.IBC\=\FB\=区3p,即圆的半径|阳=3叵A

33

设A（照,外）,

1p1,,12J32J3128

:.S&ABC=~|BC\*|Xo+—I=—IBC\•I/^=—x----px-------p-.......

2222333

解得P=8,

故选：A.

7.(2020•江苏高三专题练习)在平面直角坐标系xoy中，过圆G：(x-k)2+(y+k-4)21上任一

点P作圆C2：f+y2=1的一条切线,切点为Q,则当线段pQ长最小时,k=.

【答案】2

【解析】

如图，因为PQ为切线,所以尸。_1。2。,

由勾股定理,得|PQ|=JPC22T，要使|尸。最小,则需PG最小，

显然当点P为GG与G的交点时，PC?最小,

此时，|PG|=|GG|T，所以当|GG|最小时，PC2就最小，

|C,C2|=西+(_、+4)2=52(1-2了+8>20,

当&=2时，|GG|最小最小,得到|PQ|最小，

故答案是：2.

8.(2020•全国高三专题练习)过动点P作圆：(x—3p+(y-4)2=l的切线PQ,其中。为切点，若

|PQ|=|PO|(。为坐标原点)，则的最小值是—.

【答案】y

【解析】

根据题意,设P的坐标为(m,n),圆(x-3)?+(尸4>=1的圆心为N)则N(3)4)

PQ为圆(x-3)、(y-4)2=l的切线,则有|PN|2=|PQ|2+|NQ「=PQ句,

-1

又由|PQ|=|PO|,

则有|PN|2=|P01+l,

即(m-3)2+(n-4)2=m'+n2+l,

变形可得：6m+8n=24,

即P在直线6x+8y=24上,

则IPQI的最小值即点0到直线6x+8y=24的距离,

|6x0+8x0-24|_12

后+8

即IPQ的最小值是三.

9.（2019•江苏常熟中学高三月考）已知4:"优一卜一3加+1=0与/2：%+股—3加-1=0相交于点尸,

线段A3是圆C:（x++（y+1）?=4的一条动弦,且卜273,则|Q4+型的最小值是_____.

【答案】472-2

【解析】

7i：RX-y-3研1=0与A：x+my-3z»-1=0,

过定点（3,1）,占过定点（1,3）,

，点户的轨迹方程为圆（x-2）z+（y-2）2,

作垂直线段CDLAB,CD=打-（残＞=],

所以点〃的轨迹为（x+l）2+（y+l『=l,

贝ij+PB\=\PC+CA+PC+CB\=2\PC+CD\=2\PD\,

因为圆。和圆〃的圆心距为J（2+iy+（2+1）2=3上＞1+72,

所以两圆外离，

所以I勿最小值为30-1-0=2&-1，

所以IA4+P8]的最小值为4j]-2.

故答案为：45/2-2.

10.（2018•上海华师大二附中高二期末）已知2%+匕一治=0（。＞0力＞0）,当出?取得最小值时，曲线

WW—2dV=1上的点到直线y=&X的距离的取值范围是.

ab

【答案】（0,

【解析】

,/2x+Z?-aZ?=0（a>0,b>0）,

/.ab=2a+b>2-j2ah,化为—2夜）20,

.♦.而22及，解得

当且仅当b=2"=4时取等号.

当xNO,yNO时，曲线化为三_£=i；

24

当X2O,yKO时，曲线化为工+$=1：

22

当x40,yNO时，曲线化为—乙一匕=1,此时无图像，应舍去;

24

92

当x<0,y<0时，曲线化为一七+匕=1；

24

画出图形：

2222

由图形可知：直线y=0%分别是曲线工-匕=1,曲线一二+匕=1的渐近线.

2424

因此点到直线y=&的距离"〉0.

22

设直线y=与曲线：+5=l（x>0,y<0）,相切，

y=y/lx+m,lc

c,,,,化为4£+2及mx+/"2-4=o，

）2x2+/=4

令△=862-16（加2-4）=0,解得根=_2/，

二切线为y=0x-2j5.

两平行线y=缶—20,y=的距离d==巫,

，33

，曲线《一鳖I

上的点到直线y=

（0,孚］.

故答案为:

n.(2018届江苏省宿迁市高三第一次模拟)已知函数f(x)函数

g(x)=/(x)+f(-x),则不等式g(x)<2的解集为.

【答案】［一2,2］

【解析】因为g(x)=/(x)+/(-X),g(—x)=/(x)+“—x),故g(x)是偶函数，

\2+3X+4,X5-1

故。（犬）=/（灯+/（-¥）=|2,-1<x<1可画出g（x）的图

2

kx—3r+4,x>1

令产-3x+4=2=>x=l或x=2

故解集为

故答案为：［-2,2〉

—x+4xW3

12.(2018届北京市昌平区高三上期末)若函数/(x)={'-］(。>0且4H1),函数

log“x,x>3

g(x)=.f(x)—匕

①若a=g,函数g(x)无零点,则实数出的取值范围是一

②若/(X)有最小值,则实数a的取值范围是.

【答案】［-1,1)(1,3］

若函数g(X)无零点，则y=k和y=f(x)无交点，

结合图象，-lWk<l；

②若0<a<l,显然f(x)无最小值，故a>l,

结合1。取3=1,解得：a=3,

故aG(1,3］；

故答案为：［T,l),(1,3］.

13.(2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考)已知非零平面向量a力不

31

共线,且满足a功=/=4,记c=，当b,c的夹角取得最大值时，|。一61的值为.

【答案】4

【解析】

由北零平面向量a,b不共线，艮满足口心=02=4,建立如图所示的平面直角坐标系:

则A(2,0),B(2,b),b>0,则a=(2,0),。=(2/)，由c=，则C(2,1),

则直线OB,OC的斜率分别为2,夕，

28

由两直线的夹角公式可得:

b_b

tanZBOC=28=<33

、bb8b

l+-x--+—2"4

28027b2

Qb

当且仅当丁=不，即b=4时取等号,此时3(2,4),则a-b=(0,-4),

b2

所以|a—们=4,故填：4.

14.(2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中)已知函数/(》)=/+Jx—a"伏a/eR),

若x«-1,1]时，J/(x)归1,则ga+匕的最大值是.

【答案】二

2

【解析】

由|〃x)归1得，-1<x2+^\x-a\+b<1,BP-l-x2<-^|x-tz|+/?<l-x2.即当X£[T,1]

时，y=的图像夹在y=—f与y=i-£之间.双变量问题先固定♦个变量值或者范围，也

1,1]中移动>=；,一4+〃的图像,可知可取〃=—1,变化。，移动》=；卜—4+〃的图像，由图可知

—所以一。+匕<—时+匕4—1=—,即一〃的最大值为一5.移动y=—上一+〃的图

2222222

像，。涉有无数种情况,但是最大值始终为1a+匕=-1.

22

故答案为：——.

2

15.(2019•南京市漂水区第二高级中学高三月考(理))已知函数f(x)=x3—3x?+l,g(x)=

，5

■X—XH---X>0n

4'，若方程g[f(x)]—a=0(a>0)有6个实数根(互不相同)，则实数a的取值范围是

—%2—6x—8,x40

【答案】(1,一)

4

【解析】

分析：利用换元法设t=f(x),则g(t)=a分别作出两个函数的图象,根据a的取值确定t的取值范围,

利用数形结合进行求解判断即可.

详解：作出函数f(x)和g(x)的图象如图:

(a>0)由y=g(t)的

图象知，①当0<aVl时，方程g(t)=a有两个根-4<t«-3,或-4<t2<-2,由t=f(x)的图象知，当-4〈匕

<-3时,t=f(x)有0个根，当-4Vt2<-2时,t=f(x)有0个根，此时方程g[f(x)]-a=0(a>0)有0个

根,②当a=l时,方程g(t)=a有两个根ti=-3,或tz=!，由t=f(x)的图象知，当3=-3时,t=f(x)有0个

2

根,当时,t=f(X)有3个根，此时方程g[f(x)]-a=0(a>0)有3个根，③当lVa<?时，方程g(t)

24

=2有两个根0vtic1，或1<卜<1,由t=f(x)的图象知，当0<ti<L时,t=f(x)有3个根，当

2222

<1时,t=f(x)有3个根,此时方程g[f(x)]-a=0(a>0)有3+3=6个根,当a=-由图可得同理只有5解,

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综合的故若方程g[f(x)]—a=0(a>0)有6个实数根(互不相同)，则实数a的取值范围是(1,自)

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16.(2018届甘肃省兰州市高三一诊)己知函数八乃二:"+以]-^^^^?.

(1)若y=〃x)图象上(1,一£)处的切线的斜率为—4,求y=f(x)的极大值;

(2)y=f(x)在区间[一1,2]上是单调递减函数,求a+b的最小值.

【答案】⑴见解析.(2)

【解析】

(1)V/-(x)=+ax2-bx,=x2+2ax-b,

由题意得r(1)=-4且/'(1)=

(1+2Q—b=-4

即，上c.□，解之得a=-Lb=3.

(la-+a-d=---3

...f(X)=-X2-3x,r(x)=a+l)(x-3),

令r(x)=0得％=-1,x2=3,

列表可得

X(-00,-1)-1(T3)3(3,+oo)

f'(x)+0-0+