专题24双曲线及其标准方程7种常见考法归类

专题24双曲线及其标准方程7种常见考法归类1、双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注：对双曲线定义中限制条件的理解(1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在．(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．2、双曲线的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2注：（1）巧记双曲线焦点位置与方程的关系焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．（2）双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系有何不同？双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中，b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c>0，c与b的大小关系不确定．3、双曲线的定义及应用与焦点有关的问题应考虑利用定义，一些简单的题目，其考查点就是双曲线的定义，合理利用定义往往是优化解题的关键.4、双曲线标准方程的识别将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为eq\f(x2,m)＋\f(y2,n)＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线.若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,n<0，))则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,n>0，))则方程表示焦点在y轴上的双曲线.5、求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．6、双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．[注意]若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.7、双曲线的焦点三角形问题在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．8、双曲线的实际应用双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题．9、椭圆、双曲线特性归纳及应用已知点A(a,0)，B(－a,0)，过A点的直线l1与过B点的直线l2相交于一点M，设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.(1)当k1·k2＝－eq\f(b2,a2)时，点M的轨迹方程为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(x≠±a，a＞b＞0)．(2)当k1·k2＝eq\f(b2,a2)时，点M的轨迹方程为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(x≠±a，a＞0，b＞0)．考点一双曲线的定义及应用考点二双曲线标准方程的识别考点三求双曲线的标准方程考点四根据双曲线的标准方程求相关量考点五双曲线中的焦点三角形问题考点六双曲线的实际应用考点七双曲线的轨迹问题考点一双曲线的定义及应用1．（2023秋·高二课前预习）判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”．（1）平面内到两定点的距离的差等于常数（小于两定点间的距离）的点的轨迹是双曲线.()（2）平面内到点，的距离之差等于的点的轨迹是双曲线．()

（3）平面内到点，的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是双曲线．()（4）双曲线的标准方程中，，的大小关系是.()【答案】错误错误错误错误【分析】根据双曲线的定义及标准方程分析判断即可得解.【详解】解：（1）错误．“平面内到两定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于两定点间的距离）的点的轨迹”才表示双曲线．，的距离之差等于的点的轨迹为双曲线的一支．（3）错误．双曲线的定义中要求“常数小于两定点的距离”，而，不满足定义要求.实际上，平面内到点，的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是两条射线．（4）错误．双曲线的标准方程中，，只要求满足，，与的大小关系不确定．2．（2023·全国·高三专题练习）已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】涉及双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题往往考虑用双曲线的定义求解.【详解】由于，因此满足，的动点P的轨迹均不是双曲线，满足的动点P的轨迹是双曲线的右支，而满足的动点P的轨迹才是双曲线．故选：B．3．（2023秋·高二课时练习）已知，，则动点P的轨迹是（）A．双曲线 B．双曲线左支C．一条射线 D．双曲线右支【答案】C【分析】根据给定条件，得，即可确定轨迹作答.【详解】因为，于是有，所以动点P的轨迹是一条射线．故选：C4．（2023·全国·高三专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（

）A．射线 B．直线C．椭圆 D．双曲线的一支【答案】A【分析】利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得.【详解】设，由题意知动点M满足|，故动点M的轨迹是射线.故选：A.5．【多选】（2023秋·高二课时练习）已知是双曲线的两个焦点．若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，则点M到另一个焦点的距离为（

）A．8 B．10C．22 D．32【答案】BC【分析】利用双曲线定义即可求得结果.【详解】根据题意不妨设，根据双曲线的定义知，即，解得或；故选：BC.考点二双曲线标准方程的识别6．【多选】（2023秋·江苏淮安·高三统考开学考试）若，曲线C的方程为，则（

）A．当时，曲线C表示圆B．当时，曲线C表示两条直线C．当时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆D．当时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线【答案】AB【分析】根据直线、圆、椭圆、双曲线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，，即，表示圆，A选项正确.B选项，，，即，所以，表示两条直线，B选项正确.C选项，，，，方程即，表示焦点在轴上的椭圆，C选项错误.D选项，，，方程即，表示焦点在轴上的双曲线，D选项错误.故选：AB7．【多选】（2023秋·高二课时练习）已知曲线C：，则下列结论正确的是（

）A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若，则C是圆，其半径为C．若，则C是双曲线D．若，，则C是两条直线【答案】ACD【分析】根据不同的取值结合曲线方程的形式逐项判断可得正确的选项.【详解】对于选项A，∵，∴，方程可变形为，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于选项B，∵，∴方程可变形为，该方程表示半径为的圆，故B错误；对于选项C，∵，∴该方程表示双曲线，故C正确；对于选项D，∵，，∴方程变形为，该方程表示两条直线，故D正确.故选：ACD.8．【多选】（2023秋·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考阶段练习）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（

）A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则【答案】BCD【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.【详解】对于A，当时，，则曲线是圆，A错误；对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确；对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确；对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，D正确．故选：BCD9．【多选】（2023·广东韶关·统考模拟预测）曲线C的方程为，则（

）A．当时，曲线C是焦距为的双曲线B．当时，曲线C是焦距为的双曲线C．曲线C不可能为圆D．当时，曲线C是焦距为的椭圆【答案】AD【分析】变形给定的方程，利用各选项的条件，结合圆、椭圆、双曲线的特征判断作答.【详解】对于A，当时，方程化为，曲线是焦距为的双曲线，A正确；对于B，当时，方程化为，曲线是焦点在y轴上，焦距为的椭圆，B错误；对于C，当时，曲线表示圆，C错误；对于D，当时，方程化为，曲线是焦点在x轴上，焦距为的椭圆，D正确.故选：AD10．（2023·全国·高二随堂练习）根据下列条件判断方程表示什么曲线.(1)；(2).【答案】(1)椭圆(2)双曲线【分析】（1）利用椭圆的标准方程判断即可；（2）利用双曲线的标准方程判定即可.【详解】（1）当时，且，故方程表示椭圆；（2）当时，，方程，故表示双曲线；11．（2023秋·安徽安庆·高二安庆市第七中学校考阶段练习）若方程表示双曲线，则的取值范围是．【答案】【分析】根据双曲线方程的特点列不等式求解即可.【详解】由题意得，解得.故答案为：.12．（2023秋·安徽芜湖·高一校考阶段练习）已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的标准方程列不等式求解.【详解】由题意知，，解得，所以实数m的取值范围是.故选：D.13．（2024·全国·高三专题练习）已知方程表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化为双曲线的标准方程，再建立不等式求解即可.【详解】方程可化为：，由方程表示的焦点在y轴的双曲线，得，解得.故选：C.14．（2023·全国·高三专题练习）已知方程表示焦点轴上的双曲线，求实数的取值范围.【答案】【分析】根据双曲线的定义即可求解.【详解】因为方程表示焦点轴上的双曲线，则，解得.所以实数的取值范围为.考点三求双曲线的标准方程15．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】结合题意依次求得，从而得到双曲线的标准方程.【详解】因为双曲线的下、上焦点分别为，，所以设双曲线的方程为，半焦距为；又因为是双曲线上一点且，所以，即，则；所以双曲线的标准方程为.故选：C.16．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（）A．－＝1 B．－＝1C．－＝1 D．－＝1【答案】C【分析】根据双曲线的定义，可得，，由焦点位置可求双曲线的标准方程.【详解】由题意，，，则，，由两焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为.故选：C．17．（2023秋·安徽安庆·高二安庆市第七中学校考阶段练习）以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆的焦点为双曲线的顶点得到双曲线焦点在轴上，，根据椭圆的长轴端点为双曲线的焦点得到，然后根据求双曲线的方程即可.【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为，所以，，，所以双曲线的方程为.故选：B.18．（2023秋·江西南昌·高二校考阶段练习）已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设双曲线方程为，由题意算出即可.【详解】椭圆：，上、下顶点分别为，，上、下焦点分别为，.因为双曲线的焦点与的上、下顶点相同，且经过的焦点，设双曲线方程为，则有，，，所以双曲线的方程为.故选：C19．（2023·全国·高二课堂例题）已知双曲线两个焦点分别为，，并且双曲线经过点，求该双曲线的标准方程．【答案】【分析】根据焦点及双曲线上一点利用待定系数法求解即可.【详解】由于双曲线的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为．已知焦点，及双曲线上一点P，由双曲线的定义可知，因此．又因为，所以．因此，所求双曲线的标准方程为．20．（2023·全国·高二随堂练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)，焦点在x轴上，且过点；(2)，一个焦点的坐标是；(3)经过两点，．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据焦点位置及过点求出得出标准方程；（2）根据焦点及，求出即可得出标准方程；（3）设双曲线方程为，利用待定系数法求解.【详解】（1）由于双曲线的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为．因为双曲线过点，所以，又，解得，，因此，所求双曲线的标准方程为．（2）由题意知，，且焦点在x轴上，所以，故所求双曲线方程为：（3）设双曲线方程为，代入点，，则，解得，所以所求双曲线方程为.21．（2023·全国·高二专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；(2)焦点在轴上，经过点和点．(3)经过点和．(4)已知与椭圆共焦点的双曲线过点【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据焦点坐标、双曲线的定义可得答案；（2）设双曲线的方程为，将两点代入可得答案；（3）设双曲线的方程为，将两点代入可得答案；（4）求出椭圆的焦点坐标可得双曲线的焦点坐标，设所求双曲线的标准方程为，代入点可得答案.【详解】（1）由已知得，，即，∵，∴，∵焦点在轴上，∴所求的双曲线的标准方程是；（2）设双曲线的方程为，则，所以，∴双曲线方程为；（3）设双曲线方程为，将两点代入可得，解得，所以双曲线的标准方程为；（4）设椭圆的半焦距为，则，∴，所以椭圆的焦点坐标为，，所以双曲线的焦点坐标为，，设所求双曲线的标准方程为，则，故所求双曲线方程可写为，∵点在所求双曲线上，∴代入有，化简得，解得或；当时，，不合题意，舍去；∴，∴所求双曲线的标准方程为.考点四根据双曲线的标准方程求相关量22．（2023·全国·高二专题练习）若双曲线的一个焦点是，则k的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将双曲线的方程化为标准方程，由焦点坐标计算即可.【详解】双曲线，化为标准方程为：，一个焦点是，所以焦点在轴上，.所以，，所以，所以，所以.故选：A.23．（2023·全国·高三专题练习）若双曲线的焦距为4，则（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【分析】根据双曲线的性质求解即可.【详解】由题可知，即，又，所以，，且，所以双曲线的焦点在轴上，所以，所以．故选：D.24．（2023秋·高二课时练习）如果双曲线的焦点在轴上，焦距为10，求实数的值．【答案】16【分析】根据双曲线的几何性质，列出方程，即可求解.【详解】由题意，双曲线的焦点在x轴上，焦距为10，可得且，解得.故答案为：1625．（2023秋·江西上饶·高二上饶市第一中学校考阶段练习）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则m=（）A． B．1或2C．1或 D．1【答案】D【分析】根据给定条件，利用焦点位置及半焦距的计算列式求解作答.【详解】双曲线的焦点在x轴上，依题意，，即，又，解得，所以.故选：D考点五双曲线中的焦点三角形问题26．（2023·全国·高二随堂练习）已知双曲线的焦点为，，点M在双曲线上，且轴，求到直线的距离.【答案】【分析】根据双曲线的定义以及焦点三角形中利用等面积法求解即可.【详解】

由题可得，，所以,设，则，解得,由于对称性，不妨取，所以根据双曲线的定义可得，，解得，设到直线的距离为，在直角三角形中，，所以.27．（2024·全国·高三专题练习）若，是双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且，求的大小．【答案】【分析】在焦点三角形中，利用余弦定理求解即可.【详解】如图，由可得，设，则，又，所以，在中，又因为，.28．（2023秋·广东深圳·高二校考期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（）A． B．t C．2t D．4t【答案】B【分析】设，，再根据椭圆与双曲线的定义列式，化简可得，可得是直角三角形，再根据可得面积.【详解】设，，不妨设交点P在第一象限，分别为左右焦点，则①，②，，可得①②2：，∴是直角三角形，①②：，．故选：B29．（2024·全国·高三专题练习）如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积．【答案】48【分析】过点作边上的高，根据所给条件结合双曲线的定义可求出三角形的高，即可求出三角形的面积.【详解】如图，由可得，，，，，过点作边上的高，则，，所以的面积为.30．（2023·全国·高二专题练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，点是双曲线上一点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设点在双曲线的右支上，利用双曲线的定义以及、，利用余弦定理及中线的向量关系可求得的值.【详解】

在双曲线中，，，则，根据对称性，不妨设点在双曲线的右支上，则．因为，所，．在中，，①在中，是中点,则，两边平方可得，所以②所以,,．故选：A.31．（2023秋·高二单元测试）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用离心率定义，斜率公式，三角形面积表示，代入条件即可.【详解】因为离心率为，则，则，所以双曲线方程为，设，则①，因为，所以，所以②，又因为的面积为，所以，即，所以③，由②③得④，将④③代入①得，，所以.故选：D.32．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用双曲线的定义和性质表示出各边长，再利用直角三角形的边角关系及余弦定理求出即可.【详解】由双曲线得出.因为，所以.作于C，则C是AB的中点.设，则由双曲线的定义，可得.故，又由余弦定理得，所以，解得.故选：C33．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的内切圆周长为.【答案】【分析】由双曲线定义可以首先求出，然后由可以求出，最终由直角三角形内切圆半径公式即可求解.【详解】如图所示：设内切圆半径为，切点分别为，由题意，则，所以，由双曲线定义有；又因为，即，所以，因此，从而直角三角形的内切圆半径是，所以的内切圆周长为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：熟练双曲线定义以及直角三角形内切圆半径公式，并合理转换已知条件是解题的关键.34．（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知双曲线，过双曲线的上焦点作圆的一条切线，切点为M，交双曲线的下支于点为的中点，则三角形的外接圆的周长为【答案】/【分析】先求得，根据双曲线的定义求得，从而求得，由得到三角形的外接圆的直径，从而求得三角形的外接圆的周长.【详解】依题意，双曲线，，则，，，所以，所以，设是双曲线的下焦点，设，，根据抛物线的定义可知，，在三角形中，由余弦定理得：，解得，由于是的中点，是的中点，所以，由于三角形是直角三角形，，所以是三角形外接圆的直径，所以外接圆的周长为.故答案为：【点睛】有关直线和圆相切的问题，要把握住圆心和切点的连线与切线垂直.研究双曲线焦点三角形有关的问题，可考虑通过双曲线的定义来列方程，建立等量关系式，从而解决所求问题.直角三角形外接圆的直径是直角三角形的斜边.35．（2023·全国·高二专题练习）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据双曲线的定义得，利用平面几何的知识，两点间线段最短，即可求出最值.【详解】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点，当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，从而，又为定值，所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短），故选：B.36．（2023秋·高二课时练习）已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为.【答案】/【分析】利用双曲线定义将转化，用到右焦点的距离表示，由点与右焦点位于双曲线右支异侧，利用两点之间线段最短可得最小值.【详解】由题意知，.设双曲线的右焦点为，由是双曲线右支上的点，则，则，当且仅当三点共线时，等号成立.又，则.所以，的最小值为.故答案为：.37．（2023秋·全国·高二期中）已知点是双曲线右支上的一点，点、分别是圆和上的点，求的最大值．【答案】【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离，结合双曲线的定义即可求的最大值.【详解】，，，则，故双曲线的两个焦点为，，，也分别是两个圆的圆心，两圆的半径分别为，所以，，则，即的最大值为．考点六双曲线的实际应用38．（2023·全国·高二专题练习）3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出笔筒的轴截面，建立平面直角坐标系，设出双曲线的方程，根据题意写出点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程即可求解.【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以为笔筒对应双曲线的实轴端点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设与分别为上，下底面对应点.由题意可知，设，则，设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以，所以方程可化简为，将和的坐标代入式可得，解得，则笔筒最细处的直径为.故选：C.39．（2004·福建·高考真题）如图，B地在A地的正东方向处，C地在B地的北偏东方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远．现要在曲线上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用分别是a万元/、万元/，那么修建这两条公路的总费用最低是（

）万元 B．万元 C．万元 D．万元【答案】B【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出曲线PQ的方程，再结合两点间距离公式求解作答.【详解】以线段AB的中点O为原点，射线OB为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，如图，则，令点为曲线PQ上任意一点，则，因此曲线PQ是以点A，B为左右焦点，实轴长为2的双曲线右支，其方程为，显然点C在曲线PQ含焦点B的区域内，设，，有，修建这两条公路的总费用，当且仅当时取等号，由，且，解得，即时，所以修建这两条公路的总费用最低是万元.故选：B【点睛】思路点睛：圆锥曲线上的点与一定点和焦点距离和的问题，借助两点间距离公式及点在曲线上进行化简变形即可推理求解.40．（2023秋·全国·高二期中）如图，发电厂的冷却塔被设计成单叶旋转双曲面的形状（双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面），可以加强对流，自然通风.已知某个冷却塔的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m.试选择适当的坐标系求此双曲线的方程.附：【答案】【分析】建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法进行求解即可.【详解】建立如图所示的直角坐标系，设双曲线的标准方程为，由题意可知：该双曲线过，所以有，且，由可得，将其代入，得，即，则，所以双曲线的方程为.41．（2023·高二课时练习）某工程队要在平面内挖一个半圆形的地基，如图，已知挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处，若PA＝100m，PB＝150m，，试说明怎样运土才能最省工？【答案】运土时将双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工．【分析】由题意，做功最少，找到路程相等那些点，可得线段之间的关系，可得这些点的轨迹在双曲线的右支上，可得答案.【详解】以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点，建立直角坐标系xOy．设是沿AP、BP运土同样远的点，则，所以．在△PAB中，由余弦定理得，且．由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上．设此双曲线方程为（，）．因为，解得所以点轨迹是在半圆内的一段双曲线弧．于是运土时将双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工．考点七双曲线的轨迹问题42．（2023·全国·高二课堂例题）动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数，求动点M的轨迹.【答案】点M轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线.【分析】利用两点、点线距离公式列方程，并转化整理即可得轨迹方程，进而判断轨迹.【详解】设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合，则.将上式两边平方，并化简，得，即.所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线.43．（2023·全国·高二随堂练习）已知动点M与两定点，构成，且直线，的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程.【答案】【分析】设出动点M的坐标，再利用斜率坐标公式列式并化简作答.【详解】设点，而点，，在中，，又直线，的斜率存在，即，于是，即，整理得，所以动点M的轨迹方程.44．（2023·全国·高二专题练习）如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为，设动点的轨迹为．求轨迹的方程；【答案】（）【详解】根据两点间斜率公式即可列方程求解轨迹方程，需要注意讨论斜率不存在的情况.【分析】设，当时，直线的斜