山西省朔州市朔城区第一中学高三数学理期末试题含解析

山西省朔州市朔城区第一中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“”是“”的（

）．（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：B【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/同角三角比.【试题分析】由于，且，得到，故充分性不成立；当时，，故必要性成立.故答案为B.2.函数在区间[－3,3]的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A3.向量若与共线，则等于(

)

A．

B．2

C．

D．－2参考答案：A略4.．“是函数在区间内单调递增”的A.充分不必要条件

B.

必要不充分条件C.充分必要条件

D.

既不充分也不必要条件参考答案：C5.已知函数f（x）=ax3+bx2﹣2（a≠0）有且仅有两个不同的零点x1，x2，则（） A．当a＜0时，x1+x2＜0，x1x2＞0 B． 当a＜0时，x1+x2＞0，x1x2＜0 C．当a＞0时，x1+x2＜0，x1x2＞0 D． 当a＞0时，x1+x2＞0，x1x2＜0参考答案：考点： 根的存在性及根的个数判断．专题： 函数的性质及应用．分析： 求导数可得x=0，或x=时，函数取得极值，要满足题意需f（）=0，可得a，b的关系，当a＞0时，x1+x2的正负不确定，不合题意；当a＜0，可得x1x2＜0，x1+x2＞0，进而可得答案．解答： 解：原函数的导函数为f′（x）=3ax2+2bx=x（3ax+2b），令f′（x）=0，可解得x=0，或x=，故当x=0，或x=时，函数取得极值，又f（0）=﹣2＜0，所以要使函数f（x）=ax3+bx2﹣2（a≠0）有且仅有两个不同的零点，则必有f（）=a+b﹣2=0，解得，且b＞0，即函数的一根为x1=，（1）如下图，若a＞0，可知x1=＜0，且为函数的极大值点，x=x2处为函数图象与x轴的交点，此时函数有2个零点：，x2＞0，显然有x1x2＜0，但x1+x2的正负不确定，故可排除C，D；（2）如图2，若a＜0，必有x1=＞0，此时必有x1x2＜0，x1=的对称点为x=，则f（）=a+b﹣2=﹣2==8＞0，则必有x2＞，即x2﹣＞0，即x1+x2＞0故选B点评： 本题考查根的存在性及根的个数的判断，涉及三次函数的图象以及分类讨论的思想，属中档题6.已知双曲线C：16x2﹣9y2=144，则C的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线16x2﹣9y2=144化为=1，可得a2=9，b2=16，a=3，c=5，即可得出．【解答】解：双曲线16x2﹣9y2=144化为=1，∴a2=9，b2=16，∴a=3，c=5，离心率e==．故选：B．【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．7.设z=x+ky，其中x，y满足，当z的最小值为﹣时，k的值为（） A．3 B． 4 C． 5 D． 6参考答案：A8.若实数a，b，c满足，则下列关系中不可能成立的是（）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A9..已知抛物线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥轴，则双曲线的离心率为（

）.

A．

B．

C．

D．参考答案：B10.设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A．A=N*，B=NB．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C．A={x|0＜x＜1}，B=RD．A=Z，B=Q参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.关于函数f（x）=4sin（2x+），（x∈R）有下列结论：①y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；②y=f（x）可改写为y=4cos（2x﹣）；③y=f（x）的最大值为4；④y=f（x）的图象关于直线x=对称；则其中正确结论的序号为．参考答案：①②③④【考点】正弦函数的图象．

【专题】三角函数的图像与性质．【分析】①根据三角函数的周期公式进行求解；②根据三角函数的诱导公式进行转化；③结合三角函数的有界性和最值进行求解判断；④根据三角函数的对称性进行判断；【解答】解：①函数的周期T=，故y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数正确；②f（x）=4sin（2x+）=4cos（﹣2x﹣）=4cos（﹣2x）=4cos（2x﹣）；故y=f（x）可改写为y=4cos（2x﹣）正确；③当4sin（2x+）=1时，y=f（x）的最大值为4，正确；④当x=时，f（）=4sin（2×+）=4sin=4为最大值，即f（x）的图象关于直线x=对称，正确．故正确的是①②③④，故答案为：①②③④【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．12.所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数．如：；；．已经证明：若是质数，则是完全数，.请写出一个四位完全数

；又，所以的所有正约数之和可表示为；，所以的所有正约数之和可表示为；按此规律，请写出所给的四位数的所有正约数之和可表示为

．（请参照6与28的形式给出）参考答案：

若是质数，则是完全数，中令可得一个四位完全数为。由题意可令＝其所有正约数之和为13.当恒成立，则的取值范围是

参考答案：答案：14.甲、乙两位同学参加2014年的自主招生考试，下火车后两人共同提起一个行李包（如图所示）.设他们所用的力分别为,行李包所受重力为，若，则与的夹角的大小为____________.参考答案：由力的平衡可知，，两边平方，可得，由条件得，故与的夹角的大小为.（或利用向量加法的平行四边形法则来求）15.将参数方程（为参数）转化为普通方程为________________；该曲线上的点与定点A（－1，－1）距离的最小值是_________.参考答案：

，

16.在区间上任取两数m和n，则关于x的方程有两不相等实根的概率为

.参考答案：17.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．参考答案：【考点】等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．【分析】先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解【解答】解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=故答案为：【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋）（ω＞0，0＜＜π）的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式：（2）已知＝，且a∈（0，），求f（a）的值．参考答案：I）由图象可知…………2分而.…………5分（II）……8分……10分……12分19.选修4-5：不等式选讲不等式对任意实数恒成立，实数的取值范围为_______.参考答案：根据函数的几何意义知：。要使不等式对任意实数恒成立，只需，即，解得，所以实数的取值范围为。20.如图，已知AD为半圆O的直径，AB为半圆O的切线，割线BMN交AD的延长线于点C，且BM=MN=NC，AB=2．（Ⅰ）求圆心O到割线BMN的距离；（Ⅱ）求CD的长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段；直线与圆相交的性质．【专题】推理和证明．【分析】（Ⅰ）设BM=x（x＞0），则由切割线定理解得x=2，由勾股定理可得AC，过O作OP⊥MN于P，通过△ABC∽△POC，求出OP，得到圆心O到割线BMN的距离．（Ⅱ）连结OM，在Rt△OPM中，求出OM，得到圆O的直径AD为，从而求出CD的长．【解答】解：（Ⅰ）设BM=x（x＞0），则由切割线定理可得BA2=BM?BN，又BM=MN=NC，则（2）2=x（x+x），解得x=2，从而BC，=6，由勾股定理可得AC==2．过O作OP⊥MN于P，则CP=3，易证△ABC∽△POC，则，所以OP===．圆心O到割线BMN的距离：．（Ⅱ）连结OM，在Rt△OPM中，OM==．即圆O的直径AD为，从而CD的长为：2﹣=．【点评】本题考查推理与证明，直线与圆相交的性质的应用，考查切割线定理以及勾股定理的应用．21.（本小题满分14分）设函数,（Ⅰ）求的单调区间；(Ⅱ)求证：；（Ⅲ）证明：参考答案：解：（Ⅰ）由已知,由，得，，。在上为减函数，在为增函数。………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，。

对任意，有即。

即………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，当时，则，又左式………14分略22.已知定点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0），动点P满足：?=k||2，（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；（2）当k=2，求|2+|的最大，最小值．参考答案：【考点】J3：轨迹方程；93：向量的模；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）设出P点坐标，求出向量的坐标，然后分k=1和k≠1由?=k||2得到P点轨迹；（2）把k=2代入（1）求出的轨迹方程，得到x2+y2=4x﹣3，利用向量的坐标运算求出|2+|，把x2+y2=4x﹣3整体代入后转化为求6x﹣y的最值，令t=6x﹣y，由圆心到直线t=6x﹣y的距离不大于圆的半径求t的范围，从而得到结论．【解答】解：（1）设P（x，y），，．当k=1时，由?=k||2，得x2+y2﹣1=（1﹣x）2+y2，整理得：x=1，表示过（1，0）且平行于y轴的直线；当k≠1时，由?=k||2，得x2+y