新教材高中数学第八章立体几何初步8.3第1课时柱体锥体台体的表面积与体积课件

简单几何体的表面积与体积第1课时

柱体、锥体、台体的表面积与体积课标定位素养阐释1.理解柱体、锥体、台体的表面积与体积公式的推导过程.2.掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积公式,并能够运用公式解决简单的实际问题.3.用类比、联系的运动变化思想推导公式,感受数学运算与几何直观的过程,感受柱体、锥体、台体的表面积与体积公式在生产活动中的运用.自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析随

堂

练

习

自主预习·新知导学一、圆柱、圆锥的表面积【问题思考】1.如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征,求它们的表面积?提示:它们的表面积等于侧面积与底面积的和,利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积,由于底面是圆面,其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中,圆柱的侧面展开图是矩形,圆锥的侧面展开图是扇形.2.填空:(1)多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.(2)圆柱的表面积:S=2πrl+2πr2(r是底面半径,l是母线长).(3)圆锥的表面积:S=πrl+πr2(r是底面半径,l是母线长).3.做一做:(1)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于(

)A.ππππ(2)若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆,则圆锥的底面半径是

.

解析:(1)设圆柱的底面半径为r,则圆柱的母线长为2r,由题意得S圆柱侧=2πr×2r=4πr2=4π,所以r=1,所以V圆柱=πr2×2r=2πr3=2π.(2)易知圆锥的母线长为2,设圆锥底面的半径为r,答案:(1)B

(2)1二、圆台的表面积【问题思考】1.圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系?2.填空:圆台的表面积:S=π(r'2+r2+r'l+rl)

(r',r分别是上、下底的半径,l是母线长).

3.做一做:圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°,求圆台的表面积.解:如图所示,设圆台的上底面周长为c

cm,由于扇环的圆心角是180°,故c=π·SA=2π×10,解得SA=20(cm).同理可得SB=40(cm),所以AB=SB-SA=20(cm).即S表=S侧+S上+S下=π×(10+20)×20+π×102+π×202=1

100π(cm2).三、柱体、锥体、台体的体积【问题思考】1.比较柱体、锥体、台体的体积公式,你能发现三者之间的关系吗?柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体?其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式?提示:柱体可以看作是上、下底面相同的台体,锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S'=0时,台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S'=S时,台体的体积公式变为柱体的体积公式,因此,柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.3.做一做:一个水平放置的圆台形容器如图所示,上、下底面半径分别为2dm,4dm,高为5dm,现以3dm3/s的速度往容器里面注水,当水面的高度为3dm时,求所用的注水时间.(精确到0.01s)解:如图,作AG⊥BC于点G,交EF于点H.设水面的半径为r

dm,则EH=r-2(dm),BG=2

dm,在△ABG中,∵EH∥BG,【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)若长方体的长、宽、高分别为3cm,4cm,5cm,则长方体的体对角线为6cm.(

×

)(2)锥体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高).(

×

)(3)圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台,圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台.(

√

)

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三探究一

柱体、锥体的表面积【例1】

已知△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积.解:如图,在△ABC中,过点C作CD⊥AB,垂足为点D.由AC=3,BC=4,AB=5,知AC2+BC2=AB2,则AC⊥BC.由BC·AC=AB·CD,求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式,对于与旋转体有关的组合体问题,要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长,再分别代入公式求解.【变式训练1】

已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为r,圆柱的侧面积为S,求圆锥的侧面积.探究二

柱体、锥体的体积【例2】

如图所示,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是

.

对于柱体、锥体的体积公式的认识(1)等底、等高的两个柱体的体积相同.(2)等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.【变式训练2】

已知三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OC=1,OA=x,OB=y,且x+y=4,则三棱锥体积的最大值是

.探究三

台体的体积【例3】

已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积.解:如图所示,在三棱台ABC-A'B'C'中,点O',O分别为上、下底面的中心,点D,D'分别是BC,B'C'的中心,则DD'是等腰梯形BCC'B'的高,本例换成圆台背景,已知圆台的高为3,在轴截面中,母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°,轴截面中的一条对角线垂直于腰,如何求圆台的体积?解:如图所示,作轴截面A1ABB1,设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r,R,l,高为h.作A1D⊥AB于点D,则A1D=3.求几何体的体积时,要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时),准确求出几何体的高和底面积;同时,对不规则的几何体可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台体的体积计算问题.易

错

辨

析体积公式识记不全致误【典例】

如图所示,一个底面直径为20cm的圆柱形玻璃杯装有一些水,水中放着一个底面直径为6cm,高为20cm的圆锥体铅锤,当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降几厘米?错解:圆锥形铅锤的体积为设水面下降的高度为xcm,则小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x=100πx(cm3).所以有180π=100πx,解此方程得x=1.8.答:铅锤取出后,杯中水面下降了1.8cm.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:记忆锥体、台体的体积公式,应注意防漏乘以正解:由题目得圆锥形铅锤的体积为设水面下降的高度为xcm,则小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x=100πx(cm3).故有下列方程60π=100πx,解此方程得x=0.6(cm).即铅锤取出后,杯中水面下降了0.6cm.锥体、台体的体积容易漏乘

,解决此类问题一定要把锥体、台体的体积公式识记全面并且与柱体有所区别.【变式训练】

如图,ABC-A'B'C'是体积为1的棱柱,则四棱锥C-AA'B'B的体积是(

)答案:C随

堂

练

习1.若圆锥的高等于其底面直径,则它的底面积与侧面积之比为(

)答案:C2.若圆柱的高扩大为原来的4倍,底面半径不变,则圆柱的体积扩大为原来的

倍;若圆柱的高不变,底面半径扩大为原来的4倍