四川省德阳市第六中学高三数学理下学期期末试卷含解析

四川省德阳市第六中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=e2x﹣ax2+bx﹣1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，若f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，则a的取值范围是（）A．（e2﹣3，e2+1） B．（e2﹣3，+∞） C．（﹣∞，2e2+2） D．（2e2﹣6，2e2+2）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】利用f（1）=0得出a，b的关系，根据f′（x）=0有两解可知y=2e2x与y=2ax+a+1﹣e2的函数图象在（0，1）上有两个交点，做出两函数图象，根据图象判断a的范围．【解答】解：∵f（1）=0，∴e2﹣a﹣b﹣1=0，即b=e2﹣a﹣1，∴f（x）=e2x﹣ax2+（e2﹣a﹣1）x﹣1，∴f′（x）=2e2x﹣2ax+e2﹣a﹣1，令f′（x）=0得2e2x=2ax+a+1﹣e2，∵函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，∴y=2e2x与y=2ax+a+1﹣e2的函数图象在（0，1）上有两个交点，作出y=2e2x与y=2ax+a+1﹣e2的函数图象，如图所示：当a+1﹣e2≥2即a≥e2+1时，直线y=2ax与y=2e2x最多只有1个交点，不符合题意；∴a+1﹣e2＜2，即a＜e2+1，排除B，C，D．故选A．【点评】本题考查的知识点是函数零点与函数图象的关系，转化思想，分类说讨论思想，中档题．2.

为非零向量.“”是“函数为一次函数”的（

）A.充分而不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B3.在（1﹣x）5+（1﹣x）6+（1﹣x）7+（1﹣x）8的展开式中，含x3的项的系数是（）A．121 B．﹣74 C．74 D．﹣121参考答案：D【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前n项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含x4的项的系数，即是代数式的含x3的项的系数．【解答】解：（1﹣x）5+（1﹣x）6+（1﹣x）7+（1﹣x）8==，（1﹣x）5中x4的系数为，﹣（1﹣x）9中x4的系数为﹣C94=﹣126，﹣126+5=﹣121．故选：D4.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若角，，则关于△ABC的两个结论：①一定是锐角三角形；②一定是等腰三角形．下列判断正确的是（

）A．①错误②正确 B．①正确②错误C．①②都正确 D．①②都错误参考答案：C因为，则，注意，，则可得，或．若，则，，不可能．若，则，则一定是等腰三角形，也是锐角三角形．5.若实数满足对任意正数，均有，则的取值范围是

．参考答案：6.幂函数的图像经过点，则(

)A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B7.已知函数与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为，，，……，则等于（

）

参考答案：A略8.已知集合（）A.[1,+∞) B.[1,3] C.(3,5] D.[3,5]参考答案：D试题分析：由已知可得，则，故选D考点：1、二次不等式；2、函数的定义域；3、集合的基本运算.【易错点晴】本题主要考查二次不等式、函数的定义域、集合的基本运算，属于容易题.虽然本题是容易题，但是本题涉及不等式的解法和集合的定义，粗心的考生容易犯错.解此类题型时应注意以下情况：1.不等式的等号与区间的开闭关系；2.区分集合是考查定义域还是值域；3、集合基本运算细节.本题还可以利用特值法进行排除，提高解题速度和质量.9.若?x0∈（0，+∞），不等式ax﹣lnx＜0成立，则a的取值范围是（）A． B．（﹣∞，e] C． D．（﹣∞，e）参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】若?x0∈（0，+∞），不等式ax﹣lnx＜0成立，则?x0∈（0，+∞），不等式a＜成立，令f（x）=，则a＜f（x）max，利用导数法，求出函数的最大值，可得答案．【解答】解：若?x0∈（0，+∞），不等式ax﹣lnx＜0成立，则?x0∈（0，+∞），不等式a＜成立，令f（x）=，则a＜f（x）max，∵f′（x）=，则x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）=为增函数，x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）=为减函数，故x=e时，f（x）max=，故a的取值范围是，故选：C10.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是………………（）A． B. C． D.参考答案：A试题分析：B项在定义域上不是单调的，D项不具备奇偶性，C项是增函数，只有A项满足条件，故选A.考点：函数的奇偶性，函数的单调性.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图,在中,,点在线段上,且,则

．参考答案：试题分析：,因为所以，负舍；因而，故考点：向量数量积，二倍角公式，余弦定理【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.12.在极坐标系中，点A的极坐标是(，π)，点P是曲线C：ρ＝2sinθ上与点A距离最大的点，则点P的极坐标是_________________参考答案：略13.设,且有,则锐角

参考答案：14.函数的一个零点所在的区间为，则的值为____________．参考答案：115.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧

棱的中点，则异面直线所成的角的大小是

。

参考答案：解析：不妨设棱长为2，选择基向量，则，故填写。法2：取BC中点N，连结，则面，∴是在面上的射影，由几何知识知，由三垂线定理得，故填写。16.若指数函数在其定义域内是减函数，则a的取值范围是_______j参考答案：

【知识点】指数函数的图像与性质．B6解析：∵y=（a2﹣1）x在定义域内是减函数，∴0＜a2﹣1＜1，即1＜a2＜2，解得1＜a＜或＜a＜﹣1，故答案为：．【思路点拨】根据指数函数的单调性即可得到结论．17.已知非零向量，满足，.若，则实数t的值为______.参考答案：－4【分析】根据垂直的数量积为0与数量积运算求解即可.【详解】由可得.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积运算,属于基础题型.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=lnx+﹣1（1）求f（x）的最小值．（2）若数列{an}满足，a1=1，an+1=f（an）+2（n∈N*），证明：2＜an＜3（n≥3，n∈N*）．参考答案：【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）推导出x＞0，=，由此利用导数性质能求出f（x）的最小值．（2）推导出，首先证明an+1≥an成立，再由a3=ln2+2＞2，得到当n≥3时，an≥a3＞2，再由≤1，设h（x）=x﹣lnx﹣，则=＞0在（0，+∞）上恒成立，从而h（x）在（0，+∞）上单调递增，从而a3＜3，由此能证明2＜an＜3（n≥3，n∈N*）．【解答】解：（1）∵函数f（x）=lnx+﹣1，∴x＞0，=，由f′（x）＞0，得x＞1；由f′（x）＜0，得0＜x＜1．∴f（x）的减区间是（0，1），增区间是（1，+∞）．∴f（x）的最小值f（x）min=f（1）=ln1+1﹣1=0．证明：（2）∵数列{an}满足，a1=1，an+1=f（an）+2（n∈N*），∴，首先证明an+1≥an成立，当n=1时，a1=1，a2=ln1+1+1=2，an+1≥an成立，假设an≥an﹣1≥an﹣2≥…≥a1成立，由（1）得当x≥1时，f（x）单调递增，则an+1﹣an=f（an）﹣f（an+1）≥0，∴an+1≥an成立，∵a3=ln2+2＞2，∴当n≥3时，an≥a3＞2，∵an=f（an﹣1）+2≤f（an）+2，∴≤1，设h（x）=x﹣lnx﹣，则=＞0在（0，+∞）上恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∵h（3）=3﹣ln3﹣，∴h（3）＞h（an），∴a3＜3．综上：2＜an＜3（n≥3，n∈N*）．19.已知，，记函数．（1）求函数f（x）的周期及f（x）的最大值和最小值；（2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数中的恒等变换应用；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据平面向量的数量积的运算法则列出f（x）的解析式，利用同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式化简后，再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由周期公式即可求出f（x）的最小正周期，根据正弦函数的值域即可得到f（x）的最大值和最小值；（2）由第一问确定出的f（x），根据正弦函数的单调递增区间，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的单调递增区间．【解答】解：因为，，所以=+sin2x+4cos2x=+sin2x===5sin（2x+）+，∴T=．当x∈{}时，f（x）的最大值为．当x∈{}时，f（x）的最小值为．（2）f（x）的单调增区间为：，∴，令k=0，∴，k=1，∴．f（x）在[0，π]上的单调递增区间：．【点评】此题考查了平面向量的数量积的运算，三角函数的周期及其求法，三角函数的最值，以及正弦函数的单调性．利用平面向量的数量积的运算法则及三角函数的恒等变换确定出f（x）的解析式是解本题的关键．20.已知圆经过椭圆的左、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当的面积取到最大时，求直线的方程.参考答案：（1）令圆方程中，得：，三点共线，即为圆的直径，则由直径所对圆周角为直角得：由三角形中位线定理得：，又（等于圆直径），即点则由椭圆的定义：，，又所以椭圆的方程为：；（2），所以，设，联立方程组：，又点到直线的距离为，于是当且仅当时取得等号所以，此时直线的方程为.21.几何证明选讲如图，四点在同一圆上，与的延长线交于点，点在的延长线上.（1）若，，求的值；（2）若，证明：.参考答案：，又为公共角，

略22.（本小题满分12分）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T.其范围为[0，10],分别有五个级别：T畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵.在晚高峰时段，从贵阳市交通指挥中心选取了市区2