高考数学复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系充分条件与必要条件文市赛课公开课一等奖省名师优

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1/53基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引2/53基础知识自主学习3/531.四种命题及相互关系知识梳理若q则p若非p则非q若非q则非p4/532.四种命题真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有

真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们真假性没相关系.3.充分条件与必要条件(1)假如p⇒q，则p是q

条件，同时q是p

条件；(2)假如p⇒q，且q⇏p，则p是q

条件；(3)假如p⇒q，且q⇒p，则p是q

条件；(4)假如q⇒p，且p⇏q，则p是q

条件；(5)假如p⇏q，且q⇏p，则p是q既不充分又无须要条件.相同充分必要充分无须要充要必要不充分5/53知识拓展从集合角度了解充分条件与必要条件若p以集合A形式出现，q以集合B形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又能够叙述为(1)若A⊆B，则p是q充分条件；(2)若A⊇B，则p是q必要条件；(3)若A＝B，则p是q充要条件；(4)若A

B，则p是q充分无须要条件；(5)若A

B，则p是q必要不充分条件；(6)若AB且A⊉B，则p是q既不充分又无须要条件.6/53思索辨析判断以下结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.()(2)命题“若p，则q”否命题是“若p，则綈q”.()(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题.()(4)当q是p必要条件时，p是q充分条件.()(5)当p是q充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.()(6)若p是q充分无须要条件，则綈p是綈q必要不充分条件.()××√√√√7/53考点自测1.以下命题为真命题是_____.(填序号)①答案8/532.(教材改编)命题“若x2>y2，则x>y”逆否命题是________________.依据原命题和其逆否命题条件和结论关系，得命题“若x2>y2，则x>y”逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”.答案解析若x≤y，则x2≤y29/533.(教材改编)给出以下命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”否命题；②命题“假如△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”逆命题；③命题“若a>b>0，则>0”逆否命题；④命题“若m>1，则不等式mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0解集为R”逆命题.其中真命题序号为________.答案解析①②③10/53①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”否命题为：“若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”，依据一元二次方程根判定知其为真命题.②命题“假如△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”逆命题为：“假如△ABC为等边三角形，那么AB＝BC＝CA”，由等边三角形定义可知其为真命题.③原命题“若a>b>0，则>0”为真命题，由原命题与其逆否命题有相同真假性可知其逆否命题为真命题.④原命题逆命题为：“若不等式mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0解集为R，则m>1”，不妨取m＝2验证，当m＝2时，有2x2－6x－1>0，Δ＝(－6)2－4×2×(－1)>0，其解集不为R，故为假命题.11/534.(·北京改编)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”_________________条件.若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边组成四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形对角线，而菱形对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边组成四边形为矩形，而矩形邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”既不充分又无须要条件.答案解析既不充分又无须要12/535.(教材改编)以下命题：①“x＝2”是“x2－4x＋4＝0”必要不充分条件；②“圆心到直线距离等于半径”是“这条直线为圆切线”充分必要条件；③“sinα＝sinβ”是“α＝β”充要条件；④“ab≠0”是“a≠0”充分无须要条件.其中为真命题是______.(填序号)答案②④13/53题型分类深度剖析14/53题型一命题及其关系例1(·徐州一模)有以下四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”逆命题；②“面积相等三角形是全等三角形”否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”逆否命题.其中真命题为_______.(填序号)答案解析①②③15/53①逆命题：“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；②否命题：“面积不相等三角形不是全等三角形”是真命题；③逆否命题：“若x2－2x＋m＝0没有实数解，则m>1”是真命题；④中原命题是假命题，所以它逆否命题也是假命题.16/53(1)写一个命题其它三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式命题，需先改写；②若命题有大前提，写其它三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证实；判断一个命题是假命题，只需举出反例.(3)依据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题是否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题真假.思维升华17/53跟踪训练1(1)命题“若x>0，则x2>0”否命题是________________.答案若x≤0，则x2≤0(2)(·徐州模拟)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”否命题是____________________________.因为一个命题否命题既否定题设又否定结论，所以原命题否命题为“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”.答案解析若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<318/53题型二充分必要条件判定例2(1)(·江苏南京学情调研)已知直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”____________条件.(填“充分无须要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又无须要”)依据直线与平面垂直定义：若直线与平面内任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.现在是直线与平面内给定一条直线垂直，而不是任意一条，故由“l⊥m”推不出“l⊥α”，不过由定义知“l⊥α”可推出“l⊥m”，故填必要不充分.答案解析必要不充分19/53(2)(·泰州模拟)给出以下三个命题：①“a>b”是“3a>3b”充分无须要条件；②“α>β”是“cosα<cosβ”必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”充要条件.其中正确命题序号为_____.答案解析③20/53因为函数y＝3x在R上为增函数，所以“a>b”是“3a>3b”充要条件，故①错；由余弦函数性质可知“α>β”是“cosα<cosβ”既不充分又无须要条件，故②错；当a＝0时，f(x)＝x3是奇函数，当f(x)是奇函数时，由f(－1)＝－f(1)得a＝0，所以③正确.21/53充分条件、必要条件三种判定方法(1)定义法：依据p⇒q，q⇒p进行判断，适合用于定义、定理判断性问题.(2)集正当：依据p，q成立对象集合之间包含关系进行判断，多适合用于命题中包括字母范围推断问题.(3)等价转化法：依据一个命题与其逆否命题等价性，把判断命题转化为其逆否命题进行判断，适合用于条件和结论带有否定性词语命题.思维升华22/53答案解析跟踪训练2(1)(·江苏扬州中学调研)函数f(x)＝＋a(x≠0)，则“f(1)＝1”是“函数f(x)为奇函数”_______条件.(用“充分无须要”“必要不充分”“充要”“既不充分又无须要”填写)则f(－x)＋f(x)＝0，充要23/53(2)(·镇江质检)已知p：关于x不等式x2＋2ax－a≤0有解，q：a>0或a<－1，则p是q___________条件.(用“充分无须要”“必要不充分”“充要”“既不充分又无须要”填写)关于x不等式x2＋2ax－a≤0有解，则4a2＋4a≥0⇒a≤－1或a≥0，从而q⇒p，反之不成立，故p是q必要不充分条件.答案解析必要不充分24/53题型三充分必要条件应用例3已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S必要条件，求m取值范围.由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x∈P是x∈S必要条件，知S⊆P.∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S必要条件，即所求m取值范围是[0，3].∴P＝{x|－2≤x≤10}，解答25/53引申探究1.若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S充要条件.若x∈P是x∈S充要条件，则P＝S，∴方程组无解，即不存在实数m，使x∈P是x∈S充要条件.解答26/532.本例条件不变，若x∈綈P是x∈綈S必要不充分条件，求实数m取值范围.由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，∵綈P是綈S必要不充分条件，∴P⇒S且S⇏P.∴[－2，10]

[1－m，1＋m].∴m≥9，即m取值范围是[9，＋∞).解答27/53充分条件、必要条件应用，普通表现在参数问题求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间关系，然后依据集合之间关系列出关于参数不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值检验.思维升华28/53跟踪训练3(1)(·盐城期中)设集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，集合B＝{x||x＋a|<1}.(1)若a＝3，求A∪B；解不等式x2＋2x－3<0，得－3<x<1，故A＝(－3，1).当a＝3时，由|x＋3|<1，得－4<x<－2，故B＝(－4，－2)，所以A∪B＝(－4，1).解答29/53(2)设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立必要不充分条件，求实数a取值范围.因为p是q成立必要不充分条件，所以集合B是集合A真子集.又集合A＝(－3，1)，B＝(－a－1，－a＋1)，即实数a取值范围是0≤a≤2.解答解得0≤a≤2，30/53典例(1)已知p，q是两个命题，那么“p∧q是真命题”是“綈p是假命题”___________条件.(2)已知条件p：x2＋2x－3>0；条件q：x>a，且綈q一个充分无须要条件是綈p，则a取值范围是__________.等价转化思想在充要条件中应用思想与方法系列1答案解析思想方法指导等价转化是将一些复杂、生疏问题转化成简单、熟悉问题，在解题中经惯用到.本题可将题目中条件间关系和集合间关系相互转化.充分无须要[1，＋∞)31/53(1)因为“p∧q是真命题”等价于“p，q都为真命题”，且“綈p是假命题”等价于“p是真命题”，所以“p∧q是真命题”是“綈p是假命题”充分无须要条件.(2)由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q一个充分无须要条件是綈p，可知綈p是綈q充分无须要条件，等价于q是p充分无须要条件.所以{x|x>a}

{x|x<－3或x>1}，所以a≥1.32/53课时作业33/531234567891011121314151.命题“若α＝，则tanα＝1”否命题是___________________.答案34/532.(教材改编)命题“若a>b，则2a>2b－1”否命题为____________________.∵“a>b”否定是“a≤b”，“2a>2b－1”否定是“2a≤2b－1”，∴原命题否命题是“若a≤b，则2a≤2b－1”.答案解析若a≤b，则2a≤2b－112345678910111213141535/533.已知命题p：“正数a平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它平方等于0”，则q是p_____命题.(填“逆”“否”“逆否”)命题p：“正数a平方不等于0”写成“若a是正数，则它平方不等于0”，从而q是p否命题.答案解析否12345678910111213141536/534.(·重庆改编)“x＞1”是“(x＋2)＜0”___________条件.由x＞1⇒x＋2＞3⇒

(x＋2)＜0，

(x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“x＞1”是“(x＋2)＜0”充分无须要条件.答案解析充分无须要12345678910111213141537/535.(·山东改编)已知直线a，b分别在两个不一样平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”___________条件.若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交.答案解析充分无须要12345678910111213141538/536.已知集合A＝{x∈R|<2x<8}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，若x∈B成立一个充分无须要条件是x∈A，则实数m取值范围是__________.A＝{x∈R|<2x<8}＝{x|－1<x<3}，∵x∈B成立一个充分无须要条件是x∈A，∴A

B，∴m＋1>3，即m>2.答案解析(2，＋∞)12345678910111213141539/537.设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”______条件.由Venn图易知充分性成立.反之，A∩B＝∅时，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC.故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”充要条件.答案解析充要12345678910111213141540/53①123456789101112131415答案解析因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点.由数形结合，可得a≤0或a>1.观察所给条件，依据集合间关系得{a|a<0}

{a|a≤0或a>1}.41/539.(·无锡模拟)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”_____条件.所以f(x)是R上增函数，所以“a>b”是“a|a|>b|b|”充要条件.答案解析充要12345678910111213141542/5310.有三个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”逆命题；②“若a>b，则a2>b2”逆否命题；③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”否命题.其中真命题序号为_____.答案解析①12345678910111213141543/53命题①为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；因为命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，因为x2＋x－6≤0⇔－3≤x≤2，故命题③是假命题.综上知只有命题①是真命题.12345678910111213141544/5311.给定两个命题p、q，若綈p是q必要不充分条件，则p是綈q___________条件.(填“充分无须要”“必要不充分”“充要”“既不充分又无须要”)答案解析充分无须要123456789101112131415∵綈p是q必要不充分条件，∴q⇒綈p但綈p⇏q，其逆否命题为p⇒綈q但綈q⇏p，∴p是綈q充分无须要条件.45/5312.若x<m－1或x>m＋1是x2－2x－3>0必要不充分条件，则实数m取值范围是_______.由已知易得{x|x2－2x－3>0}

{x|x<m－1或x>m＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，答案解析[0，2]12345678910111213141546/5313.若“数列an＝n2－2λn(n∈N*)是递增数列”为假命题，则λ取值范围是___________.若数列an＝n2－2λn(n∈N*)是递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意n∈N*都成立，于是可得3>2λ，即λ<.故所求λ取值范围是[，＋∞).答案解析12345678910111213141547/53*14.(·江苏扬州期中联考)以下四个命题中，真命题个数是______.①“若a＋b≥2，则a，b中最少有一个大于1”逆命题；②存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lga＋lgb；③“全部奇数都