对坐标的曲面积分省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

对坐标曲面积分一、对坐标曲面积分概念与性质二、对坐标曲面积分计算方法三、两类曲面积分之间联络1/35一、对坐标曲面积分概念与性质1.引例设稳定流动不可压缩流体速度场为求单位时间流过有向曲面流量.说明:(1)稳定流动.(2)不可压缩流体.(3)有向曲面.2/35观察以下曲面侧(假设曲面是光滑)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧莫比乌斯带(单侧曲面经典)3/35曲面法向量指向决定曲面侧.决定了侧曲面称为有向曲面,其方向用法向量指向表示:方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧侧要求xyzO在曲面上侧cosg>0，)g在曲面下侧cosg<0．g(比如:由方程z

z(x,y)表示曲面分为上侧与下侧，4/35•设

为有向曲面,其面元在xoy面上投影记为面积为则要求类似可要求5/35处理方法:微积分思想大化小,常代变,近似和,取极限.(1)若是面积为S有向平面,法向量:

流速为常向量:

则流量6/35(2)若是普通有向曲面,法向量:

则流量7/35xyzOV(x,y,z)S

8/35设

为光滑有向曲面,在

上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R叫做被积函数;

叫做积分曲面.或第二类曲面积分.以下极限都存在向量场若对

任

则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标曲面积2.定义.9/35称为Q在有向曲面上对

z,x曲面积分;称为R在有向曲面上对

x,

y

曲面积分.称为P在有向曲面上对

y,z

曲面积分;说明:(1)流过有向曲面流体流量为(2)三个对坐标曲面积分之和简记形式：

10/35假如S是分片光滑有向曲面，则要求:函数在S上对坐标曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标曲面积分之和．(3)在分片光滑曲面上对坐标曲面积分：(4)存在条件:11/35(2)用

ˉ表示

反向曲面,则3.性质(1)若之间无公共内点,则12/35二、对坐标曲面积分计算方法定理:设光滑曲面是上连续函数,则其中假如取曲面∑上侧,则二重积分号前带正号;假如取曲面∑下侧,则二重积分号前带负号．13/35证:说明:

•若则有(前正后负)14/35•若则有(右正左负)顺口溜:一投二代三定向15/35计算曲面积分其中是长方体整个表面外侧，把有向曲面分成以下六部分：上侧；下侧；前侧；后侧；右侧；例34.1.解：左侧.16/35abxyzOc除外，其余四片曲面在yoz面上投影为0，所以：类似地可得：于是所求曲面积分为：17/35解:例34.2计算其中Σ是球面1222=++zyx外侧在0,0³³yx部分.取下侧;取上侧;18/3519/35三、两类曲面积分之间联络(对坐标曲面积分)(对面积曲面积分)实际上,曲面方向使用方法向量方向余弦刻画20/35注:向量形式记有向曲面

单位法向量为令则(A在n上投影)21/35位于原点电量为q点电荷产生电场为解:。求E经过球面:r=R外侧电通量.例34.3.22/35设是其外法线与z轴正向夹成锐角,计算解:例34.4.23/35计算曲面积分其中

解:利用两类曲面积分联络,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分下侧.例34.5.24/35原式=25/35设S是球面外侧,计算解:利用轮换对称性,有例34.6.26/35内容小结定义:1.两类曲面积分及其联络

27/35性质:联络:思索:方向相关,上述联络公式是否矛盾?两类曲线积分定义一个与

方向无关,一个与

28/352.惯用计算公式及方法面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不一样时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(4)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面注：二重积分是第一类曲面积分特殊情况.转化29/35当时，（上侧取“+”,下侧取“

”)类似可考虑在yoz面及zox面上二重积分转化公式.30/35求取外侧.解:注意±号其中备用题例34.7.31/35利用轮换对称性32/35莫比乌斯全名：奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯（AugustFerdiUsMobiUs，1790－1868年）是德国数学家、天文学家。1790年11月17日生于德国瑙姆堡附近舒尔普福塔。1808年入莱比锡大学学习法律，后转攻数学、物理和天文。1814年获博士学位，1816年任副教授，1829年当选为柏林科学院通讯院士，1844年任莱比锡大学天文与高等力学教授。1868年9月26日卒于莱比锡。

莫比乌斯科学贡献包括天文和数学两大领域。在数学方面,首先是他对19世纪射影几何学影响。莫比乌斯发展了射影几何学代数方法。33/35他在《重心计算》（1827年）一书中，创建了代数射影几何基本概念------齐次坐标。在同一著作中他还揭示了对偶原理与配极之间关系，并对交比概念给出了完善处理。他较早对拓扑学作深入探讨并给出恰当提法。另外，莫比乌斯对球面三角等其它数学分支也有主要贡献。

公元1858年，莫比乌斯发觉：把一个扭转180°后再两头粘接起来纸条，含有魔术般性质。

因为，普通纸带含有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面能够涂成不一样颜色；而这么纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫能够爬遍整个曲面而无须跨过它边缘！我们把这种由莫比乌斯发觉神奇单面纸带，称为“莫比乌斯带”。

34/35“莫比乌斯带”在生活和生产中已经有了一些用途。比如，用皮带传送动力机械皮带就能够做成“莫比乌斯带”状，这么皮带就不会只磨损一面了。假如把录音机磁带做成“莫比乌斯带”状，就不存在正反两面问题了，磁带就只有一个面了。

莫比乌斯带是一个拓扑图形,什么是拓扑呢？拓扑所研究是几何图形一些性质，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意变形下保持不变，只要在变形过程中不使原来不一样点重合为同一个点，又不产生新点。换句话说，这种变换条件是：在原来图形点与变换了图形点之间存在着一一对应关系，