2019年四川省自贡市中考数学试卷（解析版）

2019年四川省自贡市中考数学试卷

一、选择题［共12个小题，每小题4分，共48分,在每题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.（4分）（2019•自贡）-2019的倒数是（）

A.-2019B.-―^—C.—D.2019

20192019

【考点】17：倒数.

【专题】511：实数.

【分析】直接利用倒数的定义进而得出答案.

【解答】解：-2019的倒数是--1—

2019

故选：B.

【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键.

2.（4分）（2019•自贡）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我

国实力的新名片.现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数

法表示应为（）

A.2.3X104B.23X103C.2.3X103D.0.23XI05

【考点】II：科学记数法一表示较大的数.

【专题】511：实数.

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中”为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞1时，〃是正数；当原数的绝对值＜1时，〃是负数.

【解答】解：23000=2.3X1（）4,

故选：A.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其

中"为整数，表示时关键要正确确定。的值以及”的值.

3.（4分）（2019•自贡）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.

【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；

2、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

。、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确.

故选：D.

【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边

图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合.

4.（4分）（2019•自贡）在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分

都是90分，甲的成绩方差是15,乙的成绩方差是3,下列说法正确的是（）

A.甲的成绩比乙的成绩稳定

B.乙的成绩比甲的成绩稳定

C.甲、乙两人的成绩一样稳定

D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定

【考点】W7：方差.

【专题】542：统计的应用.

【分析】根据方差的意义求解可得.

【解答】解：•••乙的成绩方差〈甲成绩的方差，

乙的成绩比甲的成绩稳定，

故选：B.

【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则

平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定

性越好.

5.（4分）（2019•自贡）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（）

B

【考点】U2：简单组合体的三视图.

【专题】55F：投影与视图.

【分析】根据俯视图是从物体上面看，从而得到出物体的形状.

【解答】解：从上面观察可得到：

/1

故选：C.

【点评】本题考查了三视图的概简单几何体的三视图，本题的关键是要考虑到俯视图中

看见的棱用实线表示.

6.（4分）（2019•自贡）已知三角形的两边长分别为1和4,第三边长为整数，则该三角形

的周长为（）

A.7B.8C.9D.10

【考点】K6：三角形三边关系.

【专题】552：三角形.

【分析】根据三角形的三边关系”第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边

的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长.

【解答】解：设第三边为X,

根据三角形的三边关系，得：4-1〈尤＜4+1,

即3c尤＜5,

：尤为整数，

，尤的值为4.

三角形的周长为1+4+4=9.

故选：C.

【点评】此题考查了三角形的三边关系.关键是正确确定第三边的取值范围.

7.（4分）（2019•自贡）实数〃2,"在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是

（）

III1）

於01〃

A.|m|<lB.1-m>1C.mn>0D.m+1>0

【考点】15：绝对值；29：实数与数轴.

【专题】511：实数；62：符号意识；68：模型思想.

【分析】利用数轴表示数的方法得到根<0<小然后对各选项进行判断.

【解答】解：利用数轴得机

所以-MJ>0,1-m>1,mn<0,m+KQ.

故选：B.

【点评】本题考查了实数与数轴：数轴上的点与实数一一对应；右边的数总比左边的数

大.

8.（4分）（2019•自贡）关于x的一元二次方程X?-2龙+根=0无实数根，则实数相的取值范

围是（）

A.m<\B.机》1C.mWlD.m>\

【考点】AA：根的判别式.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】利用判别式的意义得到4=（-2）2-4m<0,然后解不等式即可.

【解答】解：根据题意得△=（-2）2-4/77<0,

解得m>1.

故选：D.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程o?+bx+c=o"wo）的根与△=呈-4℃

有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=（）时，方程有两个相

等的两个实数根；当△<（）时，方程无实数根.

9.（4分）（2019•自贡）一次函数y=or+b与反比列函数y=£的图象如图所示，则二次函

数y=G?+6x+c的大致图象是（)

【考点】F3：一次函数的图象；F5：一次函数的性质；G2：反比例函数的图象；H2：二

次函数的图象.

【专题】533：一次函数及其应用；535：二次函数图象及其性质.

【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b.c的正负，再根据抛物线的对称轴

为苫=-4，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论.

【解答】解：,••一次函数月=以+6图象过第一、二、四象限，

.•.aVO,/?>0,

-工>0,

2a

二次函数yi—ax'+bx+c开口向下，二次函数ys—ax^+bx+c对称轴在y轴右侧；

..•反比例函数”=£的图象在第一、三象限，

X

；.c>0,

.•.与y轴交点在X轴上方.

满足上述条件的函数图象只有选项4

故选：A.

【点评】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的

关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出。、氏c的正负.本题属于基础题，难度

不大，熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键.

10.（4分）（2019•自贡）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度/I与

时间f的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（）

【专题】532：函数及其图像.

【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解.

【解答】解：相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应

较细.由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径.

故选：D.

【点评】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的

函数图象.

11.（4分）（2019•自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四

个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形

桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（）

A.AB.▲C.2D.工

5432

【考点】MM：正多边形和圆；MO：扇形面积的计算；PB：翻折变换（折叠问题）.

【专题】55B：正多边形与圆.

【分析】连接AC,根据正方形的性质得到NB=90°,根据圆周角定理得到AC为圆的

直径，根据正方形面积公式、圆的面积公式计算即可.

【解答】解：连接AC,

设正方形的边长为

:四边形ABC。是正方形，

.,.ZB=90°，

；.AC为圆的直径,

：.AC=42AB=y]2a，

则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为:

九3

兀X

【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握圆周角定理、正方形的性质是解题的关键.

12.（4分）（2019•自贡）如图，已知A、3两点的坐标分别为（8,0）、（0,8）,点C、F

分别是直线x=-5和x轴上的动点，CE=10,点。是线段B的中点，连接AO交y轴

于点E,当△ABE面积取得最小值时，tan/BA。的值是（）

【考点】D5：坐标与图形性质；K3：三角形的面积；T7：解直角三角形.

【专题】152：几何综合题；64：几何直观；66：运算能力；67：推理能力.

【分析】如图，设直线尤=-5交x轴于K.由题意KD=LCP=5,推出点。的运动轨

2

迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与OK相切时，AABE的面积最小，作

EHLAB于凡求出即，即可解决问题.

【解答】解：如图，设直线x=-5交无轴于K.由题意KZ）=LCP=5,

点。的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆,

当直线A。与OK相切时，△ABE的面积最小，

是切线，点。是切点，

C.ADLKD,

：AK=13,DK=5,

：.AD=12,

OEDK

tanZ£AO==

OAAD

•.•0E_5,

812

.-.O£=M,

3

,'-A£=VoE2+OA2=-y,

作EH±AB于H.

,**SAABE=—9^B9EH=SAAOB-S"OE，

2

3噜

：.AH=^jAE2_EH2=1^1,

o

7V2

：.tanZBAD=^-=—^-i=7

AH17&17

3

故选：B.

【点评】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的

面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）

13.（4分）（2019•自贡）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB//CD,Zl=120°,则

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】直接利用平角的定义结合平行线的性质得出答案.

【解答】解：=,

.•.Z3=180°-120°=60°,

'：AB//CD,

；./2=/3=60°.

【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出/2=/3是解题关键.

14.（4分）（2019•自贡）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85

分、75分的人数分别是1、3、4、2、2,那么这组数据的众数是90分.

【考点】W5：众数.

【专题】542：统计的应用.

【分析】根据众数的定义求解可得.

【解答】解：这组数据的众数是90分，

故答案为：90.

【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若

几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据.

15.（4分）（2019•自贡）分解因式：2?-2，=2（x+y）（x-y）.

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用.

【分析】先提取公因式2,再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.

【解答】解：-2/=2（/-/）=2（x+y）（尤-y）.

故答案为：2（x+y）（尤-y）.

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行

二次分解，注意分解要彻底.

16.（4分）（2019•自贡）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其

中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为尤元,

足球的单价为y元，依题意，可列方程组为

,4x+5y=466

【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组.

【专题】521：一次方程（组）及应用.

【分析】根据题意可得等量关系：①4个篮球的花费+5个足球的花费=466元，②篮球

的单价-足球的单价=4元，根据等量关系列出方程组即可.

【解答】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：

（x-y=4

14x+5y=466

故答案为：4，

[4x+5y=466

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找

出题目中的等量关系.

17.（4分）（2019•自贡）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AB=10,BC=6,CD//AB,

NABC的平分线BD交AC于点E,

5

【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；S9：相似三角形的判定与性质.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】由C£）〃AB,ZD=ZABE,ZD=ZCBE,所以CZ）=BC=6,再证明

△CEO,根据相似比求出。E的长.

【解答】解：VZACB=90°,AB=10,BC=6,

；.AC=8,

：8。平分/ABC,

ZABE=ZCDE,

'JCD//AB,

；.ND=NABE,

：.ZD=ZCBE,

：.CD=BC=6,

：.△AEBsXCED,

.AE_BE_AB__10_5

••而二ED=CD=6三

.,.CE=2AC=3><8=3,

88

B£=VBC2+CE2=V62+32=3\/5'

故答案为2y.

5

【点评】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解

题的关键.

18.(4分)(2019•自贡)如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，Na、Zp

如图所示，贝Ucos(a+p)

【考点】38：规律型：图形的变化类；KK：等边三角形的性质；T7：解直角三角形.

【专题】2A：规律型；554：等腰三角形与直角三角形；55E：解直角三角形及其应用.

【分析】给图中各点标上字母，连接。E,利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可

得出/a=30°,同理，可得出：ZCDE=ZCED=30°=Na,由/AEC=60°结合/

AEZ)=/AEC+NC£D可得出NAE£)=90°,设等边三角形的边长为。，则AE=2a,DE

=J茄，利用勾股定理可得出A。的长，再结合余弦的定义即可求出cos（a+0）的值.

【解答】解：给图中各点标上字母，连接。E,如图所示.

在△ABC中，ZABC=120°,BA=BC,

：.Za=30°.

同理，可得出：NCDE=/CED=30°=Za.

XVZAEC=60°,

ZAED=ZAEC+ZCED=90°.

设等边三角形的边长为a,则AE=2a,DE=2Xsin60°

'AD=YAE2+DE2=4。，

.,.cos（a+p）=DE_=V2T.

AD7

故答案为：叵.

7

【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构

造出含一个锐角等于Na+NB的直角三角形是解题的关键.

三、解答题（共8个题，共78分）

19.（8分）（2019•自贡）计算：|-3|-4sin45°+V8+（『3）°

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幕；T5：特殊角的三角函数值.

【专题】511：实数.

【分析】原式第一项利用绝对值的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第

三项化为最简二次根式，第四项利用零指数累法则计算即可得到结果.

【解答】解：原式=3-4义喙+2如+1=3-2圾+2&+1=4.

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

20.（8分）（2019•自贡）解方程：

X-1

【考点】B3：解分式方程.

【专题】11：计算题；522：分式方程及应用.

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可

得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：2x+2=/-x,

解得:x=2,

检验：当x=2时，方程左右两边相等，

所以x=2是原方程的解.

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

21.（8分）（2019•自贡）如图，。。中，弦A3与CZ）相交于点E,AB=CD,连接A。、BC.

求证：（1）AD=BC;（2）AE=CE.

【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系.

【专题】14：证明题；559：圆的有关概念及性质.

【分析】（1）由AB=C。知窟=而，BPAD+AC=BC+AC-据此可得答案；

（2）由俞=前知4。=8。结合/ADE=NCBE,NDAE=/BCE可证△ADEdCBE,

从而得出答案.

【解答】证明（1）'：AB=CD,

.-.AB=CD，即面+京=黄+京，

AD=BC；

(2)：AD=BC，

：.AD=BC,

又NADE=ZCBE,/DAE=ZBCE,

：.AADE^ACBE(ASA),

：.AE^CE.

【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：

在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”,

一项相等，其余二项皆相等.

22.（8分）（2019•自贡）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全

体同学参加了知识竞赛.

收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位:

分）：

908568928184959387897899898597

888195869895938986848779858982

整理分析数据：

成绩X（单位：分）频数（人数）

60«701

70Wx<802

80Wx<9017

90^x<10010

频数/人数

18--------------------------

16--------------------------

14--------------------------

12--------------------------

10--------------------------

8--------------------------

6--------------------------

4--------------------------

2-----t-------------------

0----11-----------------►

60708090100成绩分

（1）请将图表中空缺的部分补充完整；

（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学.根据上面统计结果

估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；

（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图

案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有

恐龙图案的概率是1

一2一

【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】（1）由己知数据计数即可得；

（2）用总人数乘以样本中对应部分人数所占比例即可得；

（3）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，再利用概率公式求解可

得.

（2）估计该校初一年级360人中，获得表彰的人数约为360义独=120（人）；

30

（3）将印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案分别记为A、B、C、D,

画树状图如下:

则共有12种等可能的结果数，其中小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的结

果数为6,

所以小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率为工，

2

故答案为：1.

2

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求

出“再从中选出符合事件A或8的结果数目如求出概率，也考查了条形统计图与样

本估计总体.

23.（10分）（2019•自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数力=履+匕（左#0）的图象

与反比例函数y2=史（机W。）的图象相交于第一、象限内的A（3,5）,B（a,-3）两

x

点，与无轴交于点C

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）在y轴上找一点P使-PC最大，求PB-PC的最大值及点P的坐标；

（3）直接写出当月＞m时，x的取值范围.

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】533：一次函数及其应用；534：反比例函数及其应用.

【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式;

（2）根据一次函数月=尤+2,求得与y轴的交点P,此交点即为所求；

（3）根据两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求尤的取值范围.

【解答】解：（1）把A（3,5）代入以=电（〃zW0）,可得加=3X5=15,

X

...反比例函数的解析式为＞2=』^；

X

把点B（〃，-3）代入，可得a=-5,

：.B（-5,-3）.

把A（3,5）,B（-5,-3）代入月=丘+6,3k+b=5,

l-5k+b=-3

解得，卜口,

lb=2

...一次函数的解析式为力=x+2；

（2）一次函数的解析式为yi=x+2,令x=0,则y=2,

，一次函数与y轴的交点为尸（0,2）,

此时，PB-PC=BC最大,产即为所求，

令y=0,则x=-2,

：.C(-2,0),

BC=7(-5+2)2+32=3近■

(3)当月>”时，-5<x<0或x>3.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一

次函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键.

24.(10分)(2019•自贡)阅读下列材料：小明为了计算1+2+2?+…+22°17+22°18的值，采用

以下方法：

设S=1+2+22+—+22017+220180

则25=2+22+•••+22018+22019@

②-①得2s-S=S=22019-1

2201720182019

.•.5=1+2+2+-+2+2=2-1

请仿照小明的方法解决以下问题：

(1)1+2+22+-+29=210-1；

(2)3+32+—+310=；

~2-

(3)求1+4+J+…+/的和(a>0,"是正整数，请写出计算过程).

【考点】1G：有理数的混合运算；37：规律型：数字的变化类.

【专题】2A：规律型.

【分析】(1)利用题中的方法设S=1+2+2?+…+29,两边乘以2得至！|25=2+2?+…+2、

然后把两式相减计算出S即可；

(2)利用题中的方法设S=1+3+32+33+34+•••+310,两边乘以3得到3S=

3+32+33+34+35+-+3U，然后把两式相减计算出S即可；

(3)利用(2)的方法计算.

【解答】解：（1）设5=1+2+2?+…+29①

则2s=2+2?+…+21°②

②-①得2S-S=S=210-1

.•.S=l+2+22+-+29=210-1；

故答案为：210-1

（2）S=3+3+32+33+34+-+3100,

则3S=32+33+34+35+-+3H②,

②-①得2s=3“-1,

oil1

所以s=2=L,

2

BP3+32+33+34+―+310=311；

2

oH1

故答案为：

2

（3）设S=I+Q+J+J+J+.+Q〃①

贝!j〃5=。+。2+43+〃4+..+〃八+〃"+1②，

②-①得：（〃-1）-1,

4=1时，不能直接除以4-1,此时原式等于〃+1；

n+1

〃不等于1时，〃-1才能做分母，所以S=W_工，

a-l

n+1

即1+ci+ci^+a+ct+..+t/n=-.............,

a-l

【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类

比的方法是解决这类问题的方法.

25.（12分）（2019•自贡）（1）如图1,E是正方形ABCO边4B上的一点，连接跳入DE,

将/2DE绕点D逆时针旋转90°,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.

①线段DB和DG的数量关系是DB=DG；

②写出线段BE,8尸和DB之间的数量关系.

（2）当四边形ABCD为菱形，NA£）C=60°,点E是菱形48CD边AB所在直线上的一

点，连接2。、DE,将绕点。逆时针旋转120°,旋转后角的两边分别与射线BC

交于点F和点G.

①如图2,点E在线段上时，请探究线段BE、B尸和8。之间的数量关系，写出结论

并给出证明；

②如图3,点E在线段AB的延长线上时，OE交射线BC于点M,若BE=1,46=2,

直接写出线段GM的长度.

图1图2图3

【考点】LO：四边形综合题.

【专题】152：几何综合题.

【分析】（1）①根据旋转的性质解答即可；

②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；

（2）①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；

②作辅助线，计算和的长，根据平行线分线段成比例定理可得的长，根据线

段的差可得结论.

【解答】解：（1）①DB=DG,理由是：

绕点8逆时针旋转90°,如图1,

由旋转可知，ZBDE^ZFDG,ZBDG=9Q°,

:四边形A8CZ）是正方形，

：.ZCBD=45°,

.-.ZG=45°,

；./G=/CBD=45°,

：.DB=DG；

故答案为：DB=DG；

②BF+BE=MBD,理由如下：

由①知：NFDG=/EDB,NG=NDBE=45°,BD=DG,

:.丛FDG沿丛EDB(ASA),

:.BE=FG,

：.BF+FG=BF+BE=BC+CG,

RtZkOCG中，：NG=NC£)G=45°,

：.CD=CG=CB,

,:DG=BD=4^fiC,

即BF+BE=2BC=\&D；

(2)①如图2,BF+BE=\[^BD,

理由如下：在菱形ABCD中，ZADB=ZCDB=—ZADC=—X60°=30°

22

由旋转120°得/EDF=/BDG=120°,ZEDB=ZFDG,

在△DBG中，NG=180°-120°-30°=30°,

：.ZDBG=ZG=30°,

：.DB=DG,

，丛EDB名AFDG(ASA),

:.BE=FG,

：.BF+BE=BF+FG=BG,

过点。作DMLBG于点M,如图2,

,;BD=DG,

:.BG=2BM,

在RtZkAW。中，ZDBM=3Q°,

:.BD=2DM.

设Z)M=a,则8Z)=2a,

DM=\[3a,

:.BG=2^^a,

-BD_2a_1

"BG-2V3aM'

：.BG=43BD,

：.BF+BE=BG='@D；

②过点A作AN_LBD于M过。作。尸_L8G于P,如图3,

RtZXABN中，/ABN=30°,AB=2,

：.AN=1,BN=M，

：.BD=2BN=2M，

•:DC"BE,

.CD_CM_2

"BF^BMT

\'CM+BM^2,

:.BM=4

3

尸中，ZDBP=3Q°,BD=2y/3,

，2尸=3,

由旋转得：BD=BF,

：.BF=2BP=6,

:.GM=BG-6+1-2=U_.

33

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成

比例定理，正方形和菱形的性质，直角三角形30度的角性质等知识，本题证明△FDG丝

△BAE是解本题的关键.

26.（14分）（2019•自贡）如图，已知直线A8与抛物线C：y=ax2+2x+c相交于点A（-1,

0)和点8(2,3)两点.

(1)求抛物线C函数表达式；

(2)若点M是位于直线上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行

四边形MAN3,当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S

及点M的坐标；

(3)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离

等于到直线>=」上的距离？若存在，求出定点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】15：综合题.

【分析】(1)利用待定系数法，将48的坐标代入>=办2+2犬+。即可求得二次函数的解

析式；

(2)过点M作无轴于交直线于K,求出直线AB的解析式，设点Af(a,

-J+2a+3),则K(a,a+1),利用函数思想求出MK的最大值，再求出面积的

最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；

(3)如图2,分别过点8,C作直线y=红的垂线，垂足为N,H,设抛物线对称轴上

4

存在点尸，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，其中尸(1,

a),连接CF,则可根据8P=8N,CP=CN两组等量关系列出关于。的方程组，解

方程组即可.

【解答】解：(1)由题意把点(-1,0)、(2,3)代入y=a?+2x+c,

得，(a-2+c=0,

I4a+4+c=3

解得a=-1,c=3,

...此抛物线C函数表达式为：-X2+2X+3；

(2)如图1,过点M作MHLx轴于X,交直线AB于K,

将点(-I,0)、(2,3)代入>=丘+6中，

得，卜k+b=0,

l2k+b=3

解得，k=l,b=l,

，划8=尤+1，

设点M(a,-a+2a+3),则K(a,a+1),

贝ljMK=-J+2a+3-(a+1)

=-(a-—)2+—,

24

根据二次函数的性质可知，当。=工时，MK有最大长度旦，

24

S^AMB最大—SAAMHSABMK

^LMK'AH+—MK<XB-XH)

22

=LMK《XB-XA)

2

=LX2X3

24

_2-7,

8

/.以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,

S最大=2SAAMB最大=2X2L=ZL,M(―,—)；

8424

(3)存在点F,

丁尸-f+2x+3

=-(x-1)2+4,

工对称轴为直线x=l，

当y=0时，%i=-1,冗2=3,

・•・抛物线与点力轴正半轴交于点C(3,0),

如图2,分别过点2,C作直线>=工工的垂线，垂足为N,H,

4

抛物线对称轴上存在点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=#■的

距离，设尸（1,a）,连接BF,CF,

则BF=BN=^~3=5,CF=CH=^-,

444

222

(2-l)+(a-3)=(1)

由题意可列:

222

(3-l)+a=(^)

解得，4=艮

4

：.F(1,1^).

4

A

X

【点评】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是

能够判断出当平行四边形的面积最大时，的面积最大，且此时线段MK的

长度也最大.

考点卡片

1.绝对值

(1)概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.

③有理数的绝对值都是非负数.

(2)如果用字母。表示有理数，则数。绝对值要由字母。本身的取值来确定：

①当。是正有理数时，。的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-。；

③当。是零时，a的绝对值是零.

即|a|={a(a>0)0(a=0)-a(cz<0)

2.倒数

(1)倒数：乘积是1的两数互为倒数.

一般地，=1(aWO),就说a(aWO)的倒数是上.

aa

(2)方法指引：

①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”.正像减法转化为加法及相反数一

样，非常重要.倒数是伴随着除法运算而产生的.

②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同.

【规律方法】求相反数、倒数的方法

求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“-”即可

求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一

求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置

注意：0没有倒数.

3.有理数的混合运算

(1)有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右

的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算.

（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化.

【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧

1.转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通

常将小数转化为分数进行约分计算.

2.凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的

两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解.

3.分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算.

4.巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便.

4.科学记数法一表示较大的数

（I）科学记数法：把一个大于10的数记成。义10"的形式，其中。是整数数位只有一位的

数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：aXIO",其中lWa<10,

w为正整数.】

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数

位数少1;按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数加

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用

此法表示，只是前面多一个负号.

5.实数与数轴

（1）实数与数轴上的点是一一对应关系.

任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴

上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数.

（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a

的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离.

（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左

边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小.

6.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

I.运算法则：乘方和开方运算、暴的运算、指数(特别是负整数指数，0指数)运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

7.规律型：数字的变化类

探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要

求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律.

(1)探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法.

(2)利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x,再利用它们

之间的关系，设出其他未知数，然后列方程.

8.规律型：图形的变化类

图形的变化类的规律题

首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化

规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题.

9.提公因式法与公式法的综合运用

提公因式法与公式法的综合运用.

10.零指数幕

零指数塞：a°=l(aWO)

由a-,可推出整=1(60)

注意：0°#1.

11.由实际问题抽象出二元一次方程组

(1)由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量

和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.

(2)一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示

的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符.

(3)找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：

①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系.②将问题中给出的条件按意思分割

成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系.③借助表格提供

信息的，按横向或纵向去分别找等量关系.④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量

关系.

12.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式(△=『-4℃)判断方程的根的情况.

一元二次方程依2+法+o=0(a=0)的根与△=/-4ac有如下关系：

①当时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=()时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△<()时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

13.解分式方程

(1)解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.

(2)解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如

下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式

方程的解.

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程时，一定要检验.

14.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵

坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距

离求坐标时，需要加上恰当的符号.

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，

是解决这类问题的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去

解决问题.

15.函数的图象

函数的图象定义

对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平

面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象.

注意：①函数图形上的任意点（尤，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对小

y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（尤，y）是否在函数图象上的方法是：

将点P（x,y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数

的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上..

16.一次函数的图象

（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0,6）、（-今0）或（1，k+b）作直线y=fcc+6.

注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，

所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确.②一次函数的图象是与坐标轴不

平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象.如x=a,

y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象.

（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y=fcv+b,可以看做由直线>=依平移以个单位而

得到.

当6>0时，向上平移；b<0时，向下平移.

注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；

②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；

③两条直线相交，其交点都适合这两条直线.

17.一次函数的性质

一次函数的性质：

k>0,y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k<0,