考点37直线与圆的方程（解析版）

【2022版】典型高考数学试题解读与变式

考点37直线与圆的方程

【考纲要求】

1.直线与方程

（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；

（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；

（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；

（4）掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截

式与一次函数的关系；

（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；

（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

2.圆与方程

（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；。

（2）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;

（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；

（4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

【命题规律】

从近三年的高考试题来看，该部分主要考查热点及题型如下：（1）两条直线的平行与垂直、点到直线的距

离、两点间距离是命题的热点，对于距离问题常常多融入到解答题中进行考查；（2）求圆的方程或已知圆

的方程求圆心坐标、半径是高考热点，多与直线相结合命题，着重考查待定系数法求圆的方程；（3）直线

与圆的位置关系，特别是直线与圆相切一直是高考考查的重点和热点.

预计2022年的高考将会继续保持稳定，主要还是会从直线与圆的位置关系、弦长、圆与圆的位置关系三个

热点进行考查，体现等价转化的思想、数形结合思想的应用，难度中等偏易.

【典型高考试题变式】

（一）两条直线的位置关系

例1.（2016高考上海文理）已知平行直线4：2x+y—l=0,/2：2x+y+l=0,则八。的距离

2A/5

【答案】

亏

［解析】利用两平行线间距离公式得d==ITT=也.

Va2+b2V22+l25

考点：两平行线间距离公式.

【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为

容易，主要考查考生的基本运算能力.

【变式1】【变为两个方程中同时含有参数】若直线〃式一（〃，+2）>+2=0与3x—阳—1=0互相垂直，则

点（加,1）到丫轴的距离为.

【答案】0或5

【解析】试题分析：当加=0时，-（冽+2）y+2=-2y+2=0,即1y=1,3x-wv-l=3x-l=0,

即x=：,此时两直线垂直，点（次1）到>,轴的距离为0;当wh0时,由题意有丝三?=T,解得a=5,

3m3

点（见1）到y轴的距离为5.

【变式2】【变垂直与平行同时出现在试题中】已知过点和点B（〃7,4）的直线为4,直线

2x+y-1=0为"，直线x+纱+1=0为。，若（/〃2，4-1-4-则实数〃2+”的值为.

【答案】-10

4—m4—m

［解析岫题意可得,直线为4的斜率为——-,直线4的斜率为-2,且4///,A-------=-2,求得加二-8.由

m+22m+2

于直线4的斜率为—，~L4，•*,—2x（—）=—1,求得〃=—2,・.・〃=—10.

nn

（二）直线与圆的位置关系的判断

【例2】【2020年高考江苏卷14］在平面直角坐标系X。），中，已知「（第,0）,A、B是圆C：

f+（y-g）2=36上的两个动点，满足PA=PB,则好山？面积的最大值是.

【答案】1075

［解析】如图，作PC所在直径EF,交AB于点。，则:

PA-PB，CA=CB=R=6,PCJ_AB,EF为垂径.

要使面积S"AB最大，则P、。位于C两侧，并设CD=x,

计算可知PC=1，故PD=T+x,AB=2BD=2j36-d，

故S"AB=^ABPD=(1+x)亚瓦x2,令x=6cos6,

S"AB=(1+x),36-Y=(1+6cos8)•6sin，=6sin，+18sin2。，0<^<^,

记函数/(。)=6sin8+18sin28,则f\0)=6cos04-36cos2^=6(12cos20+cos0-6),

23

令/'(。)=6(12cos204-cos-6)=0,解得cosg=—(cos^=--<0舍去)

2

显然，当OWcosOV］时，/W<0,/⑹单调递减；

2

当耳<cos6<l时，尸(6)>。，/(。)单调递增；

结合cos。在(0,^)递减，故cos6=：时f(0)最大，此时sin6=Jl—COS2=@，故

233

/(6»)niax=6x^+36x^x|=10A/5，即APAB面积的最大值是106.

(注：实际上可设48=8,利用直角A8CD可更快速计算得出该面积表达式)

［方法技巧归纳】判断直线与圆的位置关系的常用方法：

（1）若易求出圆心到直线的距离，则用几何法，利用d与/•的关系判断.

（2）若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较复杂，则用代数法，联立方程后利用/判断，能

用几何法求解的，尽量不用代数法.

【变式I】【由例题变为根据交点个数求解参数问题，且与常用逻辑用语交汇】直线x-y+〃2=0与圆

犬+/一2x-l=0有两个不同交点的一个必要不充分条件是（）

A.0<m<1B.-4<m<0C.m<lD.-3<m<1

【答案】c

x-v4-w=01,、

【解析】联立直线与圆的方程得：V2、，消去y得:2/+2加一2卜+苏0—1=0,根据题意

-2x-l=0

得：A=（2m_2）2_8（m2T）=_4（m+i）2+i6>o变形得（加+3）（加―1）<0,计算得出：-3<W2<L

因为0<%<1是-的一个真子集，所以直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是

0<w<1.故选C.

7T

【变式2】【变例题与三角函数交汇】圆2/+2;/=1与直线邓由。+丁一1=。（0&R,0^-+k7r,

keZ）的位置关系是（横线内容从“相交、相切、相离、不确定”中选填）.

【答案】相离

【解析】把圆的方程化为标准方程得：炉+2圆心坐标为0,0）；半径—=也，乂OeR,

22

+左eZ,.•.圆心到直线xsinO+y-l=O的距离d=/1>—=r,则直线与圆的位置

2Vl+sin2^2

关系为相■■离.

（三）两条直线相交问题

【例3】【2014四川卷】设me/?,过定点A的动直线x+中y=0和过定点6的动直线小一丁一加+3=0交

于点P（x,y）,贝U|PA|+1|的取值范围是（）

A.[75,275]B.[710,2751C.[710,475]D.[2后,4石]

【答案】B

【解析】由条件，得40,0）,5（13）.由x+/y=O与.一），一次+3=0消去也，得动点尸的轨迹方程

1.3、V

为（X-5）2+。-3）2=不，易知。B为圆的一条直径，如图所示，由图可知尸X_L网，所以

|PJ|2+|P5|2=|.1B|2=1O.因为\PA^\PB^>2\PA\\PB\,所以

2ii

（\PA\+\PB\）<2（\PA\+\PB\'）=20,所以|尸X|+|产3区2代.又|尸Z|+|如闫六|=W（两

点之间线段最短），综上知1尸图+|尸8］的取值范围是［撷:/］,故选B.

【方法技巧归纳】解答直线与其它知识的综合题，必须清楚明白两类知识的交汇点在什么地方，涉及到这

两类知识哪些知识点，再联想处理这两类知识所涉及到的数学思想方法，然后将问题进行不断的深入解决.

【变式1】【变为根据两直线交点位置求参数】若直线4：丫=丘+1与/2"-尸1=0的交点在第一象限内，则

%的取值范围是（）

A.k>\B.-1<Z:<1C.A<-1或1>1D.k<—\

【答案】B

22八

「71X-----——>0

V=KX+11-k

【解析】联立直线方程《，八，解得<:,I•直线的交点在第一象限，，\-k

x-y-l=01+Z

V=----

1IU-k

解不等式组可得

【变式2】【变两直线相交为三直线相交】若三条直线y=2x,x+y=3,zm:+〃y+5=0相交于同一点，则

点（加,〃）到原点的距离的最小值为（）

A.V5B.76C.2百D.2A/5

【答案】A

y=2x

【解析】联立｛°,解得％=1，y=2.把（1,2）代入，/nx+肛+5=0可得：m+2n+5=0,，

x+y=3

m--5-2n.二点（〃?,〃）到原点的距离d=4m2+if=J（5++川=*（“+2了+5..6.当

〃=一2,〃?=—1时，取等号....点（根,〃）到原点的距离的最小值为布，故选A.

（四）距离公式的应用

【例4】（1）（2020年高考全国HI卷文数8）点（0,-1）到直线y=A;（x+l）距离的最大值为（）

A.1B.V2C.73D.2

【答案】B

【思路导引】首先根据直线方程判断出直线过定点尸(—1,0)，设A(0,—1),当直线>=依次+1)与”垂直

时，点A到直线y=-x+i)距离最大，即可求得结果.

【解析】由y=-x+l)可知直线过定点尸(一1,0),设4(),一1),

当直线y=-x+l)与A尸垂直时，点A到直线y=k(x+l)距离最大，即为|AP|=J5.

故选:B.

【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了点到直线距离公式，考查数学运算学科素养.解题关键

是熟记公式.

(2)(2018年北京卷理)在平面直角坐标系中，记d为点P(COS0,sinO)到直线x-my-2=0的距离，当

仇m变化时，d的最大值为

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】分析：P为单位圆上一点，而直线4-my-2=0过点A(2,0),则根据几何意义得d的最大值

为OA+L

详解：cos20+sin20=l,P为单位圆上一点，而直名奴-my-2=。过点A(2,0),所以d的最大

值为OAT=2+1=3,选C.

(3)(2016上海卷)已知平行直线4:2x+y—l=0,，2：2x+y+l=0,则4与4的距离是.

【答案】正

5

【解析】利用两平行线间的距离公式得d=。.一°」=丁一"=—.

【方法技巧归纳】利用点到直线的距离公式时，一定要注意将直线方程化为一般式，同时代点的坐标时注

意准确性；确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数必须相同.

【变式1】【变求直线中参数为求点中参数】点〃(2,m)到直线/:5x-12y+6=0的距离为4,则加=

5、17

A.1B.-3C.1或一D.-3或一

33

【答案】D

10-⑵+616-⑵

【解析】由点到直线的距离公式得4=f——71=1।解得人=一或左=一3,故选D.

V52+122133

【变式2】【变为求含有参数的两条平行间的距离】若直线4：x-2y+l=0与直线4：x+ay-l=0平行,

则4与4的距离为（）

A6口2行「1口2

5555

【答案】B

【解析】由两直线平行的等价条件可得\=--^>a=-2,在直线4：x-2y+l=o上取点尸（-L0）,

2a

由于点尸（-L0）到直线4：x+4-l=0的距离d=匚巴=里即为两平行线之间的距离，故选B.

（五）直线与圆相交的弦长问题

【例5】（2021年高考北京卷9）已知圆。：/+丁=4,直线/：y="+〃?，则当我的值发生变化时，直

线被圆C所截的弦长的最小值为1，则加的取值为（）

A.±2B.+72C.土百D.±3

【答案】C

【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出加.

【解析】由题可得圆心为（0,0），半径为2,则圆心到直线的距离d=7詈I，则弦长为2,4—

则当％=0时，弦长取得最小值为254-/〃2=2,解得机=土百，故选C.

【方法技巧归纳】（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，如圆的半径r、弦长/、圆心到弦的距离。

之间的关系：产=屋+上在求圆的方程时常常用到；（2）处理圆的切线问题时，一般通过圆心到直线

的距离等于半径建立关系式解决问题.

【变式1】【变为只有直线方程中含有参数】已知直线/:近一y+2k—l=0与圆》2+y2=6交于A8两点,

若|AB|=2夜，则左=（）

【答案】A

【解析】设圆心到直线/的距离为d，由|AB|=2四,可得/一[2=2，;.d=2,即^^=2,解得

42+1

3

k=---，故选A.

4

【变式2】【变求参为求直线方程】过点P（3,6）且被圆/+,2=25截得弦长为8的直线的一般方程是

【答案】x=3或3x-4y+15=0

【解析】圆心（08），/=5.圆心到弦的距离』5?-（；）2=3.若直线斜率不存在，则垂直x轴

x=3,圆心到直线距离=0-3=3,成立.若斜率存在，设为：）'-6=左（x-3）即：Ax-y-3k+6=0

1|0-0-3*+6|3

则圆心到直线距离―八।=3,解得左二彳,综上：％=3或3x—4y+15=0.

J后+14

（六）圆与圆的位置关系

【例6】（2016高考山东文）已知圆M：x2+y2-2协=0（“>0）截直线x+y=0所得线段的长度是2点,

则圆M与圆N：G-iy+（y-1）2=1的位置关系是（）

A.内切B.相交C.外切D.相离

【答案】B

【解析】由/+>2-2砂=0（。>0）得/+（^—。）2=/（£/>0）;.圆!\4的圆心为（0,。），半径为7]=a,

•.•圆M截直线x+y=O所得线段的长度是2®.♦.丁、=J1半，解得。=2,圆N的圆心

为（1,1）,半径为4=]...|MN|=J（0_1）2+（2_1）2=&,1+々=3,{_芍=1,：彳_弓<|1^|<（+&

，圆M与圆N相交，故选B.

【方法技巧归纳】（1）处理两圆的位置关系时多用圆心距与半径的和或差的关系判断，一般不采用代数

法.（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.

2

【变式1】【变外切为内切】圆=m（m＞Q）内切于圆f+y2+6%一8y—11=0,则帆=

【答案】1

【解析】圆G的方程为必+犬=加2（机＞（））,圆心C1（0,0）,q=加.圆的方程变形得

（x+3）2+（y—4）2=36,圆心。2（-3,4）,4=6,,圆G内切于圆。2，℃21=6—加.

|C[C?|—5,..nt—1.

【变式2］【变相切求参为相交求参】已知圆f+V=9与圆/+产+8%一6），+25-/=0（r＞0）相交，

则r的取值范围是.

【答案】（2,8）

【解析】/+;/=9的圆心G（O,O），4=3,V+y2+8无一6y+25的圆心为

G（T3），G='，由两圆相交得卜一目＜4＜卜+目.•.上一3|＜5＜卜+3卜）€（2,8）.

（七）直线与圆位置关系综合题

【例7】

（1）（2021新高考n卷11）已知直线/:办+办一，=0与圆C：x2+y2=/,点A（a,z?）,则下列说法

正确的是（）

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离D.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切

【答案】ABD

【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为/+〃，户的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位

置关系即可得解.

r2

［解析】圆心c（o,（））到直线/的距离d=

\Ja2+b2

若点A（a,“在圆C上，则。2+》2=尸，：.d=I：=卜|,则直线/与圆C相切，故A正确;

\la~+b2

若点A（a,。）在圆C内，则〃+〃＜，，："=［,＞卜］,则向线/与圆C相离，故B正确;

\la-+b~

若点A(a㈤在圆C外，则/+〃>，，：,d^'——-<|/j,则直线/与圆C相交，故C错误；

2

若点A(a,匕)在直线/上，则/+》2一/=0即/+从二产，:.d=，,用,直线/与圆C相切，故

yja2+h2

D正确，故选ABD.

(2)[2018全国卷III理】直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于4B两点，点P在圆(*-2)2+y2=2上，则MBP

面积的取值范围是

A.[2,61B.[4,8]C.,3曲D.[2隹，3但

【答案】A

【解析】分析：先求出A,B两点坐标得到|4B|,再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面

积公式计算即可

详解：「直线x+y+2=0分别与痔由，蚌由交于A,B两点

A(-2,0),B(0,-2),Jill]|ABI=2>f2

:点P在圆<x-2；2+y2=2±

二圆心为(2,0),则圆心到直线距离B=包乎=20

故点p到直线X+y+2=0的距离乂的范围为W23V2]

^\S^BP=^\AB\d2=V2d,e[2,6]

z

故答案选A.

【方法技巧归纳】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的

最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化.涉及圆中弦

长问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方

的和.

【变式1】【第(2)问变为弦长问题】已知定点4(0,-4),点尸圆V+y2=4上的动点.

(1)求AP的中点C的轨迹方程；

(2)若过定点的直线/与。的轨迹交于例,N两点，且|MN|=G，求直线/的方程.

1

【答案】(1)尤2+&+2)92=1；(2)m=一万或6x+8y+ll=O.

x0+0

人一

2

>=)/，化简得f+(y+2)2=l,

【解析】（1）设。（工》）,尸（々）,%）,由题意知：v

X(：+端=4

故。的轨迹方程为f+（y+2）2=l.

（2）当直线/的斜率不存在时，直线，的方程为x=-；,此时1MM=J5,满足条件;

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为）叶1=勺x+A

因为半径r=1,M=出,故圆心到直线I的距离d=W，

3

由点到直线的距离公式得d，解得无=

Z'

直线,的方程为）-1=一|•卜+；；,故直线/的方程为x=-=或6x+8y+ll=0.

【变式2】【第（1）问变为相切，第（2）问变为求三角形面积最值】已知圆C:（x—3）2+（y—4）2=4,直

线4经过点A（l,0）.

（I）若直线4与圆c相切，求直线4的方程;

（2）若直线4与圆c相交于p,Q两点，求三角形CP。面积的最大值，并求此时直线4的方程.

【答案】（1）%=1或3%-4丁-3=0（2）y=x—1或y=7x—7

【解析】（1）①若直线4的斜率不存在，则直线x=l,符合题意.

②若直线4斜率存在，设直线4为〉=左（％—1）,即米一丁一女=0.

由题意知，圆心（3,4）到已知直线4的距离等于半径2,

\3k-4-k\3

即！/,।=2,解得女二一,

a+14

所求直线方程为1=1,或3工一4y一3二0；

（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,设直线方程为丘一2'-左=。,

则圆心到直线《的距离d9

又：三角形C尸。面积s=4dX2j4-/=贝4-r=J4d-4=^-p2-2)2+4

l四一4|r

.•.当4逝时，S取得最小值2,贝|口=匕=^=V2,左=1或t=7,

J1+K

故直线方程为y=x-1，或产7x-7.

【数学思想】

1.函数思想

求与直线与圆方程的最小值问题，通常通过建立目标函数，转化为求二次函数的最小值问题，或利用基本

不等式求最值问题等，其实质就是函数思想的应用.

2.方程思想

求直线的方程或圆的方程常常要利用待定系数法求解，体现是方程思想的应用；根据直线与圆间的位置关

系求相关参数时，常常需要建立方程来求解.

3.转化与化归的思想

在直线与圆的方程中的应用主要体现在：（1）最值问题常常转化为函数最值与平面几何图形中距离最短或

最长问题；（2）与直线或圆上的点有关系的一些代数式，常常根据它们的几何意义将问题进行转化求解.

4.分类讨论思想

分类讨论思想在直线与圆问题中的应用主要有常见的两种情形、即讨论直线斜率的存在性与根据需要对图

形中的直线或圆的不同位置的讨论.在解题时能作出图形的尽量作图，使隐含的条件直观显现，解答就会

更加完备.

【处理集合问题注意点】

1.处理直线倾斜角与求直线方程时，易忽略斜率不存在的情况、对倾斜角的取值范围不清楚造成错解；忽

略截距为0的情况造成少解：

2.判断两条直线的位置关系忽视斜率是否存在；求两平行线间的距离忽视两直线的系数的对应关系；忽略

检验两直线重合的情况；

3.对含有参数的一般式方程，忽视表示圆的条件。2+后2一4尸＞0；遗漏方程的另一个解；忽略圆方程中

变量的取值范围；

4.处理两圆位置关系时，忽视分两圆内切与外切两种情形；忽视切线斜率上不存在的情形，；求弦所在直线

的方程时遗漏一解.

【典例试题演练】

一、单选题

I.（2022北京•新农村中学高三期中）直线后+），+2=0的倾斜角为（）

【答案】C

【分析】设直线的倾斜角为。，根据直线的方程求出直线的斜率左,再由左=tan。结合兀即可求解.

【解析】设直线岳+y+2=O的倾斜角为。，由&+y+2=0可得y=-£r-2,

27r

直线的斜率么=-6，则tan®=-G，=—,故选C.

2.（2022广东•高三月考）圆》2+丁-4》=0上的点到直线3x-4y+9=0的距离的最小值为（）

A.1B.2C.4D.5

【答案】A

【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.

【解析】由一+/-4%=0,得（x-2）2+y2=4,圆心为（2,0）,半径厂=2,

|3x2-4x0+9|

圆心到直线3x-4y+9=0的距离d==3

>/32+42

故圆上的点到直线3x-4y+9=0的距离的最小值为d-『=1.故选A.

3.（2022河南省实验中学高三期中（理））直线x+y+2=0分别与x轴，）轴交于A,8两点，点尸在圆

。-2）2+丁=2上，则八4解面积的取值范围是（）

A.[2,6]B.[4,8]C.[拒,3啦]D.[2及，3&]

【答案】A

【分析】求出圆心到直线的距离，得圆上的点到直线距离的最大值和最小值，从而得面积的最大值和最小

值.

【解析】由题意4一2,0）,3（0,-2）,从凶=2夜,

已知圆圆心为（2,0）,（2,0）到直线AB距离为巨誉1=2近，圆半径为近,

，户到直线AB的距离的最大值为2&+&=30，最小值为20-0=0，

••.△钻尸面积的最大值为,20、3&=6,最小值为葭2&、&=2,故&$尸面积的取值范围为[2,6].

故选A.

4.（2022全国♦高三期中（文））直线（2"-1）苫+〃夕+2=0和直线，皿+3.丫+1=0垂直，则实数机的值为（）

A.0或-1B.-1

C.3±>/6D.3+-\/6

【答案】A

【分析】根据两直线垂直可得（2帆-l）m+3m=0,从而可得出答案.

【解析】解：直线（2m-l）x+冲+2=0和直线》u+3y+l=0垂直，

/.（2w-l）/n+3/n=0,二〃?=一1或机=0.故选A.

5.（2022黑龙江•哈尔滨市第六中学校高三期中（文））已知直线ox+y+5=0与x-2y+7=0垂直，则。为

（）

A.2B.!C.-2D.--

22

【答案】A

【分析】利用一般式中直线垂直的系数关系列式求解.

【解析】：直线依+»+5=0与x-2y+7=0垂直，.•.a_2=0,，a=2,故选A.

6.（2022四川•高三期中（理））已知曲线），=》+等在点（1,1）处的切线与直线x+2y=0垂直，则氏的值为

（）

A.1B.-1C.D.—

22

【答案】A

【分析】根据切线与已知直线垂直，可以得到切线的斜率，与求导的斜率相等，即可求出参数人的值

【解析】y=i+-V.当x=i时，y=i+7,•.•切线与直线x+2y=o垂直，直线斜率为-』，.•.切线斜率为2,

xkk2

即1+/=2,得：k=l,故选A.

7.（2022山西•怀仁市第一中学校高三期中（文））折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形。钻C纸片放

在平面直角坐标系中，0（0,0）,A（2,0）,C（0,1）,将矩形折叠，使。点落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率

为3则％的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,2]C.[-1,0]D.[-2,0]

【答案】D

【分析】分析题意，画出图形，分析重合的两个点之间的关系，。点落在线段8c上，。点与8c上的点关

于折痕对称，两点的连线与折痕垂直，求出对应点之间的斜率，即可求解

【解析】如图，

要想使折叠后。点落在线段BC上，可取8c上任意•点。，

作线段OD的垂直平分线/,以/为折痕可使。与。量合，

•.%认B=：,=且女<0.

,KOD

又当折叠后。与C重合时，々=0,；.-24440,.的取值范围是[-2,0],故选D.

8.(2022全国•高三专题练习(理))若A(-2,3),8(3,-2),C(；,⑷三点共线，则根=()

A.!B.—C.—2D.2

22

【答案】A

【分析】

由已知条件得出kAn=kAC,结合斜率公式可求得实数m的值.

【解析】

由于4(—2,3)、8(3,—2)、呜加)三点共线,

3+2m—3]

W'JkAB=kAC-即-2-3-J)，解得机=彳.故选A.

2+232

9.(2022江苏・南京市第一中学高三期中)已知a>0,b>0,直线4：x+(a-4)y+l=0,l2：bx+y-2=0,

且则一1+。的最小值为()

a+1b

24

A.2B.4C.-D.一

35

【答案】D

【分析】根据4,4可得。、。的关系式，再由基本不等式即可求解.

【解析】/|-L'•*-b+a-4=Q,a+b-4,a+l+b=5,

11(11Y.ha+if__\~b_a+\}4

67+1b5(a+lb)5(a+1b)5^Na+1bJ5

ba+1「

当且仅当-a-+-l=--b--即〃=彳3，5时取等号，」二1+；1的最小值为:4，故选D.

,.22a+\b5

a+b=4

10.(2022重庆•西南大学附中高三月考)已知定义在R上的函数f(x)满足如下条件：①函数/(x)的图象关

3

于>'轴对称；②对于任意X€R,f(x)=/(2-X)；③当XW［0,1］时，〃x)=》；④g(x)=.f(4x).若过点(-1,0)

的直线/与函数g(x)的图象在xe［0,2］上恰有8个交点，则直线/斜率k的取值范围是()

【答案】A

【分析】结合①②可知/(x)是周期为2的函数，再结合④可知g(x)是周期为3的函数，结合③作出g(x)在

。2］上的图像，然后利用数形结合即可求解.

【解析】•••函数f(x)的图象关于)，轴对称，.../(X)为偶函数，BfJ/W=/(-x),

又,对于任意xeR,/(x)=/(2-x),/(x)=/(2-x)=/(-x),

从而/(x)=/(x+2),即/(x)是周期为2的函数，

•.•g(x)=/(4x),则g(x)图像是/⑴的图像的横坐标缩短为原来的!得到，故g(x)也是偶函数，且周期为

4

当x=:时，易知g(x)=3,即则直线M4的斜率％-=3

424211

4

过点(-1,0)的直线/与函数g(x)的图象在X6[0,2]上恰有8个交点，

则只需0<&<%«=(，即直线/斜率&的取值范围是(。，4).故选A.

11.(2010・福建厦门・高三月考(文))若P(2,-1)为圆C:(x-1丫+9=25的弦AB的中点，则直线A8的方程

是().

A.2x-y-5=0B.2x+y-3=0

C.x+y-l=0D.x-y-3=0

【答案】D

【分析】由垂径定理可知，尸C_LAB,可得直线A3斜率，及直线方程.

【解析】由圆C:(x—1)2+丁=25,得C(l,0),...噎=°一㈠)=T，由垂径定理可知PC,A3,

1—2

・・・直线43斜率上满足h%pc=—l,即％=1,

...直线AB的方程为：y-(-l)=lx(x-2),即x—y—3=0,故选D.

12.(2022黑龙江大庆•高三月考(理))阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚

历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的

是：已知动点M与两个定点A,B的距离之比为儿(4>0,且4工1),那么点用的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若

平面内两定点A,8间的距离为2,动点尸满足晟=百，则归才+俨^的最大值为()

A.16+8括B.8+4>/3C.7+4^D.3+6

【答案】A

【分析】设A(-1,0),8(1,0),P{x,y),由周=行，可得点P的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为6的圆，

又1PAi2+1=2卜2+y2+]),其中F+,2可看作圆(X-2)2+丁=3上的点(x,y)到原点(0,0)的距离的平

方，从而根据圆的性质即可求解.

【解析】解：由题意，设A(—1,0),3(1,0),P(x,y),

:黑=6,=6即(x-2f+y2=3,.•.点P的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为6的圆，

ISJ(x-l)

22222

■：\PAf+\PBf=(x+厅+V+(x-l)+y=2(x+y+l),其中f+炉可看作圆(x-2)+尸=3上的点

(%力到原点(0,0)的距离的平方，(9+丁)“、=(2+退)~=7+4百，

.•.[2卜2+丁+1)[”=16+8石，即归厂+归郎的最大值为16+8石，故选A.

13.(2022浙江•诸暨中学高三月考)设x,yeR,则“/+丫2-2工-2)，+140”是“》+〉44”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据V+y2-2x-2y+140表示(x,y)在以(1,1)为圆心，1为半径的圆及其内部，x+y44表示(x,y)在

直线x+)，=4的左下方，利用数形结合法求解.

【解析】X)+y?—2x—2y+140可表不为(x—I)?+(y—41,即(x,y)在以(1」)为圆心，1为半径的圆及其内

部，x+y44表示(x,y)在直线x+y=4的左下方，如图所示：

由图象知：“x2+y2-2x-2y+lW0”是“x+y«4”的充分不必要条件，故选A.

14.(2022全国•高三期中(文))在平面直角坐标系中，坐标原点为。，定点M(L-l),动点P(x,y)满足

\PO\^y[2\PM\,P的轨迹C1与圆C?：x2+y2-3x+3y+4+a=0有两个公共点A,B,若在C1上至多有3个

不同的点到直线AB距离为夜，则。的取值范围为()

A.(7,-2-2&卜[-6+2应,-l-ooj

B.(T-20,-2-2万］

C.6—2V2,—4—jkJ2V2,—2+25/2J

D.(-4-20,-2-2&MY+2&,-4+20)

【答案】D

2

［分析］根据动点P(x,y)满足|P。=y/2\PM\,得到P的轨迹方程为x+r-4A-+4.v+4=0,由G-C2得公

共弦所在直线AB方程，根据x2+y2-3x+3y+4+a=0表示圆，再根据两圆有两个公共点，然后根据G上

至多有3个不同点到直线AB距离为应求解.

【解析】••,动点P(x,y)满足归O|=0|PM|,/.7%2+/=42-7(x-l)2+(y+l)2.

••.尸的轨迹方程为d+y2_4x+4y+4=0,由G-C2得公共弦所在直线AS方程为：x-y+a=O,

又G：(x-2)2+(y+2)2=4,圆心C"2,-2),半径4=2,

Q：(x-g)+('+'!)=；-°，圆心'半径4=J；-。，,g-a>。，即”<g①；

,两圆有两个公共点，.司<|GG|<h+讣,2-Jg-"|<¥<2+，

/.-4-2V2<a<-4+20②，

又•••G上至多有3个不同点到直线AB距离为正,，q(2,-2)到直线AB距离八2-a，

'>2--J1,...°2-6+2及或aV-2-20③，

由©®③得_4-2&<。4-2-2立或一6+2&44<-4+20.故选D.

15.(2022四川•高三期中(理))若倾斜角为锐角的直线L:y=fcr+&+l与圆。：/+>2-2》-2丫-2=