广东省深圳市龙华区振能学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试卷（含答案）

-2024学年广东省深圳市龙华区振能学校九年级（下）月考数学试卷一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象与y轴的交点坐标是（）A．（0，1） B．（1，0） C．（﹣3，0） D．（0，﹣3）2．（3分）已知⊙O中最长的弦为8，则⊙O的半径是（）A．4 B．8 C．12 D．163．（3分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，点A、B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（3，2） B．（4，3） C．（3，3） D．（5，3）4．（3分）二次函数y＝（x+3）2﹣7的顶点坐标是（）A．（﹣3，7） B．（3，7） C．（﹣3，﹣7） D．（3，﹣7）5．（3分）如图，A，B，C，D为⊙O上四点，若∠BOD＝110°，则∠A的度数是（）A．110° B．115° C．120° D．125°6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）7．（3分）将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为（）A．y＝﹣（x﹣5）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣1）2﹣1 C．y＝﹣（x﹣5）2+11 D．y＝﹣（x﹣1）2+118．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为6，sinB＝，则线段AC的长是（）A．3 B．4 C．5 D．69．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴x＝1，有以下结论：①a＜0，c＞0；②9a+3b+c＞0；③4ac﹣b2＜0；④3a+c＜0．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（3分）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4．P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC．则线段CP长的最小值为（）A． B．2 C． D．二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）二次函数y＝2x2﹣x﹣3图象的对称轴为直线．12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为．13．（3分）如图，含30°角的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点C和点D在量角器的半圆上，若点D在量角器上对应的读数是50°，则∠CAD的度数是．14．（3分）如图，AB是⊙O直径，C、D是⊙O上的两点，且OD∥BC，连接AC和BD．下列四个结论中：①；②OD垂直平分AC；③BD＝AC；④∠AOD＝2∠DBC．所有正确结论的序号是．15．（3分）如图，AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，且CD、AB是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的两根，则sin∠APC＝．三.解答题（共7小题，满分55分）16．（5分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1，求二次函数的解析式．17．（12分）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5，完成下列各题：（1）将函数关系式用配方法化为y＝a（x+h）2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴．（2）求出它的图象与x轴的交点坐标．（3）在直角坐标系中，画出它的图象．（4）当为x何值时，函数y随着x的增大而增大？（5）根据图象说明：当x为何值时，y＞0．18．（8分）如图，要把残缺的圆片复原，已知弧上的三点A、B、C．（1）用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，求图片的半径r．19．（8分）某体育用品店购进一批单价为20元的球服，如果按单价40元销售，那么一个月内可售出200套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高4元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥40）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量取值范围；（2）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC弧上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．若∠BAC＝α．（1）求∠ADC的度数（用含α的代数式表示）；（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为6，CP＝2BP，求AP的长．21．（8分）为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．22．（6分）已知：二次函数．（1）求证：不论k为何实数时，此二次函数与x轴总有交点；（2）设k＜0，当二次函数的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0，m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？参考答案与试题解析一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象与y轴的交点坐标是（）A．（0，1） B．（1，0） C．（﹣3，0） D．（0，﹣3）【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴当x＝0时，y＝﹣3，即二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3），故选：D．2．（3分）已知⊙O中最长的弦为8，则⊙O的半径是（）A．4 B．8 C．12 D．16【解答】解：∵⊙O中最长的弦为8，即直径为8，∴⊙O的半径为4．故选：A．3．（3分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，点A、B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（3，2） B．（4，3） C．（3，3） D．（5，3）【解答】解：由题意可知抛物线的y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，∵点A的坐标为（0，3），且AB与x轴平行，可知A、B两点为对称点，∴B点坐标为（4，3）故选：B．4．（3分）二次函数y＝（x+3）2﹣7的顶点坐标是（）A．（﹣3，7） B．（3，7） C．（﹣3，﹣7） D．（3，﹣7）【解答】解：∵二次函数y＝（x+3）2+7是顶点式，∴顶点坐标为（﹣3，7）．故选：A．5．（3分）如图，A，B，C，D为⊙O上四点，若∠BOD＝110°，则∠A的度数是（）A．110° B．115° C．120° D．125°【解答】解：∵A，B，C，D为⊙O上四点，∠BOD＝110°，∴∠C＝∠BOD＝55°，∴∠A＝180°﹣∠C＝125°．故选：D．6．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：A．7．（3分）将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为（）A．y＝﹣（x﹣5）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣1）2﹣1 C．y＝﹣（x﹣5）2+11 D．y＝﹣（x﹣1）2+11【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣3﹣2）2+5﹣6，即y＝﹣（x﹣5）2﹣1．故选：A．8．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为6，sinB＝，则线段AC的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：连接CD，则∠DCA＝90°．Rt△ACD中，sinD＝sinB＝，AD＝12．则AC＝AD•sinD＝12×＝4．故选：B．9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴x＝1，有以下结论：①a＜0，c＞0；②9a+3b+c＞0；③4ac﹣b2＜0；④3a+c＜0．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵b＝﹣2a，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴①正确，符合题意．由图象可得x＝﹣1时，y＜0，根据抛物线对称性可得x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，②错误，不符合题意．∵图象与x轴有两个不同的交点，∴4ac﹣b2＜0，③正确，符合题意．∵x＝﹣1，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∵b＝﹣2a，∴3a+c＜0，④正确，符合题意．故选：C．10．（3分）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4．P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC．则线段CP长的最小值为（）A． B．2 C． D．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小．在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝＝5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2，∴PC的最小值为2．故选：B．二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）二次函数y＝2x2﹣x﹣3图象的对称轴为直线．【解答】解：二次函数y＝2x2﹣x﹣3图象的对称轴为直线．故答案为：．12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为x＝﹣2．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，即b＝﹣2a，根据根与系数的关系得4+x＝﹣＝﹣＝2，解得x＝﹣2，即方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根为x＝﹣2．故答案为：x＝﹣2．13．（3分）如图，含30°角的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点C和点D在量角器的半圆上，若点D在量角器上对应的读数是50°，则∠CAD的度数是35°．【解答】解：如图，连接OD，根据题意得，∠CAB＝60°，∵点D在量角器上对应的读数是50°，∴∠DOB＝50°，∵∠DAB＝∠DOB，∴∠DAB＝25°，∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝35°，故答案为：35°．14．（3分）如图，AB是⊙O直径，C、D是⊙O上的两点，且OD∥BC，连接AC和BD．下列四个结论中：①；②OD垂直平分AC；③BD＝AC；④∠AOD＝2∠DBC．所有正确结论的序号是①②④．【解答】解：∵AB是⊙O直径，∴∠C＝90°，∴BC⊥AC，∵OD∥BC，∴OD⊥AC，∴OD平分AC，∴OD垂直平分AC，故②正确，符合题意；∴＝，故①正确，符合题意；∴∠AOD＝2∠DBC，故④正确，符合题意；根据题意，无法求解BD＝AC，故③错误，不符合题意；故答案为：①②④．15．（3分）如图，AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，且CD、AB是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的两根，则sin∠APC＝．【解答】解：∵CD、AB是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的两根，∴CD＝3，AB＝5，连接AC，∵∠BCD＝∠BAD，∠CDA＝∠ABC，∴△CPD∽△APB．∴＝，由AB是直径得∠ACB＝90°．设PC＝3x，则PA＝5x，∴AC＝＝4x，∴sin∠APC＝＝．故答案为：．三.解答题（共7小题，满分55分）16．（5分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1，求二次函数的解析式．【解答】解：由题意，设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，又抛物线过A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x＝﹣＝1，∴．∴．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3．17．（12分）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5，完成下列各题：（1）将函数关系式用配方法化为y＝a（x+h）2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴．（2）求出它的图象与x轴的交点坐标．（3）在直角坐标系中，画出它的图象．（4）当为x何值时，函数y随着x的增大而增大？（5）根据图象说明：当x为何值时，y＞0．【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x2﹣4x+4）+4+5＝﹣（x﹣2）2+9，顶点坐标为（2，9），对称轴为直线x＝2；（2）令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，所以，图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0）；（3）函数图象如图所示；（4）x＜2时，y随着x的增大而增大；（5）﹣1＜x＜5时，y＞0．18．（8分）如图，要把残缺的圆片复原，已知弧上的三点A、B、C．（1）用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，求图片的半径r．【解答】解：（1）分别作AB、AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心．（2）连接AO交BC于E，连接OB．∵AB＝AC，∴AE⊥BC，BE＝BC＝8（厘米），在Rt△ABE中，AE＝＝6（厘米），设⊙O的半径为Rcm，在Rt△BEO中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝82+（R﹣6）2，∴R2＝64+R2﹣12R+36，∴R＝．所以所求圆的半径为cm．19．（8分）某体育用品店购进一批单价为20元的球服，如果按单价40元销售，那么一个月内可售出200套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高4元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥40）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量取值范围；（2）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：（1）销售单价为x元，则销售量减少×20，故销售量为y＝200﹣×20＝﹣5x+400（x≥40）；（2）设一个月内获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣20）（﹣5x+400）＝﹣5x2+500x﹣8000＝﹣5（x﹣50）2+4500．∵x≥40，当x＝50时，w的最大值为4500．故当销售单价为50元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是4500元．20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC弧上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．若∠BAC＝α．（1）求∠ADC的度数（用含α的代数式表示）；（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为6，CP＝2BP，求AP的长．【解答】解：（1）连接BC，∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠BDC＝∠BAC＝α，∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝90°+α；（2）∵∠ACP＝∠ADC，∴∠PCO+∠ACO＝∠ADB+∠BDC，∵∠OCA＝∠OAC，∠BDC＝∠OAC，∴∠BDC＝∠OCA，∴∠PCO＝∠ADB＝90°，令PB＝x，则PC＝2PB＝2x，∵⊙O的半径为6，∴PO＝OB+PB＝6+x，∵PO2＝PC2+OC2，∴（6+x）2＝（2x）2+62，∴x＝4，∴PB＝4，∴AP＝AB+PB＝6×2+4＝16．21．（8分）为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线上（如图2所示