2024年中考数学总复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数-知识讲解（提高）

2024年中考数学总复习：：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数--知识讲解（提高）【考纲要求】⒈结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想；⒉会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量之间的关系；⒊理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、平面直角坐标系

1.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点点P(x,y)在第一象限；点P(x,y)在第二象限；点P(x,y)在第三象限；点P(x,y)在第四象限；点P(x,y)在x轴上，x为任意实数；点P(x,y)在y轴上，y为任意实数；点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）.3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等；点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数.4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同.5.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征点P与点p′关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数；点P与点p′关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数；点P与点p′关于原点对称横、纵坐标均互为相反数.6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y轴的距离等于；（3）点P(x,y)到原点的距离等于.7.在平面直角坐标系内两点之间的距离公式如果直角坐标平面内有两点，那么A、B两点的距离为：.两种特殊情况：（1）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：（2）在直角坐标平面内，轴或平行于轴的直线上的两点的距离为：要点诠释：（1）注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限；（2）平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标.考点二、函数1.函数的概念设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.2.自变量的取值范围对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义.3．表示方法⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法.4．画函数图象（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.要点诠释：（1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；（2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义.考点三、几种基本函数（定义→图象→性质）1.正比例函数及其图象性质（1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数．（2）正比例函数y=kx（k≠0)的图象：过（0，0），（1，K）两点的一条直线．（3）正比例函数y=kx（k≠0)的性质①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小.2.一次函数及其图象性质（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数．（2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象（3）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象的性质一次函数y＝kx＋b的图象是经过(0，b)点和点的一条直线．①当k>0时，y随x的增大而增大；

②当k<0时，y随x的增大而减小．

(4)用函数观点看方程(组)与不等式①任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)，当y＝0时，求相应的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴交点的横坐标．②二元一次方程组对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标．③任何一元一次不等式都可以转化ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b为常数，a≠0)的形式，解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围．要点诠释：（1）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例；（2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k.确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.（3）直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0，k2≠0）的位置关系．①k1≠k2y1与y2相交；②y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；③y1与y2平行；④y1与y2重合.3.反比例函数及其图象性质（1）定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.三种形式：(k≠0)或(k≠0)或xy=k(k≠0).（2）反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1；②比例系数；③自变量的取值为一切非零实数；④函数的取值是一切非零实数.（3）反比例函数的图象①图象的画法：描点法列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）；描点（由小到大的顺序）；连线（从左到右光滑的曲线）.②反比例函数的图象是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是和）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）.④反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线（）上任意点引轴、轴的垂线，所得矩形面积为.（4）反比例函数性质：反比例函数k的符号k>0k<0图像性质①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y随x的增大而减小.①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内，y随x的增大而增大.（5）反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出）（6）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系.（7）反比例函数的应用反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数图像上任一点作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=.∴.(8)正比例函数和反比例函数的交点问题若正比例函数(≠0)，反比例函数，则当时，两函数图象无交点；当时，两函数图象有两个交点，坐标分别为(，)，(，)．由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．要点诠释：（1）用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）；（2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的解集.【典型例题】类型一、坐标平面有关的计算 1．已知：如图所示，

（1）写出△ABC三个顶点的坐标；

（2）作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标；

（3）作出△ABC关于y轴对称的△A″B″C″，并写出△A″B″C″三个顶点的坐标．【思路点拨】（1）直接根据图形写出△ABC三个顶点的坐标；（2）找到△ABC的各顶点关于x轴对称的对称点并顺次连接成图形；（3）找到△ABC的各顶点关于y轴对称的对称点并顺次连接成图形．【答案与解析】（1）△ABC三个顶点的坐标分别为：A（4，3），B（3，1），C（1，2）；

（2）所画图形如下所示，△A′B′C′即为所求，△A′B′C′三个顶点的坐标分别为：A′（4，-3），B′（3，-1），C′（1，-2）；

（3）所画图形如下所示，△A″B″C″即为所求，△A″B″C″三个顶点的坐标分别为：A″（-4，3），B″（-3，1），C″（-1，2）．

【总结升华】作轴对称图形找对称点是关键.举一反三：【变式】如图所示，△ABC的顶点坐标分别为A(-4，-3)，B(0，-3)，C(-2，1)，如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为()A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定【答案】选B．（点B的平移是关键，平移后AB＝CB1，两个三角形等底等高）．2．(1)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，B1(0，1)，B2(0，3)，B3(0，6)，B4(0，10)，…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，……如果所作正方形的对角线都在y轴上，且的长度依次增加1个单位，顶点都在第一象限内(n≥1，且n为整数)，那么A1的纵坐标为________，用n的代数式表示的纵坐标为_______；(2)若设的坐标为(x，y)，求y关于x的函数关系式．【思路点拨】作A1D⊥y轴于点D，可推出A1的纵坐标=B1D+B1O=1+1==2，A2的纵坐标==4.5，则An的纵坐标为．【答案与解析】(1)2，；(2)A1的横坐标等于，A2的横坐标等于，A3的横坐标等于，A4的横坐标等于，……∴的横坐标等于，纵坐标等于．∵，，∴，代入消去n+1，得．∴y关于x的解析式为，说明点A1，A2，A3，A4，…，都在抛物线上．如图所示．【总结升华】解决本题的关键是观察图形得到点的纵坐标的特点．类型二、一次函数3．（2015•泰州）已知一次函数y=2x﹣4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数的图象上，P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2．（1）当P为线段AB的中点时，求d1+d2的值；（2）直接写出d1+d2的范围，并求当d1+d2=3时点P的坐标；（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1+ad2=4（a为常数），求a的值．【思路点拨】（1）对于一次函数解析式，求出A与B的坐标，即可求出P为线段AB的中点时d1+d2的值；（2）根据题意确定出d1+d2的范围，设P（m，2m﹣4），表示出d1+d2，分类讨论m的范围，根据d1+d2=3求出m的值，即可确定出P的坐标；（3）设P（m，2m﹣4），表示出d1与d2，由P在线段上求出m的范围，利用绝对值的代数意义表示出d1与d2，代入d1+ad2=4，根据存在无数个点P求出a的值即可．【答案与解析】解：（1）对于一次函数y=2x﹣4，令x=0，得到y=﹣4；令y=0，得到x=2，∴A（2，0），B（0，﹣4），∵P为AB的中点，∴P（1，﹣2），则d1+d2=3；（2）①d1+d2≥2；②设P（m，2m﹣4），∴d1+d2=|m|+|2m﹣4|，当0≤m≤2时，d1+d2=m+4﹣2m=4﹣m=3，解得：m=1，此时P1（1，﹣2）；当m＞2时，d1+d2=m+2m﹣4=3，解得：m=，此时P2（，）；当m＜0时，不存在，综上，P的坐标为（1，﹣2）或（，）；（3）设P（m，2m﹣4），∴d1=|2m﹣4|，d2=|m|，∵P在线段AB上，∴0≤m≤2，∴d1=4﹣2m，d2=m，∵d1+ad2=4，∴4﹣2m+am=4，即（a﹣2）m=0，∵有无数个点，∴a=2．【总结升华】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，线段中点坐标公式，绝对值的代数意义，以及坐标与图形性质，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．举一反三：【变式】已知：如图所示，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，4)，直线CM∥x轴．点B与点A关于原点对称，直线y＝x+b(b为常数)经过点B，且与直线CM相交于点D，连接OD．(1)求b的值和点D的坐标．(2)设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标．【答案】(1)因为点B与点A关于原点对称，点A的坐标为(1，0)，所以点B的坐标为(-1，0)．因为直线y＝x+b(b为常数)经过点B，所以0＝-1+b，解得b＝1，所以直线为y＝x+1．因为点C的坐标为(0，4)，直线CM∥x轴，所以点D的纵坐标为4．因为直线y＝x+1与直线CM交于点D，当y＝4时，4＝x+1，解得x＝3，所以点D的坐标为(3，4)．(2)因为O为原点，点D的坐标为(3，4)，点C的坐标为(0，4)，所以OC＝4，CD＝3，所以OD＝5．因为点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，则分三种情况：①当PD＝PO时，有，因为，所以，解得．所以点P的坐标为(，0)．②当PD＝OD时，PO＝2CD＝6，所以点P的坐标为(6，0)．③当OD＝PO时，PO＝5，所以点P的坐标为(5，0)．类型三、反比例函数4．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．（1）求边AB的长；（2）求反比例函数的解析式和n的值；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．【思路点拨】（1）由点E的纵坐标得出OA=4，再根据tan∠BOA=即可求出AB的长度；（2）根据（1）求出点B的坐标，再根据点D是OB的中点求出点D的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式求出反比例函数解析式，再把点E的坐标代入进行计算即可求出n的值；（3）利用反比例函数解析式求出点F的坐标，从而得到CF的长度，连接FG，根据折叠的性质可得FG=OG，然后用OG表示出CG的长度，再利用勾股定理列式计算即可求出OG的长度.【答案与解析】解：（1）∵点E（4，n）在边AB上，∴OA=4，在Rt△AOB中，∵tan∠BOA=，∴AB=OA×tan∠BOA=4×=2.（2）由（1），可得点B的坐标为（4，2），∵点D为OB的中点，∴点D（2，1）.∵点D在反比例函数（k≠0）的图象上，∴，解得k=2.∴反比例函数解析式为.又∵点E（4，n）在反比例函数图象上，∴.（3）如图，设点F（a，2），∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，∴，解得a=1.∴CF=1.连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2﹣t，在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，即t2=（2﹣t）2+12，解得t=，∴OG=t=.【总结升华】本题综合考查了反比例函数的知识，包括待定系数法求函数解析式，点在函数图象上，锐角三角函数的定义，以及折叠的性质，求出点D的坐标，然后求出反比例函数解析式是解题的关键．举一反三：【高清课程名称：反比例函数高清ID号：408332关联的位置名称（播放点名称）：例5】【变式1】（2015•枣庄）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使kx+b＜成立的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．【答案】解：（1）∵点A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴m=1，n=2，即A（1，6），B（3，2）．又∵点A（m，6），B（3，n）两点在一次函数y=kx+b的图象上，∴．解得，则该一次函数的解析式为：y=﹣2x+8；（2）根据图象可知使kx+b＜成立的x的取值范围是0＜x＜1或x＞3；（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．令﹣2x+8=0，得x=4，即D（4，0）．∵A（1，6），B（3，2），∴AE=6，BC=2，∴S△AOB=S△AOD﹣S△BOD=×4×6﹣×4×2=8．【变式2】已知双曲线和直线相交于点和点，且.求的值.【答案】由得．∴．故．∴．∴或.又即，舍去，故所求的值为.类型四、函数综合应用5．如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和轴、轴分别交于点A和点B，且OA＝OB＝1.这条曲线是函数的图像在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（、），由点P向轴、轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F.（1）分别求出点E、F的坐标（用的代数式表示点E的坐标，用的代数式表示点F的坐标，只须写出结果，不要求写出计算过程）；（2）求△OEF的面积（结果用含、的代数式表示）；（3）△AOF与△BOE是否一定相似，请予以证明.如果不一定相似或一定不相似，简要说明理由；（4）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，大小始终保持不变的那个角的大小，并证明你的结论.【思路点拨】在证明三角形相似时，∠EBO＝∠OAF是较明显的，关键是证明两夹边对应成比例，这里用到了点P（，）在双曲线上这一重要条件，挖掘形的特征，并把形的因素转化为相应的代数式形式是解本题的关键.【答案与解析】（1）点E（，），点F（，）（2）＝＝（3）△AOF与△BOE一定相似，下面给出证明∵OA＝OB＝1∴∠FAO＝∠EBOBE＝AF＝∵点P（，）是曲线上一点∴，即AF·BE＝OB·OA＝1∴∴△AOF∽△BOE（4）当点P在曲线上移动时，△OEF中∠EOF一定等于45°，由（3）知，∠AFO＝∠BOE，于是由∠AFO＝∠B＋∠BOF及∠BOE＝∠BOF＋∠EOF∴∠EOF＝∠B＝45°.【总结升华】此题第（3）（4）问均为探索性问题，（4）以（3）为基础，在肯定（3）的结论后，（4）的解决就不难了.举一反三：【高清课程名称：平面直角坐标系与一次函数高清ID号：\o"查看资源信息"406069关联的位置名称（播放点名称）：例4-例5】【变式1】如图所示，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y＝-x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为()．A．(0，0)B．(,-)C．(，)D．(，)【答案】当AB与直线y＝-x垂直时，AB最短．(如图所示)∵直线y＝-x，∴∠AOB＝45°．∴△AOB是等腰直角三角形．过B作BC⊥x轴于C．∵A(1，0)，∴OA＝1，．∴此题选B．【变式2】在同一坐标系中，一次函数y＝(1-k)x+2k+l与反比例函数的图象没有交点，则常数k的取值范围是________．【答案】由题意知∴．∴两函数图象无交点，∴∴．6．如图所示，点A(m，m+1)，B(m+3，m-1)都在反比例函数的图象上．(1)求m、k的值；(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的解析式．【思路点拨】（1）直接把A、B两点的坐标代入解析式中就可以得到关于m的方程，解方程即可；

（2）存在两种情况：当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时和当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时．无论哪种情况都可以利用平移知识求出M、N的坐标，然后利用待定系数法确定直线MN的解析式；【答案与解析】(1)由题意可知m(m+1)＝(m+3)(m-1)．解得m＝3．∴A(3，4)，B(6，2)．∴k＝4×3＝12．(2)存在两种情况，如图所示．①当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时，设M1点坐标为(x1，0)，N1点坐标为(0，y1)．∵四边形AN1M1B为平行四边形，∴点A对应点N1，点B对应点M1．∵点A的横坐标为3，点B的纵坐标为2．∴线段N1M1可看做由线段AB向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的．∴N1点的坐标为(0，4-2)，即N1(0，2)；M1点的坐标为(6-3，0)，即M1(3，0)．设直线M1N1的函数表达式为y＝k1x+2，把x＝3，y＝0代入，解得．∴直线M1N1的函数表达式为．②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M2点坐标为(x2，0)，N2点坐标为(0，y2)．∵AB∥N1M1，AB∥M2N2，AB＝N1M1，AB＝M2N2，∴N1M1∥M2N2，N1M1＝M2N2．∴线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称．∴M1点坐标为(-3，0)，N2点坐标为(0，-2)．设直线M2N2的函数表达式为，把x＝-3，y＝0代入，解得．∴直线M2N2的函数表达式为．综上所述，直线MN的函数表达式为或．【总结升华】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用.中考总复习：全等三角形—巩固练习【巩固练习】一、选择题1．如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点画位置不同的三角形，使所画的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可画出().A.2个B.4个C.6个D.8个

2．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为AC的中点，AE⊥BD交BC于E，若∠BDE=，∠ADB的大小是（）．A．B．C．D．

3．如图，△ABC中，∠C为钝角，CF为AB上的中线，BE为AC上的高，若CF=BE，则∠ACF的大小是（）.A．45°B．60°C．30°D．不确定

4．如图，△ABC中，∠BAC=90°AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=2∠C，∠DAE的度数是().A.45°B.20°C.30°D.15°

5．（2014春•安岳县校级期中）如图，六边形ABCDEF中，每一个内角都是120°，AB=12，BC=30，CD=8，DE=28．求这个六边形的周长为（）A．125 B．126 C．116 D．1086.如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1＝∠2，AD＝AB，则（）.

A．∠1＝∠EFDB．BE＝ECC．BF＝DF＝CDD．FD∥BC

二、填空题7．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的。若∠1:∠2:∠3=28:5:3，则的度数为______.8．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到，交于点，若，则∠A=______.

9．如图，已知的周长是20，分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，

△ABC的面积是___________.

10．如图，直线AE∥BD，点C在BD上，且点C为BD中点，若AE＝4，BD＝8，△ABD的面积为16，则的面积为______．11．（2015•绥化）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，△OEF是正三角形，且AE=BF，则∠AOE=．12．将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位置是有理数，2008应排在A、B、C、D、E中的位置.峰n峰1峰2……峰n峰1峰2……三、解答题13.已知：如图，过△ABC的边BC的中点M作直线平行于∠BAC的平分线AD，而且交直线AB、AC于E、F.求证：

14.如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由.

15．如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？

16.（2015•营口）【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.2.【答案】C.【解析】作关于BC的对称图形，作的中点，连接，则容易证明，说明和AE在同一条直线上的线段，根据对称性交于E点，所以与DE在同一条直线上，容易证明．

所以．所以．3.【答案】C．【解析】延长CF到D，使CD=2CF，容易证明

△AFC≌△，所以∠D=∠FCA，所以AC∥BD，因为

CF=BE，所以CD=2BE，即AC与BD之间的距离等于CD的一半，

所以∠D=30°．所以内错角∠ACF=30°．4.【答案】D.5.【答案】C.【解析】如图，分别作直线AF、ED、BC的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．∴△PGH、△BGA、△DHC、△EFP都是等边三角形．∴GB=AB=AG=12，DH=CH=CD=8．∴GH=12+30+8=50，FE=PE=PH﹣ED﹣DH=50﹣28﹣8=14，AF=PG﹣PF﹣AG=50﹣14﹣12=24．∴六边形的周长为：24+12+30+8+28+14=116．故选：C．6.【答案】D.二、填空题7．【答案】80°.【解析】由三角形内角和是180°知∠1=140°，∠2=25°，∠3=15°,

由翻折知：∠ABE=∠2，∠ACD=∠3,∴．8．【答案】55°.【解析】由旋转知：,，

∵，∴55,∴55°.9．【答案】30.【解析】提示：面积法．10．【答案】8.11．【答案】15°.【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOB=90°．∵△OEF是正三角形，∴OE=OF，∠EOF=60°．在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（SSS），∴∠AOE=∠BOF，∴∠AOE=（∠AOB﹣∠EOF）÷2=（90°﹣60°）÷2=15°.故答案为15°．12．【答案】－29,B.三、解答题13.【答案与解析】证明：延长FM到G，使，连接

∵M为BC的中点，

∴△BMG≌△CMF∴∠G=∠2，CF=BG,

又∵平分，ME∥AD,

∴∠3=∠4，∠3=∠E，∠1=∠4，

∴∠1=∠E，即AE=AF,

∵∠1=∠2，∠G=∠2，∠1=∠E，

∴∠G=∠E，即BE=BG=CF,

∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+CF=BE+CF=2CF，即14.【答案与解析】猜测AE＝BD，AE⊥BD.

证明如下：

∵∠ACD＝∠BCE＝90°，

∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB.

∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，

∴AC＝CD，CE＝CB.

∴△ACE≌△DCB（SAS）

∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB.

∵∠AFC＝∠DFH，

∴∠DHF＝∠ACD＝90°，

∴AE⊥BD.15.【答案与解析】（1）①∵秒，

∴，

∵，点为的中点，

∴．

又∵，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴．

②∵，∴，

又∵，，则，

∴点，点运动的时间秒，

∴．

（2）设经过秒后点与点第一次相遇，

由题意，得，

解得．

∴点共运动了．

∵，

∴点、点在边上相遇，

∴经过秒点与点第一次在边上相遇.16.【答案与解析】解：（1）BD=CE．理由是：∵∠BAE=∠CAD，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD=CE；（2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC．∵∠ACD=∠ADC=45°，∴AC=AD，∠CAD=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD=CE．∵AE=AB=7，∴BE==7，∠AEC=∠AEB=45°，又∵∠ABC=45°，∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°，∴EC===，∴BD=CE=．（3）如图3，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，连接BE．∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，又∵∠ABC=45°，∴∠E=∠ABC=45°，∴AE=AB=7，BE==7，又∵∠ACD=∠ADC=45°，∴∠BAE=∠DAC=90°，∴∠BAE﹣∠BAC=∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD=CE，∵BC=3，∴BD=CE=7﹣3（cm）．中考总复习：全等三角形—知识讲解【考纲要求】1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3.善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，灵活选择适当的方法判定两个三角形全等.【知识网络】【考点梳理】考点一、基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.要点诠释：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).考点二、灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1.条件充足时直接应用判定定理要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2.条件不足，会增加条件用判定定理要点诠释：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3.条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理要点诠释：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．【典型例题】类型一、全等三角形1．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．

【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题．【答案与解析】证明：（1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，

∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠CAE=90°．

∴∠1=∠2,∵在△AQC和△PAB中，

∴△AQC≌△PAB．∴AP=AQ.

(2)∵AP=AQ，∠QAC=∠P，

∵∠PAD+∠P=90°，

∴∠PAD+∠QAC=90°，即∠PAQ=90°．

∴AP⊥AQ．【总结升华】在确定全等条件时，注意隐含条件的寻找.举一反三：【高清课堂：全等三角形例8】【变式】（2015•永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．【答案与解析】（1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．类型二、灵活运用定理2．如图，已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.【思路点拨】将所求的线段转移到同一个或相关联的三角形中进行求解．【答案与解析】证明：延长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF,在△BDE和△CDM中，∴△BDE≌△CDM（SAS）．∴BE=CM.又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠3＋∠2=90°，即∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDF＝90°．在△EDF和△MDF中∴△EDF≌△MDF（SAS）,∴EF＝MF（全等三角形对应边相等）,∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）,∴BE＋CF＞EF.【总结升华】当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中.举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证：AC=BF.【答案】证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，

∵D为BC中点，

∴BD=DC，

在△ADC和△HDB中

，

∴△ADC≌△HDB(SAS)，

∴AC=BH,∠H=∠HAC，

∵EA=EF，

∴∠HAE=∠AFE，

又∵∠BFH=∠AFE，

∴BH=BF，

∴BF=AC．3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，试判断AB-AD与CD-CB的大小关系，并证明你的结论．

【思路点拨】解答本题的关键是熟练运用三角形中大边对应大角的关系．【答案与解析】AB-AD＞CD-CB；证明：在AB上取一点E，使得AE=AD，连结CE．

∵AC平分∠BAD，

∴∠1=∠2．

∵在△ACE和△ACD中，

∴△ACE≌△ACD．

∴CD=CE．

∵在△BCE中，BE＞CE-CB，

即AB-AE＞CE-CB，

∴AB-AD＞CD-CB．【总结升华】本题也可以延长AD到E，使得AE=AB，连结CE．涉及几条线段的大小关系时，用“截长补短”法构造全等三角形是常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．【答案】证明：∵AB＞AC，在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．4．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．【思路点拨】在AC上取AF=AE，连接OF，即可证得△AEO≌△AFO，得∠AOE=∠AOF；再证得∠COF=∠COD，则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△FOC≌△DOC，可得DC=FC，即可得结论．【答案与解析】在AC上取AF=AE，连接OF，∵AD平分∠BAC、

∴∠EAO=∠FAO，

在△AEO与△AFO中，

∵

∴△AEO≌△AFO（SAS），

∴∠AOE=∠AOF；

∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，

∴∠ECA+∠DAC=（180°-∠B）=60°则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；

∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，（对顶角相等）

则∠COF=60°，

∴∠COD=∠COF，

又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，

∴△FOC≌△DOC（ASA），

∴DC=FC，

∵AC=AF+FC，

∴AC=AE+CD．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．类型三、综合运用5（2015•泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．【思路点拨】（1）由等边三角形的性质可写出结论．

（2）要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△ABC中分出一部分使得与△ACF的面积相等，则过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可．【答案与解析】证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED∥BC，ED=BC．∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，∴BF=DE．∴在△AED与△DFB中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；（2）设AC与FD交于点O．∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DEO+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．举一反三：【高清课堂：全等三角形例9】【变式】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE.下列结论中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有()．A．1个 B．2个 C．3个D．4个AABCDEFG【答案】D.6．如图，已知△ABC.（1）请你在BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外)，连结AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使(1)成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．【思路点拨】考查了三角形面积的求法，全等三角形的判定以及三角形三边的关系．本题（2）中通过构建全等三角形将已知和所求条件转化到相关的三角形中是解题的关键．【答案与解析】（1）令BD=CE≠DE,有△ABD和△ACE，△ABE和△ACD面积相等.（2）取DE的中点O，连结AO并延长到F点，使得FO=AO，连结EF，CF．

在△AD0和△FEO中，又∠AOD=∠FOE，DO=EO,

可证△ADO≌△FEO．

所以AD=FE．

因为BD=CE，DO=EO，

所以BO=CO.

同理可证△ABD≌△FCO，

所以AB=FC.

延长AE交CF于G点,

在△ACG中，AC+CG＞AE+EG，

在△EFG中，EG+FG＞EF,

可推得AC+CG+EG+FG＞AE+EG+EF,

即AC+CF＞AE+EF,

所以AB+AC＞AD+AE.【总结升华】正确构造全等和利用三角形的任意两边之和大于第三边的结论是关键.举一反三：【变式】在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE．

又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，

∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．

∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE．

又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，

∴△ADC≌△CEB．

∴CD=BE，AD=CE．

∴DE=AD-BE．（3）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE．

又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，

∴△ADC≌△CEB．

∴CD=BE，AD=CE．

∴DE=BE-AD．中考总复习：锐角三角函数综合复习—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题

1.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是()A．sinA＝B．tanA＝C．cosB＝D．tanB＝第1题第2题2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD的值为（） A． B．C． D．3．在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cosB=（）A．B． C．D．4．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，则tan∠CAD的值是（） A.2 B.C. D.第4题第6题5．（2015•大邑县校级模拟）一个物体从A点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B，AB=30米时，物体升高（）米． A．B．3C． D． 以上的答案都不对6．如图，已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（）A.sinA=cosA B.sinA＞cosAC.sinA＞tanA D.sinA＜cosA二、填空题7．若∠α的余角是30°，则cosα的值是.8．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.第8题第12题9．计算2sin30°﹣sin245°+tan30°的结果是.10．已知α是锐角，且sin(α+15°)=.计算的值为.11．（2015春•茅箭区月考）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为海里．（结果保留根号）12．如图，正方体的棱长为3