新教材 人教A高中数学选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

第一课时

一、教学目标

1.能用向量语言描述点、直线和平面：

2.理解直线的方向向量和平面的法向量.

二、教学重难点

1.教学重点

理解直线的方向向量和平面的法向量.

2.教学难点

建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题.

三、教学过程

（一）新课导入

我们已经学习了空间向量的相关概念及运算，那么空间向量有什么应用呢？本节我们将

从空间中点、直线和平面的向量表示入手，研究空间向量在立体几何中的应用.

（二）探索新知

问题1如何用向量表示空间中的一个点？

如图，在空间中，我们取一定点。作为基点，那么空间中任意一点?就可以用向量。P来

表示.我们把向量0P称为点〃的位置向量.

问题2空间中给定一个点力和一个方向就能唯一确定一条直线/,如何用向量表示直线

7?

用向量表示直线1,就是要利用点4和直线/的方向向量表示直线上的任意一点.

如图，a是直线，的方向向量，在直线/上取=设。是直线/上的任意一点，由向

量共线的条件可知，点P在直线J上的充要条件是存在实数t,使得=即=

B.

A

如图，取定空间中的任意一点〃，可以得到点0在直线/上的充要条件是存在实数t,使

OP=OA+ta,①

将A8=a代入①式，^OP=OA+tAB.@

①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线

的方向向量唯一确定.

证明上述结论：设/是空间中的任意一条直线，点"为其上一点，点P为其上任意一点,

6为其方向向量，

:.MP=tb,:.OP-OM=tb,

:.OP=OM+tb,

...直线上任意一点夕能用直线上一点材及直线的方向向量6表示，且一个实数C对应直

线上唯一一个点P,

...空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.

对直线的方向向量的理解：

(1)在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备两个条件：

①不能为零向量；②表示方向向量的有向线段所在的直线与该直线平行或重合.

(2)一条直线的方向向量有无数个.

（3）直线的方向向量是空间中直线向量表示的关键量，空间任意直线由直线上一点及直

线的方向向量唯一确定，也就是说，给定空间直线上一点/和直线的方向向量a,就可以确定

唯一一条过点力的直线.

问题3一个定点和两个定方向能否确定一个平面？一个定点和一个定方向能否确定一个

平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？

（学生以小组为单位讨论探究，每组选出代表回答，教师引导、讲解）

平面。可以由。内两条相交直线确定.如下图，设两条直线相交于点。，它们的方向向

量分别为a和6,。为平面。内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数

对（x,y）,使得OP=xa+yb.

这样，点0与向量a,6不仅可以确定平面a,还可以具体表示出a内的任意一点.

如下图，取定空间任意一点0,可以得到，空间一点尸位于平面45。内的充要条件是存在

实数x，y,使OP=OA+xA3+yAC.③

我们把③式称为空间平面的向量表示式.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两

个不共线向量唯一确定.

给定空间一点4和一条直线1,则过点4且垂直于直线1的平面是唯一确定的.由此可以

利用点A和直线1的方向向量来确定平面.

如下图，直线取直线/的方向向量a,我们称向量a为平面a的法向量.给定一个

点4和一个向量a,那么过点4且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合

{P\aAP=0}.

例1如图，在长方体AB8-A4GR中，AB=4,BC=3,CC1=2,M是的中点.以。

为原点，94,。(丁短口所在直线分别为了轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)求平面BCC#的法向量；

(2)求平面MCA的法向量.

解：(1)因为y轴垂直于平面BCC£,所以勺=(0,1,0)是平面BCC田的一个法向量.

(2)因为A8=4,8C=3,CG=2,〃是的中点，所以M,C,4的坐标分别为

(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2).因此MC=(-3,2,0),M4,=(0,-2,2).

设%=(x，)'，z)是平面MCA的法向量，则n2±MC,/i2±A^.

广广一族MC=-3x+2y=0

所以〈一，

n2=-2y+2z=0

2

所以x=§z.

y=z

取z=3,则x=2,y=3.于是%=(2,3,3)是平面MCA,的一个法向量.

(三)课堂练习

1.若点4-1,0,1)，8(1,4,7)在直线/上，则直线/一个方向向量为()

A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)

答案：A

解析：由题意，可得直线/的一个方向向量AB=(2,4.6).又gA8=g(2,4,6)=(l,2,3),所以向

量(1,2,3)是直线/的一个方向向量.故选A.

2.如图，在空间直角坐标系中，ABCD-ABIGR为正方体，给出下列结论：

①直线的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BG的一个方向向量为(04，1)，③平面A8AA的

一个法向量为(0,1,0);④平面的一个法向量为(1,1,1).其中正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案：C

DD.//A4,.A4,=(0,0,1)；=(0,1,1)；4)，AB^A，

解析：BQ//ADt,ADt直线平面

AD=(0,1,0)；G点的坐标为(1,1,1),4cl与平面片。不垂直，.•.④错.故选C.

3.在△ABC中，A(1,-1,2),3(3,3/)，C(3,1,3),设M(x,y,z)是平面ABC内任意一点.

(1)求平面ABC的一个法向量；

(2)求x,y,z满足的关系式.

答案：(1)设平面A8C的一个法向量〃=(a,%,c),

AB=(2,4,—1),AC=(2,2,1),

nAB=2a+4b-c=0

43，

nAC=2a+2h+c=0a=

2

令Z?=2,则〃=—3,c=2,

所以平面ABC的一个法向量为“=(-3,2,2).

(2)因为点M(x,y,z)是平面ABC内任意一点，

—3(x—1)+2(y+1)+2(z—2)=0,

3x-2y-2z-1=0,

故x,y,z满足的关系式为3x-2y-2z-l=0.

(四)小结作业

小结：

1.直线的方向向量及其求法；

2.平面的法向量及其求法.

作业：

四、板书设计

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(第一课时)

1.直线的方向向量；

2.平面的法向量.

第二课时

一、教学目标

1.能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系；

2.能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理.

二、教学重难点

1.教学重点

用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面的位置关系.

2.教学难点

建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题.

三、教学过程

(-)新课导入

1.复习：直线的方向向量和平面的法向量.

2.直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量.那么是否能用

这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？首先来看平行的问题.

(-)探索新知

问题1由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、

平面的法向量间的什么关系？

(学生自主思考，举手回答，教师引导，最后讲解)

如下图，设6,%分别是直线4,4的方向向量.由方向向量的定义可知，如果两条直线平

行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直

线也平行.所以

/,l2ow2<=>3/1eR,使得u}=2U2.

类似地，如下图，设〃是直线/的方向向量，是平面a的法向量，/SQ则

/n=0.

U

---->

如下图，设阳，6分别是平面a,6的法向量，则

aBon、w2<=>3AeR,使得=4%.

例1证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面

平行，则这两个平面平行.

已知：如图，au/J,bu(),acb=P,aa,ba.

求证：aB.

证明：如图，取平面a的法向量n,直线a,6的方向

向量u,v.

因为aa,ba,所以"u=O,nv=0.

因为au/3,bu/3,acb=P,所以对任意点。存在x,yeR,使得PQ=x“+yv.

从而n=n(xu+yv)=xnu+ynv=0.

所以，向量〃也是平面夕的法向量.故aP.

例2如图，在长方体A88-A4GR中，A8=4,8C=3,CC；=2.线段B,C上是否存在

点只使得人尸平面4CR?

证明：以〃为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空

间直角坐标系.因为A,C,R的坐标分别为(3,0,0),(0,4,0),(0,0,2),所以

AC=(—3,4,0)，M=(-3,0,2).

设”=(x,y,z)是平面AC。的法向量，则〃AC=0,〃ADt=0,

2

x=­z

-3A:+4y=0ll-3

即c二c，所以

-3x+2z=0

取z=6,则x=4,y=3.所以，〃=(4,3,6)是平面ACR的一个法向量.

由A,C,旦的坐标分别为(3,0,2),(0,4,0),(3,4,2),得44=(0,4,0),

4c=(—3,0,-2).设点户满足3/=/14(?(能狙1)>则4P=(—34,0,-2/1),所以

4尸=44+4尸=(—34,4,-22).

令“AP=0,得-124+12-122=0,解得4=4，这样的点。存在.

2

所以，当B,P=LB、C,即户为8。的中点时，"平面AC%

(三)课堂练习

1.若平面a,£的法向量分别为a=(g,-l,3),，=(-l,2,-6),贝U()

A.apB.a与夕相交但不垂直

C.aVpD.a£或a与力重合

答案：D

解析：•.•》=-2a,a,：.a〃或a与£重合.故选D.

2.已知平面a的法向量是(2,3,-1),平面夕的法向量是(4,2,-2),若ap,则2的值是

()

A.--B.6C.-6D.—

33

答案：B

解析：Va/，二。的法向量与£的法向量也互相平行=3=4..•./1=6.故选B.

3.已知直线/过点尸(1,0,-1),且/平行于向量a=(2,l,l),平面a过直线/与点M(l,2,3),

则平面a的法向量不可能是()

A.(1,-4,2)B.c.(-；/，一｝D.(0,-1,1)

答案：D

解析：因为PM=(0,2,4),直线/平行于向量a,所以若“是平面c的法向量，则必须满足

[“"°,把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.

[nPM=0

4.若不同的平面a,(5的一个法向量分别为=,n=(―,-1,3),则a与4的位置

632

关系为.

答案：平行

解析：n=-3m，.二m//nf：.a!!(3.

5.如图，已知梯形ABC。中，ADIIBC,AD±AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDC尸为

矩形，CF=6平面EOCf_L平面ABC£>.求证：。尸//平面ABE.

答案：证明：取。为原点，D4所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,

则A(1,O,O),8(1,2,0),£(0,0,73),尸(一1,2,6)，

，BE=(-1,-2,扬，AB=(0,2,0),

设平面ABE的法向量”=(x,y,z),

...r-2y+6==0,不妨设〃=(收0,1),

2y=0

又£>F=(-l,2,g),

•*.DFn=—y/i+yfi-0,

DFIn>

又•:DF(Z平面ABE，

。/=7/平面ABE.

（四）小结作业

小结：用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.

作业：

四、板书设计

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第二课时）

1.用向量刻画线线平行；

2.用向量刻画线面平行；

3.用向量刻画面面平行.

第三课时

一、教学目标

1.能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系；

2.能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理.

二、教学重难点

1.教学重点

用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面的位置关系.

2.教学难点

建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题.

三、教学过程

（-）新课导入

思考：类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平

面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？

（二）探索新知

一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的

方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直.

1.用向量刻画线线垂直

如图，设直线4的方向向量分别为％，则

4_L右0%%ou\ui=0,

b

2.用向量刻画线面垂直

如图，设直线，的方向向量为u,平面a的法向量为〃，则

/_Lao“n<=>3/1eR,使得u=A.n

3.用向量刻画面面垂直

如图，设平面a,夕的法向量分别为〃「外，则

0-L/oq_L%"n,=0.

例1如图，在平行六面体A8CD-ABCR中，AB=AD=AAi=l,ZA,AB=ZA,AD=

ZBAD=60°,求证：直线AC_L平面

证明：设A8=a,AO=b,A4,=c,则｛a，〃，c｝为空间的一个基底,

S.A1C=a+b—c,BD=b—a,BB、=c.

因为AB=4。=偿=1,ZA.AB==ZBAD=60°,

所以"=/=，=1,4b=bc=ca=—.

2

在平面BDR4上，取30,83为基向量，则对于平面用上任意一点只存在唯一的

有序实数对(2，〃)，使得BP=4BD+〃BB-

所以AC■■夕=2ACBD+/J\CBg=/i(a+5-c)■-a)+〃(a+Z>-c)c=0.

所以A。是平面BOR4的法向量.

所以ACJL平面

例2证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个

平面垂直.

已知：如图，ILa,lu0,

求证：a1/3.

证明：取直线/的方向向量u,平面夕的法向量

因为/J.a,所以u是平面a的法向量.

因为/u£,而〃是平面夕的法向量，所以“_L”.

所以aJ_£.

(三)课堂练习

1.若直线/的一个方向向量。=(2,2,-2),平面a的一个法向量为3=(1,1,-1),贝I")

A.ILa

B.U!a

C.Iua

D.A,C都有可能

答案：A

解析：•.•直线的一个方向向量。=(2,2,-2),平面a的一个法向量为6=(1,1,-1),

又a=2b,，/J.a.故选A.

2.已知点A(O，1，O)，B(T，0，-l)，C(2，l，l)，P(x，0，z),若R4_L平面ABC,则点P的坐标为

()

A.(1,0,-2)B.(1,0,2)C.(-1,0,2)D.(2,0,-1)

答案：C

解析：由题意知A3=(-l,-l,-l),AC=(2,0,l),AP=(x,-l,z),又R4_L平面A8C,所