2024年中考数学冲刺：动手操作与运动变换型问题-巩固练习（基础）

2024年中考数学冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设Q点运动的时间t秒，若四边形QPCP为菱形，则t的值为（）.A.B.2C.D.32．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°.若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为（）.A.B.1C.或1D.或1或3.（2015•盘锦）如图，边长为1的正方形ABCD，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B的路径向点B运动，当一个点到达点B时，另一个点也随之停止运动，设△AMN的面积为s，运动时间为t秒，则能大致反映s与t的函数关系的图象是（）.A． B． C． D．二、填空题4．如图,已知点A（0,2）、B（,2）、C(0,4),过点C向右作平行于x轴的射线,点P是射线上的动点,连结AP,以AP为边在其左侧作等边△APQ,连结PB、BA.若四边形ABPQ为梯形,则（1）当AB为梯形的底时,点P的横坐标是；（2）当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是.5．如图，矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是.6.（2016•东河区二模）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的是．三、解答题7．如图所示是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中，按下列要求操作：(1)请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(-2，4)，B点坐标为(-4，2)；(2)在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点的坐标是________，△ABC的周长是________(结果保留根号)；(3)画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C，连接AB′和A′B，试说出四边形是何特殊四边形，并说明理由．8.(1)观察与发现小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图②)．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．(2)实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图③)；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG(如图④)；再展平纸片(如图⑤)．求图⑤中∠α的大小．9.如图(1)，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角形板DEF绕D点按逆时针方向旋转．(1)在图(1)中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明：DM＝ND；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；(2)继续旋转至如图(2)所示的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转至如图(3)所示的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请写出结论，不用证明．10.（2016•绵阳）如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣），直线DE⊥DC交AC于E，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动，设△PDE的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒．（1）求直线DE的解析式；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值．【答案与解析】一、选择题

1.【答案】B；【解析】连接PP′交BC于点D，若四边形QPCP为菱形，则PP′⊥BC，CD＝CQ=（6-t），∴BD=6-（6-t）=3+t.在Rt△BPD中，PB=AB-AP=6-t，而PB=BD，∴6-t=（3+t），解得：t=2，故选B.2.【答案】D；【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；Rt△ABC中，BC=2，∠ABC=60°；

∴AB=2BC=4cm.①当∠BFE=90°时；Rt△BEF中，∠ABC=60°，则BE=2BF=2cm；故此时AE=AB-BE=2cm；∴E点运动的距离为：2cm或6cm，故t=1s或3s；由于0≤t＜3，故t=3s不合题意，舍去；所以当∠BFE=90°时，t=1s；②当∠BEF=90°时；同①可求得BE=0.5cm，此时AE=AB-BE=3.5cm；∴E点运动的距离为：3.5cm或4.5cm，故t=1.75s或2.25s；综上所述，当t的值为1、1.75或2.25s时，△BEF是直角三角形．故选D．3.【答案】D.【解析】（1）如图1，当点N在AD上运动时，s=AM•AN=×t×3t=t2．（2）如图2，当点N在CD上运动时，s=AM•AD=t×1=t．（3）如图3，当点N在BC上运动时，s=AM•BN=×t×（3﹣3t）=﹣t2+t综上可得，能大致反映s与t的函数关系的图象是选项D中的图象．故选：D．二、填空题4.【答案】（1）；（2）0，；【解析】（1）由题意知，当AB为梯形的底时，AB∥PQ，即PQ⊥y轴，又△APQ为等边三角形，AC＝2，由几何关系知，点P的横坐标是.（2）当AB为梯形的腰时，当PB∥y轴时，满足题意，此时AQ=4，由几何关系得，点P的横坐标是.5.【答案】4；【解析】由折叠可知∠BAE=∠CAE，因为AE=EC所以∠CAE=∠ACE，所以∠BAE=∠CAE=∠ACE，三角的和为90°，所以∠ACE=30°，所以AC=2AB=4.6.【答案】①②③．【解析】①正确．因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG；②正确．因为：EF=DE=CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC；③正确．因为CG=BG=GF，所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；④错误．过F作FH⊥DC，∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：==，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×（×3）=≠3．故答案为：①②③．三、解答题7．【答案与解析】(1)如图所示建立平面直角坐标系．(2)如图画出点C，C(-1，1)．△ABC的周长是．(3)如图画出△A′B′C，四边形ABA′B′是矩形．理由：∵CA＝CA′，CB＝CB′，∴四边形ABA′B′是平行四边形.又∵CA＝CB，∴CA＝CA′＝CB＝CB′．∴AA′＝BB′．∴四边形ABA′B′是矩形．8．【答案与解析】解：(1)同意．如图所示，设AD与EF交于点G．由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD．又由折叠知，∠AGE＝∠AGF＝90°，所以∠AEF＝∠AFE，所以AE＝AF，即△AEF为等腰三角形．(2)由折叠知，四边形ABFE是正方形∠AEB＝45°，所以∠BED＝135°．又由折叠知，∠BEG＝∠DEG，所以∠DEG＝67.5°．从而∠α＝90°-67.5°＝22.5°．9．【答案与解析】解：(1)①连接DB，利用△BMD≌△CND或△ADM∽△BDN即可证明DM＝DN．②由△BMD≌△CND知，，∴．即在直角三角板DEF旋转过程中，四边形DMBN的面积始终等于，不发生变化．(2)连接DB，由△BMD≌△CND可证明DM＝DN，即DM＝DN仍然成立．(3)连接DB．由△BMD≌△CND，可证明DM＝ND仍成立．10．【答案与解析】解：由菱形的对称性可得，C（2，0），D（0，），∴OD=，OC=2，tan∠DCO==，∵DE⊥DC，∴∠EDO+∠CDO=90°，∵∠DCO+∠CD∠=90°，∴∠EDO=∠DCO，∵tan∠EDO=tan∠DCO=，∴，∴OE=，∴E（﹣，0），∴D（0，），∴直线DE解析式为y=2x+，（2）由（1）得E（﹣，0），∴AE=AO﹣OE=2﹣=，根据勾股定理得，DE==，∴菱形的边长为5，如图1，过点E作EF⊥AD，∴sin∠DAO=，∴EF==，当点P在AD边上运动，即0≤t＜，S=PD×EF=×（5﹣2t）×=﹣t+，如图2，点P在DC边上运动时，即＜t≤5时，S=PD×DE=×（2t﹣5）×=t﹣；∴S=，（3）设BP与AC相交于点Q，在菱形ABCD中，∠DAB=∠DCB，DE⊥DC，∴DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°，∴∠DCB+∠ADE=90°，∴要使∠EPD+∠DCB=90°，∴∠EPD=∠ADE，当点P在AD上运动时，如图3，∵∠EPD=∠ADE，∴EF垂直平分线PD，∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2，∴2t=5﹣，∴t=，此时AP=1，∵AP∥BC，∴△APQ∽△CBQ，∴，∴，∴，∴AQ=，∴OQ=OA﹣AQ=，在Rt△OBQ中，tan∠OQB===，当点P在DC上运动时，如图4，∵∠EPD=∠ADE，∠EDP=∠EFD=90°∴△EDP∽△EFD，∴，∴DP===，∴2t=AD﹣DP=5+，∴t=，此时CP=DC﹣DP=5﹣=，∵PC∥AB，∴△CPQ∽△ABQ，∴，∴，∴，∴CQ=，∴OQ=OC﹣CQ=2﹣=，在Rt△OBD中，tan∠OQB===1，即：当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为．当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为1．中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题

1.（2015春•抚州期末）将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个圆形小洞后展开铺平得到的图形是（）A． B． C． D．2.（2016•邢台校级三模）一张正方形的纸片，如图1进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的内角和是多少度？（）A．1080° B．360° C．180° D．900°3.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN（图甲），再把B点叠在折痕MN上的B′处.得到Rt△AB′E（图乙），再延长EB′交AD于F，所得到的△EAF是（）A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形D.直角三角形4.如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是（）A、B、C、D、二、填空题5.如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱形．对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论： ．6．如图,△ABC中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB=,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为___________7．（2015•太仓市模拟）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm．动点Q从点B出发，以1cm/S的速度沿BC运动到点C停止，同时，动点P也从B点出发，沿折线B→A→D运动到点D停止，且PQ⊥BC．设运动时间为t（s），点P运动的路程为y（cm），在直角坐标系中画出y关于t的函数图象为折线段OE和EF（如图②）．已知点M（4，5）在线段OE上，则图①中AB的长是cm．三、解答题8．阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图(1)所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图(2)所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点D旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图(3)所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图(3)中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即可)；(2)如图(4)，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图(4)中探究平行四边形MNPQ面积的大小(画图并直接写出结果)．9.如图(a)，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……．已知标准纸的短边长为a．(1)如图(b)，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF；则AD:AB的值是________，AD，AB的长分别是________，________；(2)“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值；(3)如图(c)，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的4个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长；(4)已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M＝90°，MN＝MQ＝2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．10.操作与探究(1)图(a)是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按图中方法折叠，点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE是等腰三角形；(2)再将图(b)中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图(b))．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图(c)中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图(c)中画出折痕；(3)请你在图(d)的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；(4)有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足什么条件时，一定能折成组合矩形?11.在图1至图5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．操作示例：当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上，连接CH．由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH(如图所示)，过点F作FM⊥AE于点M(图略)，利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．实践探究：(1)正方形FGCH的面积是________；(用含a、b的式子表示)(2)类比图1的剪拼方法，请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展：小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时，如图所示的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．12.（2016•宿迁）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．【答案与解析】一、选择题

1.【答案】B；【解析】由折叠可知，得到的四个圆形小洞一定不在一条直线上，故D不正确；四个圆形小洞不靠近原正方形的四个角，所以A不正确；选项C的位置也不符合原题意的要求，故只有B是按要求得到的．故选B．2.【答案】A；【解析】展开图的这个图形是八边形，故内角和为：（8﹣2）×180°=1080°．3.【答案】B；【解析】证明AE=AF，∠EAF=60°，得△EAF为等边三角形.4.【答案】D.二、填空题5.【答案】答案不唯一．可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半．【解析】拼图注意研究重叠的边和有公共点的角，由图可以看出三个下底上的角拼成一个平角，上底和腰相等.6.【答案】；【解析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=12∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=，∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×=，由垂径定理可知EF=2EH=，故答案为：．7.【答案】10；【解析】解：设OE的解析式为y=kt，∵点M（4，5），∴k=，如图，当Q运动到G点时，点P运动到A点，BQ=t，AB=，∵AG⊥BC，∴四边形ADCG是矩形，∴AG=DC=6，∴AB2=BG2+AG2，∴（）2=t2+62，解得：t=8，∴AB=×8=10（cm）．三、解答题8．【答案与解析】解：(1)拼接成的平行四边形是ABCD(如图所示)．(2)正确画出图形(如图所示)．平行四边形MNPQ的面积为．9．【答案与解析】解：(1)，，．(2)相等，比值为．(3)设DG＝x．在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝∠D＝∠90°．∵∠HGF＝90°，∴∠DHG＝∠CGF＝90°－∠DGH，∴△HDG∽△GCF，∴．∴CF＝2DG＝2x．同理∠BEF＝∠CFG．∵EF＝FG．∴△FBE∽△GCF，∴BF＝CG＝．∴．解得，即．(4)，．10．【答案与解析】(1)由对称性可证∠ECB＝∠B．(2)如图所示，有3种折法．(3)答案不唯一．只要有一条边与该边上的高相等即可．(4)当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形．11．【答案与解析】解：实验探究(1)(2)剪拼方法如图(1)(2)(3)．联想拓展能，剪拼方法如图(4)(图中BG＝DH＝b)．(注意；图(4)用其他剪拼方法能拼接成面积为的正方形均可)12.【答案与解析】解：（1）如图1中，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∵△CEF是由△CAD旋转逆时针α得到，α=90°，∴CB与CE重合，∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，∵BG=AD=BF，∴∠BGF=∠BFG=45°，∴∠A=∠BGF=45°，∴GF∥AC．（2）①如图2中，∵CA=CE，CD=CF，∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，∵∠ACD=∠ECF，∴∠ACE=∠DCF，∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，∴∠CAE=∠CDF，∴A、D、M、C四点共圆，∴∠CMF=∠CAD=45°，∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM．∵AD=DB，CA=CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，由①可知A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，∵OA=OC，CD=DA，∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°，∴的长==．∴当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为．中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—知识讲解（基础）【中考展望】1．对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现.2．估计在今年的中考题中，实践操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等和四边形的性质综合考查．需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力．图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：1．已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等)．2．利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的图形等)．3．图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求)．4．动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案)．解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获得更多的图形信息．必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效．从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的.动态问题一般分两类，一类是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查.所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分.【方法点拨】实践操作问题：解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题．解答实践操作题的基本步骤为：从实例或实物出发，通过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想．在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己已有的生活经验和数学知识去感知发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题．动态几何问题：1、动态几何常见类型（1）点动问题（一个动点）（2）线动问题（二个动点）（3）面动问题（三个动点）2、运动形式平移、旋转、翻折、滚动3、数学思想函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想4、解题思路（1）化动为静，动中求静（2）建立联系，计算说明（3）特殊探路，一般推证【典型例题】类型一、图形的折叠 1．（2016•济南）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG=．【思路点拨】如图2中，作NF⊥CD于F．设DM=x，则AM=EM=10﹣x，利用勾股定理求出x，再利用△DME∽△FEN，得=，求出EN，EM，求出tan∠AMN，再证明∠EHG=∠AMN即可解决问题．【答案】45°．【解析】解：如图2中，作NF⊥CD于F．设DM=x，则AM=EM=10﹣x，∵DE=EC，AB=CD=8，∴DE=CD=4，在RT△DEM中，∵DM2+DE2=EM2，∴（4）2+x2=（10﹣x）2，解得x=2.6，∴DM=2.6，AM=EM=7.4，∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°，∴∠DEM=∠ENF，∵∠D=∠EFN=90°，∴△DME∽△FEN，∴=，∴=，∴EN=，∴AN=EN=，∴tan∠AMN==，如图3中，∵ME⊥EN，HG⊥EN，∴EM∥GH，∴∠NME=∠NHG，∵∠NME=∠AMN，∠EHG=∠NHG，∴∠AMN=∠EHG，∴tan∠EHG=tan∠AMN=．故答案为．【总结升华】本题考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会把问题转化，证明∠AMN=∠EHG是关键，属于中考填空题中的压轴题．举一反三：【变式】如图所示，已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：________(用“能”或“不能”填空)．若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由．【答案】解：能.如图所示，取四边形ABCD各边的中点E，F，G，H，连接EG，FH，交点为O．以EG，FH为裁剪线，EG，FH将四边形ABCD分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，拼接时图中的Ⅰ不动，将Ⅱ，Ⅳ分别绕E，H旋转180°，将Ⅲ平移，拼成的四边形OO1O2O3即为所求．沿CA方向平移，将点C平移到点A位置．类型二、实践操作2．如图,在等腰梯形ABCD中AB∥CD,AB＝,DC＝,高CE＝,对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的面积为，被直线RQ扫过的面积为，若直线MN平移的速度为1单位/秒,直线RQ平移的速度为2单位/秒,设两直线移动的时间为x秒.(1)填空:∠AHB＝____________；AC＝_____________；(2)若,求x；(3)若,求m的变化范围.【思路点拨】(1)如例2图-1所示,平移对角线DB,交AB的延长线于P.则四边形BPCD是平行四边形,BD＝PC,BP＝DC＝.因为等腰梯形ABCD,AB∥CD,所以AC＝BD.所以AC＝PC.又高CE＝,AB＝,所以AE＝EP＝.所以∠AHB＝90°AC＝4；⑵直线移动有两种情况:及,需要分类讨论.①当时,有.∴②当时,先用含有x的代数式分别表示,,然后由列出方程,解之可得x的值；(3)分情况讨论:①当时,.②当时,由,得＝.然后讨论这个函数的最值,确定m的变化范围.【答案与解析】解：(1)90°,4；(2)直线移动有两种情况:和.①当时,∵MN∥BD,∴△AMN∽△ARQ,△ANF∽△AQG..∴②当时,如例2图-2所示,CG＝4－2x,CH＝1,.,由,得方程,解得(舍去),.∴x＝2.(3)当时,m＝4当时,由,得＝＝.M是的二次函数,当时,即当时,M随的增大而增大.当时,最大值m＝4.当x＝2时,最小值m＝3.∴3≤m≤4.【总结升华】本题是一道几何代数综合压轴题,重点考查等腰梯形,相似三角形的性质,二次函数的增减性和最值及分类讨论,由特殊到一般的数学思想等的综合应用.解题时,(1)小题,通过平移对角线,将等腰梯形转化为等腰三角形,从而使问题得以简化,是我们解决梯形问题常用的方法.(2)小题直线移动有两种情况:及,需要分类讨论.这点万不可忽略,解题时用到的知识点主要是相似三角形面积比等于相似比的平方.(3)小题仍需要分情况讨论.对于函数,讨论它的增减性和最值是个难点.讨论之前点明我们把这个函数看作“M是的二次函数”对顺利作答至关重要.3．已知等边三角形纸片ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G，DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于点F，把三角形纸片ABC分别沿DG、DE、GF按图①所示方式折叠．点A、B、C分别落在A′、B′、C′处．若点A′、B′、C′在矩形DEFG内或其边上．且互不重合，此时我们称(即图中阴影部分)为“重叠三角形”．(1)若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格图中(图中每个小三角形都是边长为l的等边三角形)，点A、B、C、D恰好落在网格图中的格点上，如图②所示，请直接写出此时重叠三角形A′B′C′的面积；(2)实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形A′B′C′存在，试用含m的代数式表示重叠三角形A′B′C′的面积，并写出m的取值范围(直接写出结果，备用图供实验探究使用)．【思路点拨】本题是折叠与对称类型操作题，折叠实质为对称变换，故轴对称的性质运用是解本类型题的关键．另外，本题对新概念“重叠三角形”的理解正确才能求得m的取值范围．【答案与解析】解：(1)重叠三角形A′B′C′的面积为．理由：如题图，△A′B′C′是边长为2的等边三角形．∴其高为，面积为．(2)用含m的代数式表示重叠三角形A′B′C′的面积为，m的取值范围是≤m＜4．理由：如图(1)，AD＝m，则BD＝GC＝8-m，由轴对称的性质知DB′＝DB＝8-m．DA′＝DA＝m．∴A′B′＝DB′－DA′＝8－m—m＝2(4－m)，由△ABC是等边三角形及折叠过程知AA′B′C′是等边三角形．∴它的高是．．以下求m的取值范围：如图(1)，若B′与F重合，则C′与E重合．由折叠过程知BE＝EB′＝EF．CF＝FC′＝FE．∴BE＝EF＝FC＝．∵∠B＝60°，BD＝2BE＝，，即．若，如图(2)，点B′、C′落在矩形DEFG外，不合题意．∴．又由A′B′＝2(4-m)＞0，得m＜4．∴m的取值范围是．【总结升华】亲自操作实验有助于突破难点．举一反三：【高清课堂：图形的设计与操作及运动变换型问题例2】【变式】阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC中，P为BC边上一定点，过点P作一直线，使其等分△ABC的面积．解决：情形1：如图①，若点P恰为BC的中点，作直线AP即可．情形2：如图②，若点P不是BC的中点，则取BC的中点D，联结AP，过点D作DE∥AP交AC于E，作直线PE，直线PE即为所求直线．问题解决：如图③，已知四边形ABCD，过点B作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD的面积，并证明．【答案】解：如图③，取对角线AC的中点O，联结BO、DO、BD,

过点O作OE∥BD交CD于E,

∴直线BE即为所求直线类型三、动态数学问题4．如图①，有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和△A′BC′.(1)如图②，将△ACD沿A′C′边向上平移，使点A与点C′重合，连接A′D和BC，四边形A′BCD是形；（2）如图③，将△ACD的顶点A与A′点重合，然后绕点A沿逆时针方向旋转，使点D、A、B在同一直线上，则旋转角为度；连接CC′，四边形CDBC′是形；（3）如图④，将AC边与A′C′边重合，并使顶点B和D在AC边的同一侧，设AB、CD相交于E，连接BD，四边形ADBC是什么特殊四边形？请说明你的理由.【思路点拨】（1）利用平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形得出即可；（2）利用旋转变换的性质以及直角梯形判定得出即可；（3）利用等腰梯形的判定方法得出BD∥AC，AD=CE，即可得出答案．【答案与解析】解：（1）平行四边形；证明：∵AD=AB，AA′=AC，∴A′C与BD互相平分，∴四边形A′BCD是平行四边形；（2）∵DA由垂直于AB，逆时针旋转到点D、A、B在同一直线上，∴旋转角为90度；证明：∵∠D=∠B=90°，A，D，B在一条直线上，∴CD∥BC′，∴四边形CDBC′是直角梯形；故答案为：90，直角梯；（3）四边形ADBC是等腰梯形；证明：过点B作BM⊥AC，过点D作DN⊥AC，垂足分别为M，N，∵有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和△A′BC′．∴△ACD≌△A′BC′，∴BM=ND，∴BD∥AC，∵AD=BC，∴四边形ADBC是等腰梯形．【总结升华】此题主要考查了图形的剪拼与平行四边形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定方法等知识，熟练掌握判定定理是解题关键．举一反三：【高清课堂：图形的设计与操作及运动变换型问题例1】【变式】（2015秋•莘县期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，0），C（6，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小，位似比为1：2，则线段AC中点P变换后对应点的坐标为．【答案】（）或（）.【解析】解：如图，∵A（2，2），C（6，4），∴点P的坐标为（4，3），∵以原点为位似中心将△ABC缩小位似比为1：2，∴线段AC的中点P变换后的对应点的坐标为（﹣2，﹣）或（2，）．故答案为：（2，）或（﹣2，﹣）．5．如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间（单位：s）的函数如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了秒（结果保留根号）．【思路点拨】根据图②判断出AB、BC的长度，过点B作BE⊥AD于点E，然后求出梯形ABCD的高BE，再根据t=2时△PAD的面积求出AD的长度，过点C作CF⊥AD于点F，然后求出DF的长度，利用勾股定理列式求出CD的长度，然后求出AB、BC、CD的和，再根据时间=路程÷速度，计算即可得解．【答案】（4+2）．【解析】解：由图②可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化，∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4-2=2秒，∵动点P的运动速度是1cm/s，∴AB=2cm，BC=2cm，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，则四边形BCFE是矩形，∴BE=CF，BC=EF=2cm，∵∠A=60°，∴BE=ABsin60°=2×=，AE=ABcos60°=2×=1，∴×AD×BE=3，即×AD×=3，解得AD=6cm，∴DF=AD-AE-EF=6-1-2=3，在Rt△CDF中，CD===2，所以，动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+2=4+2，∵动点P的运动速度是1cm/s，∴点P从开始移动到停止移动一共用了（4+2）÷1=4+2（秒）．故答案为：（4+2）．【总结升华】本题考查了动点问题的函数图象，根据图②的三角形的面积的变化情况判断出AB、BC的长度是解题的关键，在梯形的问题中，作过梯形的上底边的两个顶点的高线是常见的辅助线．中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—知识讲解（提高）【中考展望】1．对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现.2．估计在今年的中考题中，实践操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等和四边形的性质综合考查．需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力．图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：1．已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等)．2．利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的图形等)．3．图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求)．4．动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案)．解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获得更多的图形信息．必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效．从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的.动态问题一般分两类，一类是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查.所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分.【方法点拨】实践操作问题：解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题．解答实践操作题的基本步骤为：从实例或实物出发，通过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想．在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己已有的生活经验和数学知识去感知发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题．动态几何问题：1、动态几何常见类型（1）点动问题（一个动点）（2）线动问题（二个动点）（3）面动问题（三个动点）2、运动形式平移、旋转、翻折、滚动3、数学思想函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想4、解题思路（1）化动为静，动中求静（2）建立联系，计算说明（3）特殊探路，一般推证【典型例题】类型一、图形的剪拼问题 1．直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下(如图所示)：请你用上面图示的方法，解答下列问题：(1)对下图中的三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；(2)对下图中的四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．【思路点拨】对于三角形的分割重组，要想拼成一个矩形，则分割时必须构造出直角来，示例中通过作中位线的垂线段而分割出①③两个直角三角形．对于四边形的分割重组，可以先把四边形转化为三角形的问题，再利用三角形的分割重组方法进行．【答案与解析】解：(1)如图所示：(2)如图所示：【总结升华】按照三角形的剪拼方法，探索规律，将任意四边形先分割成三角形，再进行剪拼，使学生经历由简单到复杂的探索过程．举一反三：【变式】（2016•绥化）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（）A． B． C． D．【答案】A.当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在直角三角形中间的位置上剪三角形，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且三角形关于对角线对称，三角形的AB边平行于正方形的边．再结合C点位置可得答案为C．故选C．类型二、实践操作2．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）要证APB=BPH，由内错角APB=PBC，即证PBC=BPH，折叠后EBP=EPB=90°，再由性质等角的余角相等即可得证．（2）△PHD的周长为PD+DH+PH．过B作BQ⊥PH构造直角三角形，再利用三角形全等：△ABP≌△QBP和△BCH≌△BQH．证明AP=QP，CH=QH，可得其周长为定值．（3），关键是用x来表示BE、CF．过F作FM⊥AB，垂足为M，先由边角关系得△EFM≌△BPA，得=x．在Rt△APE中可由勾股定理表示出BE，再由，很容易用x表示出S，再配方求最值．【答案与解析】解：（1）∵PE=BE，∴EBP=EPB．又∵EPH=EBC=90°，∴EPH-EPB=EBC-EBP．即PBC=BPH．又∵AD∥BC，∴APB=PBC．∴APB=BPH．（2）△PHD的周长不变，为定值8．证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知APB=BPH，又∵A=BQP=90°，BP=BP，∴△ABP≌△QBP．∴AP=QP,AB=BQ．又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∵C=BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH．∴CH=QH．∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.（3）过F作FM⊥AB，垂足为M，则.又EF为折痕，∴EF⊥BP.∴，∴．又∵A=EMF=90°，∴△EFM≌△BPA．∴=x．∴在Rt△APE中，．解得，．∴．又四边形PEFG与四边形BEFC全等，∴．即：．配方得，，∴当x=2时，S有最小值6．【总结升华】本题将函数和几何知识较好的综合起来，对能力的要求较高．本题考查了三角形全等、正方形的性质、勾股定理、梯形的面积公式、折叠的性质、二次函数等相关知识．难度较大，是一道很好的压轴题，通过此题能够反映出学生的思维能力及数学知识的掌握程度，解答本题要学会将题目中的已知量与待求量联系起来．此题的关键是证明几组三角形的全等，以及用x来表示S．3．刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B＝90°，∠C＝60°，∠A＝30°，BC＝6cm；图②中，∠D＝90°，∠E＝45°，DE＝4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐________．(填“不变”、“变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行?问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD＝15°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．【思路点拨】本题以动三角形为背景，考查特殊角的三角函数值、勾股定理．【答案与解析】解：(1)变小．(2)问题①：∵∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝6，∴AC＝12．∵∠FDE＝90°，∠DEF＝45°，DE＝4，∴DF＝4．连结FC，设FC∥AB，∴∠FCD＝∠A＝30°∴在Rt△FDC中，DC＝．∴AD＝AC－DC＝即AD＝cm时，FC∥AB．问题②：设AD＝x，在Rt△FDC中，FC2＝DC2+FD2＝(12-x)2+16．(i)当FC为斜边时，由AD2+BC2＝FC2得，．(ii)当AD为斜边时，由得，(不符合题意，舍去)．(iii)当BC为斜边时，由得，，△＝144－248＜0，∴方程无解．另解：BC不能为斜边．∵FC＞CD．∴FC+AD＞12．∴FC、AD中至少有一条线段的长度大于6．∴BC不能为斜边．∴由(i)、(ii)、(iii)得，当cm时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形．问题③：解法一：不存在这样的位置，使得∠FCD＝15°．理由如下：假设∠FCD＝15°．由∠FED＝45°，得∠EFC＝30°．作∠EFC的平分线，交AC于点P，则∠EFP＝∠CFP＝∠FCP＝15°，∴PF＝PC．∠DFP＝∠DFE+∠EFP＝60°．∴PD＝，PC＝PF＝2FD＝8．∴PC+PD＝8+．∴不存在这样的位置，使得∠FCD＝15°．解法二：不存在这样的位置，使得∠FCD＝15°．假设∠FCD＝15°，设AD＝x．由∠FED＝45°，得∠EFC＝30°．作EH⊥FC，垂足为H．∴HE＝EF＝，CE＝AC－AD－DE＝8-x，且．∵∠FDC＝∠EHC＝90°，∠DCF为公共角，∴△CHE∽△CDF．∴．又，∴．整理后，得到方程．