弧度制学案-高一上学期数学人教A版

教学目标：1.了解弧度的角、弧度制的定义；2.正确熟练的进行角度与弧度的换算；3.会推导弧度制下的弧长公式、扇形面积公式.重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.难点：弧度的概念及其与角度的关系.二、知识回顾1．角的概念的推广2.象限角3．终边相同的角三、预习自学（=1\*ROMANI）弧度制的概念叫做1弧度的角.2.一般地，正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是.如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为，那么，角的弧度数的绝对值是，这里，的正负由决定.（=2\*ROMANII）角度与弧度的互化周角的弧度数是,即:由此得:＝弧度注意：弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去。(III)在弧度制下,角的集合与实数集之间建立起的一一对应关系:每一个角都有(即:)与它对应;反过来,每一个实数也都有(即:)与它对应.探究合作与典型例题例1:（1）把化成弧度（结果用精确值表示）；（2）将换算成角度（精确到0.001）思考：在求角的近似值时，如何用计算器求解？你能用计算器比较与的大小吗？练习:填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表：度弧度例2:利用弧度制证明下列关于扇形的弧长和面积公式：（1）（2）（3）其中是,是,是,是五、检测反馈（比一比，看谁做得又对又快！）1.下面四个选项中，正确的是（）A1弧度是1度的圆心角所对的弧B1弧度是长度为半径的弧C1弧度是1度的弧与1度的角之和D1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位2.下列各式中，成立的是（）ABCD1＝3．若＝4.70，则是（）角A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4、把下列各角化成弧度，弧度化成度：5.已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1B．4C．1或4D．2或46.已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数.制写出（1）第一、二、三、四象限角的集合.;（·2）终边在x轴上的角的集合；（3）终边在y轴上的角的集合；8.已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，(1)求eq\x\to(AB)的弧长；(2)求弓形OAB的面积．课时作业一、选择题1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为()A.eq\f(40,3)πB.eq\f(20,3)πC.eq\f(200,3)πD.eq\f(400,3)π2．下列与eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中，正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)3．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为()A.eq\f(14,3)πB．－eq\f(14,3)πC.eq\f(7,18)πD．－eq\f(7,18)π4．把－eq\f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．－eq\f(3,4)πB．－2πC．πD．－π5．若1弧度的圆心角所对弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于()A．sineq\f(1,2)B.eq\f(π,6)C.eq\f(1,sin\f(1,2))D．2sineq\f(1,2)二、填空题6．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________．7．如果一扇形的弧长变为原来的eq\f(3,2)倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．8．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______．9．若2π<α<4π，且α与－eq\f(7π,6)角的终边垂直，则α＝________________.三、解答题10．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．11．把下列角化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式：(1)eq\f(16π,3)；(2)-25π4（3）－315°（4）930°12．已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．13.一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为__________．导学案检测反馈答案5.C解析设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋αr＝6,\f(1,2)αr2＝2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1,α＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝2,α＝1)).6.7.略8．解(1)∵α＝120°＝eq\f(2π,3)，r＝6，∴eq\x\to(AB)的弧长为l＝αr＝eq\f(2π,3)×6＝4π.(2)∵S扇形OAB＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4π×6＝12π，S△ABO＝eq\f(1,2)r2·sineq\f(2π,3)＝eq\f(1,2)×62×eq\f(\r(3),2)＝9eq\r(3)，∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－9eq\r(3).课时作业答案A解析240°＝eq\f(240,180)π＝eq\f(4,3)π，∴弧长l＝|α|·r＝eq\f(4,3)π×10＝eq\f(40,3)π，故选A.CB解析显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的eq\f(1,3)，用弧度制表示就是－4π－eq\f(1,3)×2π＝－eq\f(14,3)π.A解析∵－eq\f(11,4)π＝－2π＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)π))＝2×(－1)π＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)π))，∴θ＝－eq\f(3,4)π.5.C6.答案eq\f(2,5)π7.答案eq\f(3,4)由于S＝eq\f(1,2)lR，若l′＝eq\f(3,2)l，R′＝eq\f(1,2)R，则S′＝eq\f(1,2)l′R′＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)l×eq\f(1,2)R＝eq\f(3,4)S.8.答案(－π，－π)∪π，2]解析∵α是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，当k＝－1时，－＜α＜－π，当k＝0时，＜α≤2，当k为其他整数时，满足条件的角α不存在．eq\f(7,3)π或eq\f(10,3)π解析α＝－eq\f(7,6)π－eq\f(π,2)＋2kπ＝2kπ－eq\f(5,3)π，k∈Z，∵2π<α<4π，∴k＝2，α＝eq\f(7,3)π；或者α＝－eq\f(7,6)π＋eq\f(π,2)＋2kπ＝2kπ－eq\f(2,3)π，k∈Z，∵2π<α<4π，∴k＝2，α＝eq\f(10,3)π.综上，α＝eq\f(7,3)π或eq\f(10,3)π.(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ－\f(π,6)≤α≤2kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)).(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|kπ＋\f(π,6)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).(1)eq\f(16π,3)＝4π＋eq\f(4π,3).∵0≤eq\f(4π,3)＜2π，∴eq\f(16π,3)＝4π＋eq\f(4π,3).(2)-(3)∵－315°＝－315×eq\f(π,180)＝－eq\f(7π,4)＝－2π＋eq\f(π,4)，∵0≤eq\f(π,4)＜2π，∴－315°＝－2π＋eq\f(π,4).(4)4设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r.∴S＝eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)(a－2r)·r＝－r2＋eq\f(a,2)r＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(a,4)))2＋eq\f(a2,16).∵r>0，l＝a－2r>0，∴0<r<eq\f(a,2)，∴当r＝eq\f(a,4)时，Smax＝eq\f(a2,16).此时，l＝a－2·eq\f(a,4)＝eq\f(a,2)，∴α＝eq\f(l,r)＝2.故当扇形的圆心角为2rad时，扇形的面积最