2022年北京通州区高三一模数学试题和答案

通州区2021-2022学年高三年级第一次模拟考试2022年4月本试卷共4150120上作答无效。考试结束后，请将答题卡交回。第一部分选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。Bx1x，，则Ax2x2(1)已知集合A22D）23（A）B））21i(2)的虚部为（A）1）1C）iD）1iD）140a}nSaa20S，则7(3)设等差数列（A）60的前项和为，若nn35B）70C）1201(4)在△ABC中，已知A，a23,b3，则c3（A）1）3（）2D）3(5)若,bR，则“a2b24”是“ab2”的（A）充分不必要条件（）充要条件（）必要不充分条件D）既不充分也不必要条件(6)2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2954了100[0，10]，20，（3040]（，50]分组，分别得到频率分布直方图如下：估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是x1和x2，方差分别是2和2，则xx,s2122xx,s2122（A）（）（）1212xxs2122xxs2122,D）,1212(7)设M是抛物线y则24x上的一点，是抛物线的焦点，FO是坐标原点，若，47（A）3B）4C）D）33(8)设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点纬度，为当地纬度值，那么这三个量满足90o01米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下：木杆影长度（米）0.820.800.830.85则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（A）甲组B）乙组C）丙组(9)已知直线l:xym0和圆C:(xy，若存在三点A，B，D，其中点D22A在直线l上，点B和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，则实数m的取值范围是[）D）[（A）[22B）2,12]xax0，(10)已知函数f(x)其中a0a1，且．给出下列三个结论：(xx0，a①f(x)是单调函数；②当0a1时，函数f(x)的图象关于直线yx对称；③当a1时，方程f(x)x根的个数可能是或．12其中所有正确结论的序号是A）B①③（）D①②③第二部分（非选择题共二、填空题共5小题，每小题5分，共51xx3(11)在的展开式中，的系数是.x2y2(12)已知双曲线m的一条渐近线方程是5x2y0，则m．4m2f(x)xm）g(x)xn）上单调递减，能够使(13)幂函数上单调递增，是奇函数的一组整数m，n的值依次是________．(14)在矩形ABCD中，2，3,点P在边上，则向量CP在向量CBx(投影向量的长度是，CP的最大值是.ABCDABCD11G1(15)2的正方体E,111P1F,G分别是棱BC,CC,CD的中点，点P为底面1111FCABCDPD与重合，则三棱锥1上任意一点．若1111DE的体积是；若直线与平面EAB无公共点，则BP的最小值是.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(16)13题分）PPABCDABCD为矩形，3,2.△PAD为等边三角形，平面平面ABCD,E为的中点．DC（Ⅰ）求证：；E（Ⅱ）求平面与平面ABCD夹角的余弦值．AB(17)（本小题x已知函数fx(Ⅰ)휔的值；(Ⅱ)从下面四个条件中选择两个作为已知，求fx的解析式，并求其在区间Asin（A0,0,）的最小正周期为．2,上43的最大值和最小值．条件：fx的值域是2,2；62条件：fx在区间,上单调递增；条件：fx的图象经过点；条件：fx的图象关于直线x对称．3注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．(18)（本小题某单位有AB和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（，）（B）BBB）（午餐，晚餐）30天20天20天25天40天15天10天40天假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．A择B餐厅就餐的概率；（Ⅱ）记为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求的分布列和数学期望；EXXX（Ⅲ）试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由．(19)（本小题af(x)xaR．已知函数，x（Ⅰ）当a0时，求曲线yf(x)）处的切线方程；f1在点（（Ⅱ）若函数xf)(的最小值是2，求a的值；xttg(x)（Ⅲ）设为常数，求函数的单调区间．xt(20)（本小题x22y22已知椭圆C:1ab0A，B，AB4ab2为．2（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点D为线段上的动点，过D作线段的垂线交椭圆C于不同的两点E和FN为线段AE上一点，ANAE．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(21)（本小题15a}从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新na}b}是正实数组成的无穷n数列是递增数列，则称之为的一个无穷递增子列．已知数列n数列，且满足bbbn2．nn1b1b2b}（Ⅰ）若，，写出数列前4项的所有可能情况；12nb}（Ⅱ）求证：数列存在无穷递增子列；n（Ⅲ）求证：对于任意实数M，都存在kN*，使得kM．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）通州区2021-2022学年高三年级第一次模拟考试数学参考答案及评分标准2022年4月一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案CABDAABDCD二、填空题（共5小题，每小题525分）（11）10）5（）1（答案不唯一）1326，（14），（）6说明：（14）题两空前2后3。三、解答题（共6小题，共85分）（16共13△PAD为正三角形，E为中点，所以．………………1分因为平面平面ABCDPAD平面ABCDAD,平面，所以平面ABCD.因为平面ABCD,所以.………………4分………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面ABCD.取F，连结EF．因为底面ABCD为矩形，E为中点，所以．所以EA，EF两两垂直．分别以EA，EFEP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．…………6分则E0,0,A1,0,0,P3,C0．…………7分所以PA1,0,3,nx,y,z，2,3,0.设平面的法向量n，x3z，得由n，2x3y0.z3，得x3，y2.令所以n3.…10分平面ABCD的法向量3.………分设平面与平面ABCD夹角大小为,3n3.4则cosn,EPn433所以平面与平面ABCD夹角的余弦值为．………………13分4（1714分）T,所以2.………………2分4分(Ⅱ)方案一：选择，③因为fx的值域是2,2，所以A2..所以fx2sin2x因为fx的图象经过点1，1所以2sin1，即sin.………………5分2，所以又.7分26所以fx的解析式为fx2sin2x8分.6因为x,，所以2x,.10分436362xx当，即时，634433；fx取得最小值f2sin………………分2xx，即当时，6262.fx取得最大值f2sin………………14分62方案二：选择条件，④因为fx的值域是2,2，所以A2.………………4分所以fx2sin2x.因为的图象关于直线x对称，fx33所以2Z,kk………………5分2所以k.6，所以又.………………7分8分266所以的解析式为fx2sin2x.fx以下同方案一.方案三：选择条件，④因为fx的图象关于直线x对称，33所以2Z，kk………………3分2所以k.6，所以又.………………5分26因为fx的图象经过点1，Asin1，即A2.所以………………7分8分66所以fx的解析式为fx2sin2x.以下同方案一.（1813分）C“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A事件D“一天中乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”．由于100A餐厅就餐的天数为30晚餐都选择B餐厅就餐的天数为，3040PC)0.3，P(D)0.4；所以………………3分100100B餐厅就餐的概率为0.1A就餐的概率为0.2．X的所有可能取值为2.………………4分P(X0.3，………………6分P(X1P(X．………………8分X的分布列为XP120.10.9EX12．………………分1N2（Ⅲ）设“甲员工晚餐选择餐厅就餐”，B“乙员工晚餐选择餐厅就餐”，BM1“甲员工在午餐时选择AM2“乙员工在午餐时选择A餐厅就餐”，则235P(MN)P(MN)，．………………分1122P(MN)P(MN)因为，2112所以在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐.………………13分(19)a0时，f(x)x，f01.1f1，即切线斜率.f(x)k1，x所以切线方程为yx1．………………3分………………4分axf(x)x），（Ⅱ）函数的定义域为.………………5分………………6分1xaax2f(x)xx2a.f(x)0x令a时，f(x)0.0①当所以xf单调递增，无最小值.………………7分xa.，得②当a0时，令f(x)0，得0xa；令f(x)0xf单调递增，所以在0a单调递减，在axff(a)1a.所以最小值为所以1a2，即ea.………………分………………11分gx的定义域为），t1xtx.………………12分g'(x)（xt)2t由（Ⅱ）②知，当t0时，若则x1t.xtx1txxg)('0，所以所以………………分分（tx)2xtxtg(x)t,)，无增区间．………的减区间为（，，0t（2015分）解：（Ⅰ）由已知AB4得，2a4，a2．c22．因为，所以ca2因为b2a2c2，所以b2．x2y2所以椭圆C的方程为1．…………4分42（Ⅱ）由已知得(0)，B(2,0)．E(m,n)F(,n)，N(x,y)，则N设，NAEmn，．ANxNyN…………………6分ANAEAE（0，因为，所以即xymn．NNxm2yn所以，，NN即N(m2n)．………………8分因为，所以．mm22n所以，………分n2m1m2nnn21即，化简得．……12分2mm24m2n21，所以4m22n2，因为所以4211，……………14分22解得2（舍），或．32所以存在，使得．…………分3（21共15b}4123512311213前项依次是，，，或，，，，，，．…………3分nn}中的任意一项bi1，，，……），由已知得，bbb（Ⅱ）对于数列（或i2iii1ii2i1bi1i或bi1b.i………………4分i2i2若i2i1bb0可得bi1；……5分ii2i若i2i1i，则i2i1，此时i3i2i1i1，即i2i1i3．………………7分nAA{jN*|bb,j,mN设集合，，且m，j1jnn1bcbcb，…，，…，m，，12n12n2mc}b}n则数列是数列一个无穷递增子列．……………9分mb}c}．m（Ⅲ）考察数列和ncMcM①当②当或2时，显然成立．1cMcbmm时，设（n3，45，……），2bb由（Ⅱ）可知．nn1如果n1n2，那么m1n1，m2n2n3或cn3，于是总有m2m2n3ccnn1n2n1n3cm1cm2；mm1，此时如果n1n2，那么m1n2，cm2n3或cm2n4n3，于是总有m2n3，ccnbn1n2n3cm1cm2n2此时．mm1综上，当mN*且m3时总有cmcm1cm1