湖南省衡阳市 县水寺中学高三数学理月考试题含解析

湖南省衡阳市县水寺中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是[0,1]上的函数,且定义，则满足的x的个数是A.2n

B.

C.

D.2(2n-1)参考答案：C略2.设函数，其中[x]定义为不超过x的最大整数，如，[1]=l，又函数，函数在区间(0，2)内零点的个数记为m，函数与g(x)图象交点的个数记为n，则的值是

A．

B．

C．

D．

参考答案：A略3.计算1﹣2sin222.5°的结果等于(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】利用二倍角公式把要求的式子化为cos45°，从而可得结果．【解答】解：由二倍角公式可得1﹣2sin222.5°=cos（2×22.5°）=cos45°=，故选B．【点评】本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．4.若集合A={x|0＜x＜2}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（?RA）∩B=（）A．{x|0≤x≤1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|﹣1＜x≤0} D．{x|0≤x＜1}参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】由题意和补集的运算求出?RA，由交集的运算求出（?RA）∩B．【解答】解：由集合A={x|0＜x＜2}得，?RA={x|x≤0或x≥2}，又B={x|﹣1＜x＜1}，则（?RA）∩B={x|﹣1＜x≤0}，故选C．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算的简单应用，属于基础题．5.设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|+t|的最小值为1．（）A．若θ确定，则||唯一确定 B．若θ确定，则||唯一确定C．若||确定，则θ唯一确定 D．若||确定，则θ唯一确定参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算；零向量；数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得（+t）2=+2t+，令g（t）=+2t+，由二次函数可知当t=﹣=﹣cosθ时，g（t）取最小值1．变形可得sin2θ=1，综合选项可得结论．【解答】解：由题意可得（+t）2=+2t+令g（t）=+2t+可得△=4﹣4=4cos2θ﹣4≤0由二次函数的性质可知g（t）≥0恒成立∴当t=﹣=﹣cosθ时，g（t）取最小值1．即g（﹣cosθ）=﹣+=sin2θ=1故当θ唯一确定时，||唯一确定，故选：B【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，属中档题．6.已知A，B，P是双曲线上不同的三点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，且是关于x的方程的两个实数根，若，则双曲线C的离心率是（

）A.2 B. C. D.参考答案：B【分析】设P，A点坐标，确定B点坐标，利用韦达定理有，利用斜率公式及P,A在双曲线上建立方程组，即可得出结果.【详解】设点的坐标为，点的坐标为，因为，所以点的坐标为，因为，所以，即，又，在双曲线:上，所以，，两式相减得，即，又因为，所以，所以，所以，，选B．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，列方程消元得到a,b,c的关系式是关键，考查运算求解能力，属于中档题.7.若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，1） B．[﹣，1） C．[﹣2，1） D．（﹣2，1）参考答案：C【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】53：导数的综合应用．【分析】根据题意求出函数的导数，因为函数f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜5﹣a2，进而求出正确的答案．【解答】解：由题意可得：函数f（x）=x3﹣3x，所以f′（x）=3x2﹣3．令f′（x）=3x2﹣3=0可得，x=±1；因为函数f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，其最小值为f（1），所以函数f（x）在区间（a，6﹣a2）内先减再增，即f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜6﹣a2，且f（a）=a3﹣3a≥f（1）=﹣2，且6﹣a2﹣a＞0，联立解得：﹣2≤a＜1．故选：C．8.

等于（

）A.－ B.－ C. D.参考答案：【知识点】诱导公式的应用.C2【答案解析】A

解析：，故选A.【思路点拨】利用诱导公式将所求化为锐角的三角函数求解.9.设向量，若是实数，则的最小值为A. B. C.1 D.参考答案：B略10.

已知方程的两个根分别在（0，1），（1，2）内，则的取值范围为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为

.参考答案：略12.一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等边三角形，若其体积为8，则a=．参考答案：2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由三视图可知：该几何体为正三棱柱，底面正三角形的边上的高为2，棱柱的高为a，即可得出该几何体的体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体为正三棱柱，底面正三角形的边上的高为2，棱柱的高为a，∴底面正三角形的边长=4，∴该正三棱柱的体积V==，解得a=2．故答案为：2．14.若将函数f（x）=x5表示为f（x）=a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋……＋a5（1＋x）5，其中a0，a1，a2，…a5为实数，则a3=______________。参考答案：48014.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=，cosC=﹣，则sinB=_________．参考答案：略15.如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是__________．参考答案：-1816.在等差数列{}中，，则

▲

．参考答案：

略17.设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：①若，，则；

②若，，则；③若，，则；

④若，，，则；⑤若//，，//，则．上面命题中，真命题的序号是

（写出所有真命题的序号）．.参考答案：②⑤三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分7分）在平面直角坐标系xoy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为,直线l的参数方程为:(t为参数),两曲线相交于M,N两点.（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;（Ⅱ）若P(－2,－4),求|PM|+|PN|的值．参考答案：(Ⅰ)(曲线C的直角坐标方程为y2=4x,直线l的普通方程x－y－2=0.…..4分(Ⅱ)直线的参数方程为(t为参数),代入y2=4x,得到,设M,N对应的参数分别为t1,t2则所以|PM|+|PN|=|t1+t2|=…………7分19.（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.已知.（Ⅰ）证明：（Ⅱ）求三棱锥的体积.参考答案：（Ⅰ）证明：连接交于点

又是菱形

而

⊥面

⊥

………6分（Ⅱ）由（1）⊥面，∵∴∴

…………12分20.（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求m的最小值.参考答案：（Ⅰ），所以的最小正周期为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为.

21.如图，正三角形的边长为，，，分别在三边，和上，且为的中点，，，．（1）当时，求的大小；（2）求的面积的最小值及使得取最小值时的值。参考答案：（1）；（2）当时，取最小值．分析：在中，由正弦定理得，…．．2分在中，由正弦定理得．…．．4分由，得，整理得，…．．5分所以．…6分（2）……10分当时，取最小值．……12分22.已知函数（I）求函数的最大值；（Ⅱ）设证明有最大值，且-2＜t＜-1 参考答案：（Ⅰ）f￠(x)＝－xex．当x∈(－∞，0)时，f￠(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(0，＋∞)时，f￠(x)＜0，f(x)单调递减．所以f(x)的最大值为f(0)＝0． （Ⅱ）设h(x)＝－(x2－x＋1)ex＋1，则h￠(x)＝－x(x＋1)ex．当x∈(－∞，－1)时，h￠(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(－1，0)时，h￠(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(0，＋∞)时，h￠(x