新教材高中数学基础练20函数的单调性含解析新人教A版必修第一册

函数的单调性

>基础练一水平一

(30分钟60分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1.下列四个函数中在(0,+8)上单调递增的是()

A.f(x)=8—xB.F(x)=(x-2)2

C.f(x)=-+1D.f^x)=x+2x

X

【解析】选D.A在R上为减函数，B在(0,2)上为减函数，C在(0,+8)上为减函数.

2.若函数f(x)在[-1,2]上是单调递减函数，则下列关系成立的是()

A.A-1XADB./(-1)>/(1)

c.r(o)<A2)D.Ao)>/(3)

【解析】选B.对A,因为一1<1,故/'(—故A错，B对.

教师

专用

函数〃x)=«—2x+l的单调减区间是()

A.(-8,4-oo)B.(；,+8)

C.(一8,1]D.V+8)

【解析】选C.由一2x+120,得启；，

又一次函数尸一2牙+1为R上的减函数，故/Q)=[—2x+l的单调减区间为(一8,1

K

3.设F(x)=(2a-l)x+b在R上是减函数，则有()

11

Aa2-Baw上cDa<

2221

1

nra<-

【解析】选D.因为f(x)=2a—1%+6在R上是减函数，所以2a-l<0,42

4.设(a,6),(c,4都是函数/'(x)的单调增区间，且为W(a,6),生£(c,d),用〈生，则

『(汨)与/'(就的大小关系是()

A.(及)B.F(xi)>f(x2)

C.f(为)=/(在)D.不能确定

【解析】选D.因为z,E不在同一单调区间内，所以大小关系无法确定.

5.（2021•钦州高一检测）函数y=f+2磔"+1在⑵+8）上单调递增，则实数卬的取值范

围是（）

A.[—2,+°°）B.[2,+°0）

C.（一8,2）D.（-8,2]

【解析】选A.函数尸f+20x+l的图象为开口向上的抛物线，对称轴为*=一勿，函数y

=f+2"x+1在[2,+8）上单调递增，则一m^2,解得加2—2.

6.（多选题）函数『（*）=4/-3+5在区间[-2,+8）上单调递增，则下列选项正确的是

（）

A.f（l）225B.71（一1）W—7

C.A1X25D.f（一1）二一7

【解析】选A、B.因为函数f（x）的对称轴为x=l,

O

所以/'（X）在5+8）上是递增的.

所以9＜一2,所以辰一16.

O

则F(l)=4—/+5=9—〃/225.

H-1)=4+勿+5=9+〃W-7.

教师

专用

如果/1（x）=aV—（2—a）x+l在区间（一8,1上为减函数，则a的取值范围是（）

A.（0,1]B.[0,1）

C.[0,1]D.（0,1）

【解析】选C.a=0时，/■（/）=-2x+l,在区间（一8,1上为减函数，符合题意；当a#0

f5>0,

时，如果f(x)=ax—(2—a)x+1在区间(一8,-上为减函数，必有《2—解得0

<aWl,综上所述，a的取值范围是[0,1].

二、填空题（每小题5分，共10分）

7.函数的图象如图所示，则函数f（x）的单调递增区间是,在定义域上是

否递增（回答是或否）.

【解析】由题图可知，函数人X）的单调递增区间是（一8,1）和（1,+8）.一个函数出现两

个或两个以上的单调区间时，不能用而应该用“和”或”来表示.

答案：（一8,1）和（1,4-00）否

8.已知函数y=f-2（a+l）x-2在区间（一8,4］上是严格减函数，则实数d的取值范围

是.

【解析】由函数y=^-2（a+l）x-2在区间（一8,4］上是严格减函数，可得对称轴x=a

+1N4,解得

答案：a23

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.证明：函数/'（x）=x+，在（0,1）上单调递减.

x

【证明】设0<矛1<矛2<1,则F(xi)—F(X2)=(小+，)一(也+")=(XL*2)+'——

\X\)\Xi)X\Xz

/1)(XL矛2)(汨及一1)

—卜菽)=-----------------,

因为0<为<才2<1,所以x\x--1<0,汨一也<0,为彳2〉0.即F(xi)一£(及)>0,f(xi)>f(x2),所以

f(x)=x+-在(0,1)上单调递减.

x

a、

一，x2L

10.若F(x)=x是R上的单调函数，求实数a的取值范围.

—x+3a,xVl

a、

一，x21,a>0,解得:a.,

【解析】因为F（x）=x是R上的单调函数，所以•

—1+3a2a,

—x+3a,x<l

故实数a的取值范围为+8）.

…廛,提升练一水平二

（35分钟70分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1.（多选题）如果函数f（x）在［a，上是增函数，对于任意的乂，色£［&b］（Xi^x2）,则下

列结论中正确的有（）

(xi)—F(X2)

A.>0

X\—X2

B.(矛LX2)"(xi)—F(X2)]>O

C.f{a)Wf(xi)"(x2)WF(b)

D.f(xi)>f(x2)

【解析】选AB.由函数单调性的定义可知，若函数y=/tr)在给定的区间上是增函数，则由

一矛2与F(xi)—十(及)同号，由此可知，选项A,B正确；对于C,D,因为Xi,用的大小关系

无法判断，则/，(小)与/,(X2)的大小关系也无法判断，故C,D不正确.

2.已知函数f(x)=Mf—2x—3，则该函数的单调递增区间为()

A.(一8,1]B.[3,+°0)

C.(-8,-1]D.[1,+8)

【解析】选B.设1=*2—2x—3,由CO,得后一1或x23,所以函数的定义域为(-8,

—1]U[3,+8).当x23时，2=f—2x—3单调递增.

(a—3)x+5,

3.已知函数f(x)={2a是R上的减函数，则w的取值范围是()

一,41

x

A.(0,2)B.(0,2]C.(0,3)D.(0,3]

【解析】选B.因为f(x)为R上的减函数，所以后1时，F(x)递减，即a—3V0①，x>l

时，F(x)递减，即a>0②，且(之-3)X1+522螃)，联立①②③解得，0—.

4.函数尸|x|(l—x)在区间月上单调递增，那么区间力是()

A.(—8,o)B.0,；

C.[0,+°°)D.$+°°J

\x(1—JT)，x20,x'+x,x20,

[解析]选B.y=|x|(1-x)=J=12=

【一x(1—x)，水°，lx—x,KO,

画出函数的大致图象如图所示.

由图易知原函数在0,j上单调递增.

二、填空题(每小题5分，共20分)

5.已知函数/■(x)=2af+4(a—3)x+l在区间(一8,3)上单调递减，则a的取值范围是

.若函数f(x)=2af+4(a—3)x+l的减区间是(一8,3),则a为.

【解析】①当a=0时，f(x)=-12x+l在(-8,3)上单调递减；②当a>0时，要使/"(X)

=2af+4(a—3)x+l在区间(一8,3)上单调递减，则对称轴x=-必在x=3的右边，

a

即-->3,故0<aW;；③当aVO时，不可能在区间(一8,3)上恒单调递减.综合知:

a4

a的取值范围是0,1.若函数/•(入)=2@矛2+4也-3)不+1的减区间是(一8,3),则对称轴

3-a।3

x=------=3,则a=~.

a4

答案:F［。，M313

6.设函数F(x)满足：对任意的小，x?GR都有(为一生)"(%)一『(就］>0,则/3)与/1(一

")的大小关系是.

【解析】由说一就"(小)一人必)］>0,得函数F(x)为增函数.又一3>一贝，所以A-3)>A-

n).

答案：f(-3)>f(-n)

7.己知函数f(x)在定义域(一1,1)上单调递减，且3a—2),则a的取值范围

是.

【解析】因为函数f(x)在定义域(一1,1)上单调递减，且f(l-a)Wf(3a-2),所以一1<

(\3"

3a—2W1—a<1,解得.

答案：Q'4.

/+1,x20,

8.已知函数F(x)=则满足不等式F(l—f)>F(2x)的x的范围是________.

1,x<0,

【解析】

fx+1,x20,

fCr)=’的图象如图所示，不等式/<1—V)>f(2x)

[1,X0

[1-jr>0,

等价于C一八

〔2xW0,

1—丁>0,

或2x>0,

\—xy2xf

解得一1〈求g-1.

答案：(-1,y[2—1)

三、解答题(共30分)

9.(10分)画出函数了=一/+2|幻+3的图象，并指出该函数的单调区间.

—x2+2x+3x20,

【解析】x20时，y=—x+2%+3；K0时，尸—V—2x+3.所以尸，

一22x+3,KO.

画出该函数的图象如图所示，由图象知，该函数的单调递增区间是(一8,一口，(0,1]；

单调递减区间是(一1,0],(1,+8).

10.(10分)己知函数+2.判断函数f(x)在[1,+8)上的单调性并加以证明.

X

【解析】Ax)在[1,+8)上单调递增.

证明：设