概率论多维随机变量及其分布市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

第三章多维随机变量及其分布§1

二维随机变量1、二维r.v.定义:

设E是一个随机试验,样本空间是S={e},设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上r.v.,由它们组成一个向量(X,Y),叫做二维r.v.注:二维r.v.(X,Y)性质不但与X和Y相关,而且还依赖于这两个r.v.相互关系.第1页怎样描述二维r.v.(X,Y)统计规律?

2.二维r.v.(联合)分布函数:第2页图2若将(X,Y)看成平面上随机点坐标,则分布函数F(x,y)值为(X,Y)落在阴影部分概率(如图1)图1第3页二维r.v.分布函数基本性质与一维r.v.分布函数F(x)性质类似:1、F(x,y)是x和y不减函数。3、F(x,y)分别关于x，y右连续。第4页3.下面分别讨论二维离散型和连续型r.v.(一)二维离散型r.v.第5页例1.设r.v.X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,r.v.Y则在1~X中等可能地取一整数,试求(X,Y)分布律.二维离散随机变量分布律第6页(二)二维连续型r.v.第7页第8页第9页§2.边缘分布

一、边缘分布函数：第10页二、边缘分布律：第11页例1(续)Y1234p•j

11/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16

pi•X1/41/41/41/425/4813/487/483/481第12页三、边缘概率密度:第13页第14页注:由二维随机变量(X,Y)概率分布(X,Y)联合分布可唯一地确定X和Y边缘分布,反之,若已知X,Y边缘分布,并不一定能确定它们联合分布.第15页§3.条件分布

一、二维离散型r.v.情况:第16页第17页例1.设(X,Y)分布律为:Y012300.8400.0300.0200.01010.0600.0100.0080.00220.0100.0050.0040.001求在X=1时Y条件分布律.X用表格形式表示为:

k012P{Y=k|X=1}6/92/91/9第18页例2一射击手进行射击,击中目标概率为p(0<p<1),射击到击中目标两次为止,设以X表示首次击中目标进行射击次数,以Y表示总共进行射击次数,试求X和Y联合分布律和条件分布律.第19页第20页二、二维连续型r.v.条件分布首先引入条件分布函数,然后得到条件概率密度.第21页深入能够化为:第22页第23页例3.设数X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0<x<1)时,数Y在区间(x,1)上随机地取值,求Y概率密度.第24页§4.相互独立随机变量

由两个事件相互独立概念可引出两个随机变量相互独立概念.第25页2.等价定义:例:设X和Y都服从参数=1指数分布且相互独立,试求P{X+Y≤1}.第26页第27页3.命题：设(X,Y)服从二维正态分布,则X,Y相互独立充要条件是

=0.第28页5.一个主要定理:设(X1,X2,…,Xm)和

(Y1,Y2,…Yn)相互独立,则Xi(i=1,2,…,m)和Yj(j=1,2,…,n)相互独立,又若h,g是连续函数,则

h(X1,X2,…,Xm)和

g(Y1,Y2,…Yn)

相互独立.4.边缘分布及相互独立性概念能够推广到n维r.v.情况.第29页§5.两个r.v.函数分布(一)和(Z=X+Y)分布:已知X,Y联合密度f(x,y),

求Z=X+Y分布密度.第30页结论:若X,Y是连续型r.v.且X与Y相互独立,则X+Y也是连续型r.v.且它密度函数为X与Y密度函数卷积.第31页例1.(P86)设X和Y相互独立,且都服从N(0,1),求:Z=X+Y分布密度.第32页结论:第33页第34页(二)商(Z=X/Y)分布:当X,Y相互独立时,则有第35页第36页(三)M=max(X,Y)及m=min(X,Y)分布:设X,Y相互独立,分布函数分别为FX(x)和FY(y).首先求M=max(X,Y)分布.第37页第38页推广:设X1,X2,…,Xn相互独立,分布函数分别为F1(x),F2(x),…,Fn(x),

则M=max(X1,X2,…,Xn)分布函数为

FM(z)=F1(z)·F2(z)…Fn(z)

N=min(X1,X2,…,Xn)分布函数为

FN(z)=1-(1-F1(z))·(1-F2(z))…(1-Fn(z))尤其地,当X1,X2,…,Xni.i.d.时,设分布函数为F(x),第39页(四)用“分布函数法”导出两r.v.密度函数关键点:第40页第41页参数为瑞利分布第42页(五)对于离散型r.v.函数分布:设X,Y是离散型r.v.且相互独立,其分布律分别为:P{X=i}=pi,i=0,1,2,3,…,P{Y=j}=qj,j=0,1,2,3,…,求Z=X+Y分布律.解:P{Z=i}=P{X+Y=i}于是有:

这就是Z=X+Y分布律.第43页例5设X,Y是相互独立r.v.,分别服从参数为

1,2泊松分布,试证实Z=X+Y也服从泊松分布.证实:已知P{Z=i}第44页第45页第46页第三章习题课一.主要内容：(1)二维r.v.分布函数,离散型r.v.联合分布,连续型r.v.联合概率密度.(2)边缘分布函数;边缘分布律;边缘概率密度.(3)条件分布律;条件概率密度.(4)随机变量相互独立.(5)两个r.v.函数分布.第47页二.练习题:1.设某人从1,2,3,4四个数中依次取出两个数,记X为第一次所取出数,Y为第二次所取出数,若第一次取后不放回,求X和Y联合分布律.=P{X=i}P{Y=j|X=i}第48页第49页第50页第51页第52页5.设离散型随机变量X与Y分布列分别为X01