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文档简介

高等院校非数学类本科数学课程——多元微积分学大学数学（三）脚本编写：彭亚新第七讲高阶偏导数1第一章多元函数微分学第七节高阶偏导数正确理解多元函数高阶偏导数的概念。能熟练地计算二、三元函数的高阶偏导数()。熟悉求混合偏导数与求导顺序无关的条件。了解高阶微分的概念及其算子表示法。会求二、三元函数的二阶微分。知道多元函数的泰勒公式。本节教学要求：2第七节高阶偏导数请点击3多元函数的高阶导数与一元函数的情形类似.

一般说来,在区域内,函数z=f(x,y)的偏导数仍是变量x,y

的多元函数,如果偏导数的二阶偏导数.依此类推,可定义多元函数的更高阶的导数.仍可偏导,则它们的偏导数就是原来函数高阶偏导数4

一般地,若函数f(X)的m－1阶偏导数仍可偏导,则称其偏导数为原来函数的m

阶偏导数.二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数,其中,关于不同变量的高阶导数,称为混合偏导数.5例例6高阶偏导数还可使用下列记号二元函数的二阶偏导数共22=4项7例例8例例9例例10例例共23=8项.11发现求高阶导数与求导顺序有关.12例求的二阶偏导数.先求一阶偏导数：再求二阶偏导数：例解13例求的二阶偏导数.例解二阶混合偏导数：观察发现两个混合偏导数相等一般性？这里的两个混合偏导数均连续14例设求需按定义求函数在点(0,0)处的偏导数:例解15不相等同理:比较:16这说明只有在一定的条件下求函数的高阶偏导数才与求导顺序无关.想想应是什么条件？17定理若的二阶混合偏导数在内存在且在点处连续,则必有废话!求出偏导数才能判断连续性,这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了,还要定理干什么.有些函数不必求出其导数,就可知道它的导函数是否连续.懂吗！18该定理的结论可推广到更高阶的混合偏导数的情形.19引入记号：在内有直到k阶的连续偏导数,记为时,则在求n阶及n阶以下的偏导数时,可大大减少运算次数.自变量的个数越多,求导与求导顺序无关的作用越二元函数的n阶偏导数就有2n项,当

明显.20例例解21例例解22例例解23例这是求隐函数的高阶偏导数.请自己计算例解2425例

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