江西省九江市德安东佳中学高三数学理模拟试题含解析

江西省九江市德安东佳中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的d的值为33，则输出的i的值为A.4 B.5 C.6 D.7参考答案：C【详解】，开始执行程序框图，，，，退出循环，输出，故选C.2.设（是虚数单位），则等于(▲) A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（两）.问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的，分别为（

）A．90，86

B．94，82

C.98，78

D．102，74参考答案：C4.已知椭圆M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝A．4

B．8

C．12

D．16参考答案：【知识点】椭圆的定义;椭圆的基本性质的应用.H5【答案解析】B

解析：如图：MN的中点为Q，易得|QF2|＝|NB|，|QF1|＝|AN|，

∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=4，∴|AN|+|BN|=8．故选B．【思路点拨】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值．5.已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，1）D．[，1）参考答案：A考点：椭圆的简单性质．

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作出简图，则＞，则e=．解答：解：由题意，如图若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，由∠APO＞45°，即sin∠APO＞sin45°，即＞，则e=，故选A．点评：本题考查了椭圆的基本性质应用，属于基础题．6.利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印

的点落在坐标轴上的个数是

（

） A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B7.已知函数的值域为R,则k的取值范围是A．O<k<lB．

C．D．参考答案：C要满足题意，t=x2-2kx+k要能取到所有正实数，抛物线要与x轴有交点，∴△=4k2-4k≥0．解得k≥1或k≤0．故选C．

8.抛物线C：的焦点为F，为C上一点，过点P作其准线的垂线，垂足为Q，若，则的长度为A． B． C． D．参考答案：C9.已知x，y满足不等式组，则的最大值与最小值的比值为(

)A.

B.2

C.

D.参考答案：B因为x，y满足不等式组，作出可行域，然后判定当过点（2,2）取得最大，过点（1,1）取得最小，比值为2.

10.若，则该数列的前2011项的乘积

(

)A．3．

B．-6．

C．．

D．．

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知复数，则

参考答案：略12.如果执行上面的框图，输入，则输出的数S=

.参考答案：13.（文）若平面向量满足且,则的最大值为

.参考答案：因为，所以，所以，设，因为，，所以，因为，所以当时，有最大值，所以的最大值为。14.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术。利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率。如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为

（参考数据：=1.732，）参考答案：24n=6，s=2.598

n=12，s=3

n=24，s=3.1056结束循环

输出n=2415.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线，如图一平行于x轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．参考答案：【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点，设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，最短，进而可得出结果.【详解】由抛物线光学性质可得：必过抛物线的焦点，当直线斜率存在时，设的方程为，，由得：，整理得，所以，，所以；当直线斜率不存在时，易得；综上，当直线与轴垂直时，弦长最短，又因为两平行光线间的最小距离为4，最小时，两平行线间的距离最小；因此，所求方程为.故答案为【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.16.已知各项为正数的等比数列若存在两项、使得，则的最小值为

参考答案：17.已知函数的导函数为，且满足，则▲。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（Ⅰ）求的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（Ⅱ）用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率．如果空气质量指数不超过20，就认定空气质量为“最优等级”．从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为，求的分布列，并估计一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．参考答案：(Ⅰ)25.6；(Ⅱ)18【知识点】用样本估计总体；离散型随机变量的分布列及方差I2K6解析：(Ⅰ)由题意，得解得………3分50个样本中空气质量指数的平均值为由样本估计总体，可估计2014年这一年度空气质量指数的平均值约为25.6

…………6分（Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则.的可能取值为0，1，2，的分布列为：012

……8分.(或者)，

…………10分故一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为天.…12分【思路点拨】(Ⅰ)先由题意得a的值，再计算出平均数，然后利用样本估计总体可得结果；(Ⅱ)利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，据此得到分布列和方程即可。19.（本小题满分12分）已知函数，其中，。（Ⅰ）若，求函数的最大值和最小值，并定出相应的值。（Ⅱ）ABC的内角为A，B，C，设对边分别为，满足，且，求的值。参考答案：（Ⅰ），，………………6分（Ⅱ），，，，

………………12分20.（本题满分12分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（Ⅰ）求3月1日到14日空气质量指数的中位数；（Ⅱ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）参考答案：解：（Ⅰ）由题意知，中位数为103.5………………4分（Ⅱ）设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（i=1，2，…，13）．根据题意，，且．设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则．∴………………8分（Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大……12分

21.（12分）已知函数f（x）=，其中m，n，k∈R．（1）若m=n=k=1，求f（x）的单调区间；（2）若n=k=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，求实数m的取值范围；（3）若m＞0，n=0，k=1，若f（x）存在两个极值点x1、x2，求证：＜f（x1）+f（x2）＜．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）若m=n=k=1，求导数，利用导数的正负，求f（x）的单调区间；（2）若n=k=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，先确定m≥0，在分类讨论，确定函数的最小值，即可求实数m的取值范围；（3）令f′（x）=0，x1+x2=2，x1x2=，再结合基本不等式，即可证明结论．【解答】（1）解：m=n=k=1，f′（x）=，∴0＜x＜1，f′（x）＜0，x＜0或x＞1时，f′（x）＞0，∴函数的单调减区间是（0，1），单调增区间是（﹣∞，0），（1，+∞）；（2）解：若n=k=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，则m≥0．m=0，f（x）=，f′（x）=≥0，∴f（x）min=f（0）=1；m＞0，f′（x）=，0＜m≤，f（x）min=f（0）=1；m≥，f（x）在[0，]上为减函数，在[，+∞）上为增函数，f（x）min＜f（0）=1不成立．综上所述，0≤m≤；（3）证明：f（x）=，f′（x）=．∵f（x）存在两个极值点x1，x2，∴4m2﹣4m＞0，∴m＞1．令f′（x）=0，x1+x2=2，x1x2=，注意到（i=1，2）