2024年中考数学总复习：四边形综合复习-知识讲解（提高）

2024中考总复习：四边形综合复习—知识讲解（提高）【考纲要求】1.探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念.

2.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.

3.探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件.

4.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件.

5.探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件.

6.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.【知识网络】【考点梳理】考点一、四边形的相关概念1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.

2.多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；

(2)推论：多边形的外角和是360°；

(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；

(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.3.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.

4.四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360°；(2)推论：四边形的外角和是360°.考点二、特殊的四边形1.平行四边形及特殊的平行四边形的性质2.平行四边形及特殊的平行四边形的判定【要点诠释】面积公式：S菱形=ab=ch.（a、b为菱形的对角线,c为菱形的边长，h为c边上的高）S平行四边形=ah.a为平行四边形的边，h为a上的高）考点三、梯形1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.

(2)不平行的两边叫做梯形的腰.

(3)梯形的四个角都叫做底角.

2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.

3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.

4.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等；(2)等腰梯形同一底上的两个底角相等.(3)等腰梯形的对角线相等.

5.等腰梯形的判定方法：

(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；

(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.

6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.

7.面积公式：S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).【要点诠释】解决四边形问题常用的方法（1）有些四边形问题可以转化为三角形问题来解决．（2）有些梯形的问题可以转化为三角形、平行四边形问题来解决．（3）有时也可以运用平移、轴对称来构造图形，解决四边形问题.考点四、平面图形1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.2.平面图形镶嵌的条件：

(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.

(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：

①n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.【典型例题】类型一、特殊的四边形1.如图所示，已知P、R分别是矩形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（） A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【思路点拨】此题的考点是矩形的性质；三角形中位线定理．【答案】C.【解析】点R固定不变，点P在BC上从B向C移动，在这个过程中△APR的AR边不变，EF是△APR的中位线，EF＝AR，所以EF的长不变．【总结升华】本题考查矩形的性质及三角形中位线定理，难度适中，根据中位线定理得出EF=AR是解题的突破口．2.（2015•绵阳模拟）正方形ABCD中，P为AB边上任一点，AE⊥DP于E，点F在DP的延长线上，且DE=EF，连接AF、BF，∠BAF的平分线交DF于G，连接GC．（1）求证：△AEG是等腰直角三角形；（2）求证：AG+CG=；（3）若AB=2，P为AB的中点，求BF的长．【思路点拨】（1）由条件可以得出∠AFD=∠PAE，再由直角三角形的性质两锐角互余及角平分线的性质就可以得出2∠GAP+2∠PAE=90°，从而求出结论；（2）如图2，作CH⊥DP，交DP于H点，可以得出△ADE≌△DCH根据全等三角形的性质就可以得出△GHC是等腰直角三角形，由其性质就可以得出CG=GH，AG=EG，再根据线段转化就看以得出结论；（3）如图3，延长DF，CB交于点K，根据正方形的性质可以得出△ADP≌△BKP，再由勾股定理就可以得出F是KG的中点，由三角形的中位线的性质就可以求出结论．【答案与解析】（1）证明：如图1，∵DE=EF，AE⊥DP，∴AF=AD，∴∠AFD=∠ADF，∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°，∴∠AFD=∠PAE，∵AG平分∠BAF，∴∠FAG=∠GAP．∵∠AFD+∠FAE=90°，∴∠AFD+∠PAE+∠FAP=90°∴2∠GAP+2∠PAE=90°，即∠GAE=45°，∴△AGE为等腰直角三角形；（2）证明：如图2，作CH⊥DP，交DP于H点，∴∠DHC=90°．∵AE⊥DP，∴∠AED=90°，∴∠AED=∠DHC．∵∠ADE+∠CDH=90°，∠CDH+∠DCH=90°，∴∠ADE=∠DCH．∵在△ADE和△DCH中，，∴△ADE≌△DCH（AAS），∴CH=DE，DH=AE=EG．∴EH+EG=EH+HD，即GH=ED，∴GH=CH．∴CG=GH．∵AG=EG，∴AG=DH，∴CG+AG=GH+HD，∴CG+AG=（GH+HD），即CG+AG=DG；（3）如图3，延长DF，CB交于点K，∵P是AB的中点，∴AP=BP=1．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠DAB=∠ABC=∠ABK=90°．∵在△ADP和△BKP中，∴△ADP≌△BKP（ASA），∴AD=KB=BC=2．在Rt△ADP中由勾股定理，得PD=，∴AE=PA•AD，∴AE=，DE=，∴EG=，DF=，∴FG=．在Rt△KCD中，由勾股定理，得KD=2，∴KF=，∴KF=FG，∵KB=BC，∴FB∥CG，BF=CG，∴BF=•CH=DE=．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，三角形的中位线的判定及性质的运用，解答时合理运用全等是重点，运用三角形的中位线的性质求解是难点．举一反三：【变式】如图，E是正方形ABCD外的一点，连接AE、BE、DE，且∠EBA=∠ADE，点F在DE上，连接AF，BE=DF．

（1）求证：△ADF≌△ABE；

（2）小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE=AE．请你说明理由．【答案】证明：（1）∵四边形正ABCD是正方形，∴AB=AD，

∵在△ADF和△ABE中，

，∴△ADF≌△ABE；

（2）理由如下：

由（1）有△ADF≌△ABE，

∴AF=AE，∠1=∠2，

在正方形ABCD中，∠BAD=90°，

∴∠BAF+∠3=90°，

∴∠BAF+∠4=90°，

∴∠EAF=90°，

∴△EAF是等腰直角三角形，

∴EF2=AE2+AF2，∴EF2=2AE2，

∴EF=AE，即DE-DF=AE，

∴DE-BE=AE．【高清课堂：四边形综合复习例2】3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，，CA=CD，E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E与点A、D不重合），且∠FEC=∠ACB，设DE=x，CF=y.（1）求AC和AD的长；（2）求y与x的函数关系式；（3）当△EFC为等腰三角形时，求x的值.【思路点拨】本题涉及到的考点有相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；直角梯形；锐角三角函数的定义．【答案与解析】（1）∵AD∥BC，∠B=90°，

∴∠ACB=∠CAD．

∴tan∠ACB=tan∠CAD=．

∴=．

∵AB=8，∴BC=6．则AC=10．

过点C作CH⊥AD于点H，

∴CH=AB=8，则AH=6．

∵CA=CD，∴AD=2AH=12．

（2）∵CA=CD，

∴∠CAD=∠D．

∵∠FEC=∠ACB，∠ACB=∠CAD，

∴∠FEC=∠D．

∵∠AEC=∠1+∠FEC=∠2+∠D，

∴∠1=∠2．

∴△AEF∽△DCE．

∴，即．

∴y=．（3）若△EFC为等腰三角形．

①当EC=EF时，此时△AEF≌△DCE，

∴AE=CD．

∵12-x=10，∴x=2．

②当FC=FE时，有∠FCE=∠FEC=∠CAE，

∴CE=AE=12-x．

在Rt△CHE中，由（12-x）2=（6-x）2+82，解得x=．

③当CE=CF时，有∠CFE=∠CEF=∠CAE，

此时点F与点A重合，故点E与点D也重合，不合题意，舍去．

综上，当△EFC为等腰三角形时，x=2或x=．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、直角梯形及锐角三角形函数的定义等知识；应用相似的性质，得到比例式，借助比例式解题是很重要的方法，做题时注意应用，对于等腰三角形问题要注意分类讨论也是比较重要的，注意掌握．举一反三：【变式】在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连结EF、EC、BF、CF.⑴判断四边形AECD的形状（不证明）；⑵在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明.⑶若CD＝2，求四边形BCFE的面积.【答案】（1）平行四边形；

（2）△BEF≌△CDF或（△AFB≌△EBC≌△EFC）

证明：连接DE，

∵AB=2CD，E为AB中点，

∴DC=EB，

又∵DC∥EB，

∴四边形BCDE是平行四边形，

∵AB⊥BC，

∴四边形BCDE为矩形，

∴∠AED=90°，∠CDE=∠BED=90°，BE=CD，

在Rt△AED中，∠A=60°，F为AD的中点，

∴AF=AD=EF，

∴△AEF为等边三角形，

∴∠DFE=180°-60°=120°，

∵EF=DF，

∴∠FDE=∠FED=30°．

∴∠CDF=∠BEF=120°，

在△BEF和△FDC中，，

∴△BEF≌△CDF（SAS）．

（3）若CD=2，则AD=4，

∵∠A=60°，

∴sin60°==，

∴DE=AD•=

∴DE=BC=，

∵四边形AECD为平行四边形，

∴S△ECF与S四边形AECD等底同高，

∴S△ECF=S四边形AECD=CD•DE=×2×=，

S△CBE=BE•BC=×2×=，

∴S四边形BCFE=S△ECF+S△EBC=+=．类型二、四边形与其他知识的综合运用4.有矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.（1）如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G，AF=，求DE的长；（2）如果折痕FG分别与CD、DA交于点F、G，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长.【思路点拨】（1）根据AF，AD的长可以求得DF的长，根据折叠知EF=AF，再根据勾股定理即可计算得到DE的长；

（2）根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，则折痕与AE的交点O即是其外接圆的圆心．设DE=x，根据三角形ADE的中位线定理求得OM=x，进一步表示出ON的长．根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径得到AE=2ON，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程求解．再根据直角三角形FOE相似于直角三角形ADE，求得OF的长，从而根据轴对称的性质得到FG=2OF．【答案与解析】（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=，∠D=90°．

根据轴对称的性质，得EF=AF=．

∴DF=AD-AF=．

在Rt△DEF中，DE=．

（2）设AE与FG的交点为O．

根据轴对称的性质，得AO=EO．

取AD的中点M，连接MO．

则MO=DE，MO∥DC．

设DE=x，则MO=x，

在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，

∴AE为△AED的外接圆的直径，O为圆心．延长MO交BC于点N，则ON∥CD．

∴∠CNM=180°-∠C=90°．

∴ON⊥BC，四边形MNCD是矩形．

∴MN=CD=AB=2．∴ON=MN-MO=2-x．

∵△AED的外接圆与BC相切，

∴ON是△AED的外接圆的半径．

∴OE=ON=2-x，AE=2ON=4-x．

在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，

∴12+x2=（4-x）2．

解这个方程，得x=．

∴DE=，OE=2-x=．

根据轴对称的性质，得AE⊥FG．

∴∠FOE=∠D=90°．可得FO=．

又AB∥CD，∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO．

∴△FEO≌△GAO．∴FO=GO．

∴FG=2FO=．

∴折痕FG的长是．【总结升华】本题通过矩形纸片折叠，利用轴对称图形的性质，在丰富的图形关系中，考查学生获取信息和利用所得信息认识新事物的能力，本题对图形折叠前后的不变量的把握、直线与圆位置关系的准确理解、方程思想的运用意识和策略等具有可再抽象性．【高清课堂：四边形综合复习例3】5．（2015•黄岛区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E．点P、Q同时出发，当点P到达点A时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t为何值时，DE∥AB？（2）求四边形BQPC的面积s与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使四边形BQPC的面积与Rt△ABC的面积比为13：15？若存在，求t的值．若不存在，请说明理由；（4）若DE经过点C，试求t的值．【思路点拨】（1）根据DE∥AB，得到△AQP∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例，求出t；（2）根据四边形BQPC的面积=△ABC的面积﹣△AQP的面积，列出关于x、y的函数关系式；（3）根据（2）中的函数关系式和面积比，求出t；（4）DE经过点C，作QH⊥BC于H，得到DH∥AC，用t表示出QH、EH，根据垂直平分线的性质和勾股定理列出关系式求出t．【答案与解析】解：（1）当DE∥AB时，∠AQP=90°，则△AQP∽△ACB，=，=，t=；（2）∠C=90°，AC=3，AB=5，根据勾股定理得，BC=4，S△ABC=×3×4=6，作QF⊥BC于F，则QF∥BC，=，即=，QF=t，S△AQP=×（3﹣t）×t=﹣t2+t，S=6﹣（﹣t2+t）=t2﹣t+6；（3）（t2﹣t+6）：6=13：15，整理得，t2﹣3t+2=0解得：t1=1，t2=3（舍去）；当t=1时，四边形BQPC的面积与Rt△ABC的面积比为13：15；（4）如图，DE经过点C，作QH⊥BC于H，∵DH∥AC，∴==，=，QH=，=，BH=，HC=t，∵DE垂直平分PQ，∴PC=CQ，（）2+（t）2=t2，90t=225，t=．【总结升华】本题考查的是相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意方程思想的正确运用．6.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转а度得到四边形OAB'C'，此时直线OA’、直线B’C’分别与直线BC相交于点P、Q.（1）四边形OABC的现状是，当а=90°时，BP：PQ的值是；（2）①如图，当四边形OA’B’C’的顶点B’落在y轴正半轴时，求BP：BQ的值；②如图，当四边形OA’B’C’的顶点B’落在直线BC上时，求△OPB'的面积；（3）在四边形OA’B’C’旋转过程中，当0＜а°≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=0.5BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】（1）根据有一个角是直角的平行四边形进行判断当α=90°时，就是长与宽的比；

（2）①利用相似三角形求得CP的比，就可求得BP，PQ的值；

②根据勾股定理求得PB′的长，再根据三角形的面积公式进行计算．【答案与解析】（1）四边形OA′B′C′的形状是矩形；根据题意即是矩形的长与宽的比，即

．

（2）①∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°，

∴△COP∽△A′OB′．

∴=，即

=，

∴CP=，BP=BC-CP=．

同理△B′CQ∽△B′C′O，

∴=，即

=，

∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11．

∴==；

②在△OCP和△B′A′P中，，

∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．

∴OP=B′P．设B′P=x，

在Rt△OCP中，（8-x）2+62=x2，解得x=．

∴S△OPB′=××6=；

（3）过点Q画QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC，

∵S△POQ=PQ•OC，S△POQ=OP•QH，

∴PQ=OP．

设BP=x，∵BP=BQ，

∴BQ=2x，

如图1，当点P在点B左侧时，

OP=PQ=BQ+BP=3x，

在Rt△PCO中，（8+x）2+62=（3x）2，

解得

x1=1+，x2=1-（不符实际，舍去）．

∴PC=BC+BP=9+，

∴P1（-9-，6）．

如图2，当点P在点B右侧时，

∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．

在Rt△PCO中，（8-x）2+62=x2，

解得x=．

∴PC=BC-BP=8-=，

∴P2（-，6），

综上可知，点P1（-9-，6），P2（-，6），使BP=BQ．【总结升华】本题考查了旋转的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．举一反三：【变式】如图，直角梯形ABCD中，，，且，过点D作，交的平分线于点E，连接BE．（1）求证：；（2）将绕点C，顺时针旋转得到，连接EG.．求证：CD垂直平分EG.（3）延长BE交CD于点P．求证：P是CD的中点．AADGECB【答案】（1）延长DE交BC于F，

∵AD∥BC，AB∥DF，

∴AD=BF，∠ABC=∠DFC．

在Rt△DCF中，

∵tan∠DFC=tan∠ABC=2，

∴，

即CD=2CF，

∵CD=2AD=2BF，

∴BF=CF，

∴BC=BF+CF=CD+CD=CD．即BC=CD．

（2）∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE=∠DCE，

由（1）知BC=CD，

∵CE=CE，

∴△BCE≌△DCE，

∴BE=DE，

由图形旋转的性质知CE=CG，BE=DG，

∴DE=DG，

∴C，D都在EG的垂直平分线上，

∴CD垂直平分EG．

（3）连接BD，

由（2）知BE=DE，

∴∠1=∠2．

∵AB∥DE，

∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．

∵AD∥BC，∴∠4=∠DBC．

由（1）知BC=CD，

∴∠DBC=∠BDC，∴∠4=∠BDP．

又∵BD=BD，∴△BAD≌△BPD，

∴DP=AD．

∵AD=CD，∴DP=CD．

∴P是CD的中点．中考总复习：特殊的四边形--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.（2014•天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（）A．3 B．4 C．6 D．82.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF面积为()．

A．4B．6C．8D．103．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，则PE+PF的值为()．A．

B．

C．2D．

第3题第4题4.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFGH为矩形，四边形应该具备的条件是（）.

A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等

C．对角线相互垂直D．对角线互相平分5.如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于（）.A.7B.5C.4D.3

第5题第6题6.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）.

A．15°B．18°C．36°D．54°二、填空题7.（2014春•西城区期末）直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE=．8.如图，菱形ABCD中，于E，于F，，则等于___________．9.正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=，CE=，P在BD上，则PE+PC的最小值可能为__________．10.如图，M为正方形ABCD中BC边的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形的面积为64，则△AEM的面积为____________．

11.如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是_______________.第10题第11题第12题12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=2，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为________．三、解答题13．如图1，图2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．

(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时：

①猜想DE与EF满足的数量关系是__________；

②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是__________；

③请证明你的上述两个猜想．

(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系．

14.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，

(1)求BC、AD的长度；

(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；

(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

15.（2015•青岛模拟）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．16.如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．【答案与解析】一．选择题1．【答案】C．【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可证△OEB≌△OFC，则EB=FC=3，AE=BF=4，EF==5.6．【答案】B.【解析】由题意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°.二．填空题7．【答案】3．【解析】如图，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分别为AB、AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC．又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：设AE=x=EM,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,从而算出面积.11.【答案】.【解析】连接PC．

∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；

又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，

∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，

即当CP⊥AB时，PC最小，

∵AC=4，BC=3，∴AB=5，

∴AC•BC=AB•PC，∴PC=．

∴线段EF长的最小值为；故答案是：．12．【答案】3+.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．三.综合题13．【解析】（1）①DE=EF；

②NE=BF；

③∵四边形ABCD为正方形，

∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，

∵N，E分别为AD，AB中点，

∴AN=DN=AD，AE=EB=AB，

∴DN=BE，AN=AE，

∵∠DEF=90°，

∴∠AED+∠FEB=90°，

又∵∠ADE+∠AED=90°，

∴∠FEB=∠ADE，

又∵AN=AE，

∴∠ANE=∠AEN，

又∵∠A=90°，

∴∠ANE=45°，

∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，

又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，

∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，

∴△DNE≌△EBF（ASA），

∴DE=EF，NE=BF．

（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），

连接NE，则点N可使得NE=BF．

此时DE=EF．

证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°,

∴∠DBC=30°,

∴BC=2CD=6cm.

由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,

∴∠ABC=∠C=60°,

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC=30°,

∴∠ABD=∠ADB,

∴AD=AB=3cm.

（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t,

∴PC=6-2t,

过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=t,

∴S梯形ABCD-S△PCQ=-（6-2t）t=（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.

（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5.

∵S梯形ABCD=，S△ABD=×3××3,

∴S△ABD=×S梯形ABCD,

∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的.

∴S△PCQ：S五边形ABPQD=1：5，

即S五边形ABPQD=S梯形ABCD

∴（2t2-6t+27）=×,

整理得：4t2-12t+9=0,

∴t=，即当t=秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，

它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x及5x-2y+z．

因矩形对边相等，

所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．

化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，

消去z得18x=49y．

因为18与49互质，

所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，

此时z=38．

以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，

得长、宽分别为593和422．

此时得最小面积值是593×422=250246．中考总复习：特殊的四边形--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.如图,E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值是()．

A．

B．

C．

D．

2．如图,在梯形ABCD中，

AB∥CD，中位线MN

=7,对角线AC⊥BD,∠BDC

=30°，则梯形的高为（）．A．

B．C．

D．

3.四边形ABCD的对角线AC=BD，且AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，得到四边形EFGH，则它是（）.A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形4如图，矩形ABCD中，其长为a，宽为b，如果，则的值为（）.

A．B．C．

D．

5.如图，在菱形ABCD中，，的垂直平分线FE交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF．则等于（）．A．

B．

C．D．

6.（2014•海南模拟）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；其中正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题7.如图，点E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH=AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为___________．

8.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O．下面结论正确的是_________．

①AC=BD；②∠DAO=∠DBC；③S△BOC=S梯形ABCD；④△AOB≌△DOC．

9.（2015春•伊春校级期末）如图，圆柱形玻璃杯，高为8cm，底面周长为12cm，在杯内离杯底2cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是．10.（2012•湖州）如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若=，则△ABC的边长是_________.11.（2012•咸宁）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当AD=2，BC=12时，四边形BGEF的周长为_________．12.如图，以菱形ABCD各边的中点为顶点作四边形A1B1C1D1，再以A1B1C1D1各边的中点为顶点作四边形A2B2C2D2，…，如此下去，得到四边形A2011B2011C2011D2011，若ABCD对角线长分别为a和b，请用含a、b的代数式表示四边形A2011B2011C2011D2011的周长_________________.

三、解答题13.（2015·邯郸校级月考）已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．

(1)当DG=2时，求△FCG的面积；

(2)设DG=，用含的代数式表示△FCG的面积；

(3)判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．14.在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．

（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为______；

（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；

（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为_______；位置关系为_________．

15．如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．

（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；

（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；

（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．

16.如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），∠OBA=90°，BC∥OA，OB=8，点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿BC向点C运动，点F从点O出发，以每秒2个单位长度沿OB向点B运动．现点E、F同时出发，当点F到达点B时，E、F两点同时停止运动．

（1）求梯形OABC的高BG的长；

（2）连接E、F并延长交OA于点D，当E点运动到几秒时，四边形ABED是等腰梯形；

（3）动点E、F是否会同时在某个反比例函数的图象上？如果会，请直接写出这时动点E、F运动的时间t的值；如果不会，请说明理由．【答案与解析】一.选择题1．【答案】A．2．【答案】B.3．【答案】A.4．【答案】A.【解析】由题意，，.5．【答案】D.6．【答案】B.【解析】在正方形ABCD中，∠PAE=∠MAE=45°，在△APE和△AME中，，∴△APE≌△AME（ASA），故①正确；∴AP=AM，∴△APM是等腰直角三角形，∴PM=AP，同理可得PN=PB，∴PM+PN=AB，又∵AC=AB，∴PM+PN=AC，故②正确；∵PM⊥AC，PN⊥BD，AC⊥BD，∴四边形PEOF是矩形，∴PF=OE，在Rt△POE中，PE2+OE2=PO2，∴PE2+PF2=PO2，故③正确；∵矩形PEOF不一定是正方形，∴△POF是不一定等腰直角三角形，∵∠OBC=45°，BF⊥FN，∴△BNF是等腰直角三角形，∴△POF与△BNF相似不一定成立，故④错误；综上所述，正确的结论有①②③共3个．故选B．二．填空题7．【答案】.【解析】把△APD旋转到△DCM，把△ABF旋转到△BCN，则多边形PFBNMD的面积被分成10份，阴影部分占4份.8．【答案】①②④.9．【答案】10cm.

【解析】如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，由题意可得出：A′D=6cm，CD=8cm，A′C==10（cm）．10.【答案】12.【解析】设正△ABC的边长为x，则高为x，S△ABC=x•x=x2，

∵所分成的都是正三角形，∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x-，较短的对角线为（x-）=x-1，

∴黑色菱形的面积=（x-）（x-1）=（x-2）2，

∴=，整理得，11x2-144x+144=0，

解得x1=（不符合题意，舍去），x2=12，所以，△ABC的边长是12．11.【答案】28.【解析】先根据EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G得出四边形BGEF是平行四边形，再由BE平分∠ABC且交CD于E可得出∠FBE=∠EBC，由EF∥BC可知，∠EBC=∠FEB，故∠FBE=FEB，由此可判断出四边形BGEF是菱形，再根据E为CD的中点，AD=2，BC=12求出EF的长，进而可得出结论．12．【答案】.【解析】结合图形，脚码为奇数时，四边形A2n-1B2n-1C2n-1D2n-1是矩形，长为

，宽为

；

脚码为偶数时，四边形A2nB2nC2nD2n是菱形，边长为

，

∴四边形A2010B2010C2010D2010是菱形，边长为

，

周长为

，即

．

∴四边形A2011B2011C2011D2011是矩形，长为，宽为，

∴四边形A2011B2011C2011D2011的周长为：2（+）=．故答案为：．三.综合题13．【解析】(1).

(2)作FM⊥DC，M为垂足，连结GE，

∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，

∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE．

∴∠AEH=∠MGF.

在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，

∴△AHE≌△MFG.

∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F的直线CD的距离始终为定值2.

因此

(3)若，由，得，此时在△DGH中，.

相应地，在△AHE中，，即点E已经不在边AB上.

故不可能有.14．【解析】（1）OE=OF（相等）；

（2）OE=OF，OE⊥OF；

证明：连接BO，

∵在正方形ABCD中，O为AC中点，

∴BO=CO，BO⊥AC，∠BCA=∠ABO=45°，

∵PF⊥BC，∠BCO=45°，

∴∠FPC=45°，PF=FC．

∵正方形ABCD，∠ABC=90°，

∵PF⊥BC，PE⊥AB，

∴∠PEB=∠PFB=90°．

∴四边形PEBF是矩形，

∴BE=PF．

∴BE=FC．

∴△OBE≌△OCF，

∴OE=OF，∠BOE=∠COF，

∵∠COF+∠BOF=90°，

∴∠BOE+∠BOF=90°，

∴∠EOF=90°，

∴OE⊥OF．

（3）OE=OF（相等），OE⊥OF（垂直）．15．【解析】（1）四边形EFGH是菱形．

（2）成立．理由：连接AD，BC．

∵∠APC=∠BPD，

∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD．

即∠APD=∠CPB．

又∵PA=PC，PD=PB，

∴△APD≌△CPB（SAS）∴AD=CB．

∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，

∴EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线．

∴EF=BC，FG=AD，GH=BC，EH=AD．

∴EF=FG=GH=EH．∴四边形EFGH是菱形．

（3）补全图形．

判断四边形EFGH是正方形．

理由：连接AD，BC．

∵（2）中已证△APD≌△CPB．

∴∠PAD=∠PCB．

∵∠APC=90°，

∴∠PAD+∠1=90°．

又∵∠1=∠2．

∴∠PCB+∠2=90°．

∴∠3=90°．

∵（2）中已证GH，EH分别是△BCD，△ACD的中位线，

∴GH∥BC，EH∥AD．

∴∠EHG=90°．

又∵（2）中已证四边形EFGH是菱形，

∴菱形EFGH是正方形.16.【解析】（1）根据题意，AB==6,

∵2S△AOB=AB•OB=AO•BG，∴BG===4.8；

（2）设当E点运动到x秒时，四边形ABED是等腰梯形，则BE=x，OF=2x，

∵BC∥OA，

∴=，即=，解得OD=，

过E作EH⊥OA于H，

∵四边形ABED是等腰梯形，

∴DH=AG=，HG=BE=x，

∴DH=10--x-3.6=3.6，解得x=；

（3）会同时在某个反比例函数的图象上．

根据题意，OG=AO-AG=10-3.6=6.4，

∴点E（6.4-t，4.8），

∵OF=2t，

∴2tcos∠AOB=2t×=t，2tsin∠AOB=2t×=t，

∴点F的坐标为（t，t）

假设能在同一反比例函数图象上，则t×t=（6.4-t）×4.8，

整理得：2t2+5t-32=0，

△=25-4×2×（-32）=281＞0，

∴方程有解，即E、F会同时在某一反比例函数图象上，此时，t=，

因此E、F会同时在某个反比例函数的图象上，t=．中考总复习：特殊的四边形-知识讲解（基础）【考纲要求】1.会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.中心、轴对称图形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；

（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；

（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；

（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）；

（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．

图1图2图3图4图5

【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．

性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．

（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．

（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．考点三、中点四边形相关问题中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；

若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；

若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用【高清课堂:多边形与特殊平行四边形例2】1.在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【答案与解析】（1）四边形EGFH是平行四边形；

证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，

∴点O是平行四边形ABCD的对称中心；

∴EO=FO，GO=HO；

∴四边形EGFH是平行四边形；

（2）菱形；（提示：菱形的对角线垂直平分）

（3）菱形；（提示：当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2））

（4）四边形EGFH是正方形；

证明：∵AC=BD，

∴平行四边形ABCD是矩形；

又∵AC⊥BD，

∴平行四边形ABCD是正方形，

∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；

∵EF⊥GH，

∴∠GOF=90°；

∴∠BOG=∠COF；

∴△BOG≌△COF（ASA）；

∴OG=OF，∴GH=EF；

由（3）知四边形EGFH是菱形，

又EF=GH，

∴四边形EGFH是正方形．【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．2．动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二）．

（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？

（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？

【思路点拨】（1）、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可．

（2）、按照图形用面积公式计算S=30和S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大．【答案与解析】（1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形，

小明的理由：∵ABCD是矩形，

∴AD∥BC，则∠DAC=∠ACB，

又∵∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB，

∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB，

∴AE=EC=CF=FA，

∴四边形AECF是菱形．

（2）方案一：

S菱形=S矩形-4S△AEH=12×5-4××6×=30（cm）2，

方案二：

设BE=x，则CE=12-x，

∴AE==

由AECF是菱形，则AE2=CE2∴x2+25=（12-x）2，

∴x=，

S菱形=S矩形-2S△ABE=12×5-2××5×≈35.21（cm）2，

比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大．【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较．举一反三：【高清课堂:多边形与特殊平行四边形例6】【变式】如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）.A.B．C．4

D．5【答案】A.类型二、梯形的应用3.（2014•黄州区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA至D，使AD=AB，点E、F分别是边BC、AC的中点．（1）判断四边形DBEF的形状并证明；（2）过点A作AG∥BC交DF于G，求证：AG=DG．【思路点拨】（1）利用梯形的判定首先得出四边形DBEF为梯形，进而得出四边形HFEB是平行四边形，得出BE=FD进而得出答案；（2）利用四边形DBEF为等腰梯形，得出∠B=∠D，利用AG∥BG，∠B=∠DAG，得出答案．【答案与解析】（1）解：四边形DBEF为等腰梯形，理由如下：如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，∴AH=BH=AB，EF∥AB，显然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD，∴四边形DBEF为梯形，∵AD=AB，∴AD=AH，∵CA⊥AB，∴CA是DH的中垂线，∴DF=FH，∵FH∥BC，EF∥AB，∴四边形HFEB是平行四边形，∴FH=BE，∴BE=FD，故四边形DBEF为等腰梯形；（2）证明：∵四边形DBEF为等腰梯形，∴∠B=∠D，∵AG∥BG，∠B=∠DAG，∴∠D=∠DAG，∴AG=DG．【总结升华】此题主要考查了等腰梯形的判定以及其性质和平行四边形的判定与性质等知识，得出BE=FD是解题关键．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（）.A.B.C.2.5D.2.3【答案】D.类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用4.（2015•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据