高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点教案必修省公开课一等奖新名师优

第三章

函数应用3.1函数与方程3.1.1方程根与函数零点1/46情景引入2/461.函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与x轴交点和对应方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根关系21021新知导学3/462.函数零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使_______成立实数x叫做函数y＝f(x)零点．(2)几何意义：函数y＝f(x)图象与______交点______就是函数y＝f(x)零点．(3)结论：方程f(x)＝0有______⇔函数y＝f(x)图象与x轴有______⇔函数y＝f(x)有______．[知识点拨]并非全部函数都有零点，比如，函数f(x)＝x2＋1，因为方程x2＋1＝0无实数根，故该函数无零点．f(x)＝0x轴横坐标实数根交点零点4/463．函数零点判定定理[知识点拨]判断函数y＝f(x)是否存在零点方法：(1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解．(2)图象法：判断函数y＝f(x)图象与x轴是否有交点．(3)定理法：利用零点判定定理来判断．条件结论函数y＝f(x)在[a，b]上y＝f(x)在(a，b)内有零点(1)图象是__________曲线(2)f(a)f(b)______0连续不停＜5/46预习自测6/46[答案]

B[解析]

f(x)＝－2x＋m零点为4，所以－2×4＋m＝0，m＝8.7/46[答案]

B[解析]函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，即方程x2＋2x＋a＝0没有实数根，所以Δ＝4－4a＜0，得a＞1.8/46[答案]

3[解析]令2x－6＝0，解得x＝3.9/46[答案]

1[解析]由f(a)·f(b)<0知f(x)＝0在[a，b]上最少有一个实数根，又f(x)在[a，b]上为单调函数，从而可知必有唯一实数根．10/46命题方向一求函数零点题型讲解11/4612/46[规律总结]

1.正确了解函数零点：(1)函数零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)依据函数零点定义可知，函数f(x)零点就是f(x)＝0根，所以判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)零点⇔方程f(x)＝0实根⇔函数y＝f(x)图象与x轴交点横坐标．2．函数零点求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)图象联络起来，图象与x轴交点横坐标即为函数零点．13/46跟踪练习14/4615/46命题方向二判断函数零点所在区间16/4617/46[规律总结]判断函数零点所在区间方法：普通而言判断函数零点所在区间方法是将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论．这类问题难点往往是函数值符号判断，可利用函数相关性质进行判断．18/46跟踪练习19/4620/46命题方向三函数零点个数判断21/4622/4623/46[规律总结]判断函数零点个数主要方法：(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y＝f(x)图象，判定它与x轴交点个数，从而判定零点个数．(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点个数．(4)转化成两个函数图象交点问题．24/46跟踪练习25/4626/46命题方向四函数零点应用27/4628/46②当f(0)＝0时，m＝0，方程化为x2＋x＝0，根为x1＝0，x2＝－1，满足题意；③当f(1)＝0时，m＝－2，方程可化为x2＋3x－4＝0，根为x1＝1，x2＝－4，满足题意．总而言之：实数m取值范围为[－2,0]．[规律总结]

1.处理一元二次方程根分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点函数值正负等情况进行求解．29/462．二次函数零点分布问题二次函数零点分布即一元二次方程根分布，普通为下面两个方面问题：(1)一个区间内只有一个根；(2)一个区间内有两个根．因为我们在初中学过方程根情况，有时能够依据判别式及根与系数关系判断，但在多数情况下，还要结合图象，从对称轴、判别式、区间端点函数值等方面去探究．详细解法以下表：30/46设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)对应方程根为x1、x2.31/4632/4633/4634/46跟踪练习35/4636/46[错解]错解一：由题意，得f(1)＝2>0，f(4)＝2>0，所以函数f(x)＝x2－5x＋6在[1,4]上没有零点，即零点个数是0.错解二：∵f(1)＝2>0，f(2.5)＝－0.25<0，∴函数在(1,2.5)内有一个零点；又∵f(4)＝2>0，f(2.5)＝－0.25<0，∴函数在(2.5，4)内有一个零点，∴函数在[1,4]上有两个零点．误区警示37/46[错因分析]对于错解一，是错误地类比零点存在定理，f(a)·f(b)>0时，(a，b)中零点情况是不确定，而错解二出现了逻辑错误，当f(a)·f(b)<0时，(a，b)中存在零点，但个数不确定．[思绪分析]要想准确地判断函数零点个数，要么把它们全部求出来，要么利用函数图象来判断，这才是正确方法．[正解]由题意，得x2－5x＋6＝0，∴x＝2，x＝3，∴函数零点是2,3∴函数在[1,4]上零点个数是2.38/46跟踪练习39/46当堂检测40/46[答案]

D[解析]从图中观察知，只有D中函数图象与x轴没有交点，故选D.[规律总结]依据函数零点概念，函数有零点，即函数图象与x轴有交点．函数图象与x轴有几个交点，函数就有几个零点．41/