高三数学一轮复习讲义椭圆教师

课题：椭圆知识点一、椭圆的第一定义1.文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．2.代数式形式：集合知识点二、椭圆的第二定义1.若动点P(x,y)和定点F(c,0)的距离与它到定直线:的距离的比是常数(0<c<a),则动点P的轨迹是椭圆.2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，3.椭圆的标准方程及其几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)准线a，b，c的关系c2＝a2－b24.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系．5．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或．【典型例题】【例1】椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由椭圆，可得，，则，

∵，，∴，，则椭圆的离心率为，故选C.【例2】椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，离心率为，则该椭圆的方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：由题意，设椭圆的标准方程为；则，解得，即椭圆的标准方程为．【例3】已知,是椭圆的两焦点，过的直线交椭圆于,，若的△周长为8，则椭圆方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根据椭圆的定义有：周长为，又，焦点在轴上，故椭圆的方程为.故选A.【例4】如果椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离为（）A．10B．6C.12D．14【答案】D试题分析：由椭圆的定义知，∵，∴．故选：D.【例5】已知椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（）A．B．C.D．【答案】C试题分析：设焦距为，则有，解得，所以椭圆【例6】、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且∠，则Δ的面积为（）A.B.C.D.【答案】C试题分析：由题：，则：又：，∠,可得；，解得；，则：．【举一反三】1．椭圆的长轴长为（）A．2B．4C．3D．6【答案】D试题分析：由椭圆的标准方程可知，该椭圆的焦点在轴上，并且长半轴的长是，从而可知椭圆的长轴长为，故选D.2．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A试题分析：由椭圆方程可知3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为,离心率等于,则C的方程是（）A.B.C.D.【答案】D试题分析：由题意可知，所以椭圆方程为4．直线过椭圆左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C试题分析：直线与坐标轴的交点为.所以.所以椭圆中.,.所以椭圆的离心率.故C正确.5．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（）A.B.C.D.【答案】C试题分析：，焦点为，由两点间距离公式可知点到的距离之和为，所以椭圆方程为6．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵椭圆，∴，，∵，，∴，∴.故选D.【课堂巩固】1．短轴长等于8，离心率等于的椭圆的标准方程为（）A．B．或C．D．或【答案】D试题分析：，，，解得，，若焦点在轴，那么方程是，若焦点在轴，那么方程是，故选D.2．过点的直线与椭圆交于两点,且点平分弦,则直线的方程为()A.B.C.D.【答案】B解析：设，则由题设可得，，即，故由直线的点斜式方程可得，即，应选答案B。3.已知两点、，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是(）A.B.C.D.【答案】C试题分析：由题意可知，所以点P的轨迹为椭圆，其中，所以方程为4.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B试题分析：如图，在椭圆中，，在中，，且，代入解得，所以椭圆的离心率为，故选B.5．设椭圆()的左、右焦点分别为，，是上的点，，，则的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D试题分析：由题意得，设，因为，，所以，又，所以，所以椭圆的离心率为，故选D．6．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且经过点A（2，0），则椭圆的标准方程为（）A．B．C．或D．或【答案】D试题分析：①若a＝2，则b＝1，此时方程为；②若b＝2，则a＝4，此时方程为,故选D．7．定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆的焦距为，焦点三角形的周长为，则椭圆的方程是__________．【答案】【解析】设椭圆的半焦距为，由题意得，，所以，故椭圆的方程是.8．椭圆的中心在坐标原点，左、右焦点在轴上，已知分别是椭圆的上顶点和右顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率为_____.【答案】【解析】由于轴，所以点坐标为，由两直线平行斜率相等得，化简得，故离心率为.9．已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为，则的方程为__________．【答案】试题分析：由题意得椭圆的离心率为，所以，又因为过的直线交于两点，若的周长为，根据椭圆的定义可知，周长，即，即，所以，又由，所以椭圆的方程为．10．已知椭圆上的点到左焦点的距离为3，为的中点，为坐标原点，则__________.【答案】试题分析：因为椭圆的实轴长为，所以，由椭圆的定义得，而是的中位线，所以.11．已知椭圆：的左焦点为，点是椭圆上一点，点是的中点，是椭圆的中心，，则点到椭圆的左准线的距离为．【答案】试题分析:设右焦点为,则由椭圆的定义,依据题设可得,即,,所以,由椭圆的第二定义可得,故,应填答案.12．已知椭圆的两个焦点是，点在该椭圆上，若，则的面积是____________．【答案】试题分析：由题意，又，∴，，而，∴，．【课后练习】正确率：________1．焦点为，，长轴长为10的椭圆的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】B根据题意知：所以有，且焦点在轴，故方程为，选B.2．已知椭圆上的一点到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点到椭圆的另一个焦点的距离等于（）A．2B．4C．6D．8【答案】B试题分析：由椭圆方程可知，由椭圆定义可知点到椭圆的另一个焦点的距离等于84=43．若椭圆的离心率为，则（）A．3B．C．D．2【答案】D试题分析：由椭圆的离心率为，即，所以，所以，故选D．4．若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线离心率为()A.B．5C.D．2【答案】A试题分析：本题已知：焦点坐标，渐近线方程为：,距离为：化简得：，又：，得：5．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．2B．6C．4D．12【答案】C【解析】试题分析：如图，设椭圆的另外一个焦点为，则．6．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【答案】B试题分析：由题意可知，解方程组得，所以方程为7．已知椭圆的长轴在x轴，短轴的一个端点和两个焦点的连线构成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为，则椭圆的方程为.【答案】【解析】试题分析：设椭圆方程为，由题意，，则，，，椭圆标准方程为．8．已知圆经过椭圆D（）的右焦点和上顶点，则椭圆D的离心率为．【答案】试题分析：在方程中，令得．令，得．据题意得所以．9．已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是【答案】或．解：由题意知，2a=8，∴a=4，又，∴c=3，则b2=a2﹣c2=7．当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆方程为；当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆方程为．故答案为：或．10．若不等式x2﹣ax+b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则椭圆+=1的离心率为．【答案】解：不等式x2﹣ax+b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，可得1，2为方程x2﹣ax+b=0的解，即有1+2=a，1×2=b，即a=3，b=2，c==，则离心率e==．故答案为：．11．已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为，离心率为．【答案】试题分析：一个焦点为F（﹣2，0），短轴的一个顶点为F（0，1），可得c=2，b=1，故a=，从而得到椭圆的方程为．解：直线x﹣2y+2=0与x轴的交点为A（﹣2，0），与y轴的交点B（0，1），故椭圆的一个焦点为F（﹣2，0），短轴的一个顶点为F（0，1），故在椭圆中，c=2，b=1，∴a=，故这个椭圆的方程为，故答案为．12．中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆经过点，椭圆的两个焦点分别为F1、F2，若，则椭圆的方程为________．【答案】试题分析：设，由得，，设椭圆方程为，则，解得，所以椭圆方程为．