新教材讲与练高中数学4（A版选择性必修第一册）模块综合卷

模块综合卷

时间：120分钟分值：150分

第I卷(选择题，共60分)

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的)

1.空间直角坐标系中A,3两点坐标分别为(2,3,5),(3,1,4),则A,3两点间距离为(C)

A.2B.小

C.y[6D.6

解析：空间直角坐标系中A、3两点坐标分别为(2,3,5),(3,1,4),B两点间距离为：

\AB\=[(2-3>+(3-1/+(5-4)2=#.

故选C.

12ff

2.如图所示，平行六面体A3CD-A1BGD1中，E,F分别在囱3和DQ上，KBE=^BBi,DF=^DD^EF=XAB

-\-yAD~\~zAAi,则1+y+z等于(C)

A.11B.0

C.|D.1

—————]—*•—2f2f

解析：EF=EB+BA+AD+DF=~AB+AD+^DD\=-1A4I~AB+AD+^AA\=~AB+AD+^AA\,

ffff1

EF=xAB+yAD+zAA\,/.x=—1,y=l,z=§,

，％+y+z=/.故选C.

3.已知3(220),3(022),C(2,0,2),则A,B,C满足(D)

A.三点共线B.构成直角三角形

C.构成钝角三角形D.构成等边三角形

解析：A(2,2,0),B(0,2,2),C(2,0,2),

\AB\=^/(0-2)2+(2-2)2+(2-0)2=2^2,

|AC|=N(2—2)2+(0—2)2+(2—0)2=2隹

\BC\=，(2—0)2+(0—2>+(2—2>=2^2.

.,.A,B,。三点构成等边三角形.故选D.

4.《九章算术》中记载，堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱

锥.在堑堵ABC-AiBiCi中,ACJ_BC,A3=A4i=d§,平面AiBCi与平面AiBiCi所成的锐二面角为60°,则阳马B-ACCiAi

外接球的直径长为(B)

A.乎B.求

C.#D中

解析：如图，在直三棱柱ABC-Ai51cl中,AC1BC,则AiCi_LBiG,

又CC」AiG,且CGn61cl=G,

・・・AiG_L平面BBiCiC.

可得AiCi_L3C,则NBC3为平面AiBG与平面AiBG所成的锐二面角的平面角为60。，在RtABBG中，BB\

=AA]=y[3,

NBCB=60。，则BC=|=^=1.

则3C=1,在RtZ\AC2中，AB=小,BC=\,则人。=啦.

由BC.LAC,BCICCi,ACACCi=C,得3。，平面A41clC,贝IBCLAiC.取A3的中点O,在RtAAiAB>RtAAiCB

与RtZ\AC山中，可得。到四棱锥RACGAi的顶点相等.即。为四棱锥3-ACCiAi外接球的球心，外接球的直径为

A/=、3+2+l=#.故选B.

5.已知圆的方程为x2+y2+%+2y—10=0,则圆心坐标为(A)

MWt)B.&1)

C.(-1,-2)D.(1,2)

niF

解析：根据题意，圆的方程为f+V+x+Zy—10=0,其中0=1,F=2,则有一,=一1—^=—1,则其圆心

为(一^,一1).故选A.

6.若而cWO,a+8+cWO,且":b=b：c=a,c=上,则直线自一y+左=0必不过(D)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

角星析：abc^O,Q+Z?+CWO,

a-\~bb+ca+c

且----=---

caT=k，

'•a~\-b=ck,b-\-c=ak,a+c=bk,

，2(a+b+c)=(a+b+c)A,»,k=2,

则直线近一y+左=0,即2%—y+2=0,即y=2%+2,

故直线不经过第四象限，故选D.

7.若直线经过A(1,O),3(4,一小)两点，则直线A3的倾斜角为(D)

,兀c九

A6B-3

C弩D手

Jo

解析：若直线经过A(l,0),8(4,一小)两点、,则直线的斜率等于窄?=一坐设直线的倾斜角等于

贝I有tan6=—乎.

再由0W6V兀可得6=不，故选D.

3

8.已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长是8,离心率是本则此椭圆的标准方程是(A)

A.f!+AB.%|=1

靖+袅1D.需+看=1

3c3

解析：由题意知，24=8,解得。=4;又e=z，即W=4，解得。=3;所以。2=*—4=7；又椭圆的焦点在X轴

上，所以椭圆的方程为得+5=1.故选A.

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9.已知圆O：^+产=4上到直线Z：%+y=〃的距离等于1的点至少有2个，则实数。的值可以为(BCD)

A.-5B.-4

C.0D.2

解析：由圆的方程可知圆心为(0,0),半径为2.二•圆上的点到直线/的距离等于1的点至少有2个，，圆心到直线

/的距离dVr+l=3,即1=量＜3,解得一3pVaV3班,结合选项可得，实数。的值可以为-4,0,2.故选BCD.

10.在平面直角坐标系中，下列结论正确的是(ABC)

A.椭圆券+汽=1上一点尸到右焦点的距离的最小值为2

B.若动圆M过点(2,0)且与直线％=—2相切，则圆心M的轨迹是抛物线

C.方程(a+4)2+y2—"a—4)2+仁=6表示的曲线是双曲线的右支

D.若椭圆五十]=1的离心率为受，则实数加=9

解析：对于A,椭圆看+得=1的长半轴长。=5,半焦距c=d25—16=3,.,.椭圆的右顶点到右焦点的距离最小

为a-c=2,故A正确；对于B,若动圆M过点(2,0)且与直线％=—2相切，则圆心M到(2,0)的距离等于到直线犬=

一2的距离，则圆心M的轨迹是抛物线，故B正确；对于C,方程d(%+4)2+y2—ya—4)2+y=6的几何意义是平面

内动点(%,y)到两个定点(一4,0),(4,0)距离差等于6的点的轨迹，表示以(-4,0),(4,0)为焦点，实轴长为6的双曲线

的右支，故C正确；对于D,椭圆适+匕=1的离心率为1,当焦点在y轴上时，a2=m,b2=12,则c=*i—12,则

~\f/i—121

e——/=—=不，解得加=16,故D错误.故选ABC.

y]mz

11.已知圆G：1)2+。-3)2=1和圆C2：(%—2)2+。-4)2=9,M,N分别是圆C1和圆G上的动点，尸为工

轴上的动点，则关于|PM+|PN|的最值，下列正确的是(AD)

A.1PM+IPM无最大值

B.IPM+IPM既有最大值又有最小值

C.IPM+IPN无最小值

D.IPM+IPM的最小值为5啦一4

解析：根据题意，圆G：(x-l)2+(y-3)2=l,其圆心G为(1,3),半径r=1,设圆M与圆Ci关于无轴对称，则

圆M的圆心为(1,-3),半径/=1,圆。2：(%—2>+。-4>=9,其圆心C2(2,4),半径R=3,当尸为直线MC2与

%轴的交点时，则|尸M+|PN|2|MC2|-R-r'=碗1+49—3—1=5啦一4,即甲必+1尸2的最小值为5g一4,当尸在无

轴向左或向右运动时，|PM+|PN|逐渐变大，则|PM+|PN|无最大值，故选AD.

12.在三棱锥P-ABC中，下列结论正确的是(ACD)

A.四个面都可以是直角三角形

B.最多有三个面是直角三角形

C.若NAP3=N3PC=Na4=90。，则△ABC是锐角三角形

D.若尸C=NCR1=6O。，则PC与平面AP3所成角的正弦值是当

解析：对于A,如图.设△ABC是直角三角形，AB±AC,PB1.平面ABC,

则三棱锥PA3C的每个面都是直角三角形，故A正确，B错误;

对于C,如图，若NAP3=N3PC=NCE4=90°,不妨设必=。，PB=b,PC=c,

则AB=y)a2+b2,AC=y]a2+c2,BC=\lb2+c2,

AB2+BC1-AC1

cosZABC=2ABBC

27a2+扶q扶+心>。，

，NA6C是锐角，同理可得NACB,NB4C是锐角，故C正确；

对于D,如图，过。作COL平面R13,垂足为O,过C分别作诩，尸3的垂线，垂足分别为。，E,连接00,

OE,0P,

显然NCP0为PC与平面所成的角，设PC=1,VZCB4=ZCPB=60°,

:.PD=PE=W，

,：PAYCD,PAA-CO,CDC\CO=C,

平面CQO,：.PAYOD,

同理可得PBLOE,又OP为公共斜边，

/.ZOPE=^ZAPB=30°,

1

近

2一-

一3

cosNOPEV23

役

-

3，

故sinNCPO=5^=幸，故D正确.故选ACD.

第II卷(非选择题，共90分)

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知空间向量。=(1,0,2),力=(-2,1,3),则a—2b=(5,—2,—4).

解析：•・・a=(l,0,2),6=(—2,1,3),

，级—25=(1,0,2)—2(—2/,3)=(5,-2,-4).

3

14.已知向量。，y,2)与向量(1,2,4)共线，则％+y=,

解析：•・,向量a=(x,y,2)与向量『=(1,2,4)共线,

.,.b=ma,

则(1,2,4)=加(％,y,2)=(twc,my,2m),

_fm=2,

ri1-nvc,

即<2=my,解得vx=1,

"2"(=i,

13

.'.x+y=H-2=2-

15.在直角坐标系中，直线的倾斜角的范围为此山.

解析：在直角坐标系中，定义直线的倾斜角的范围为[0,兀).

16.经过两点A(0,2),岐闾的椭圆的标准方程为已土(三L

解析：由题意，设椭圆的方程为/千=1,

|4=]

n，m=\,

则<13,解得

〃=4.

I-+-=1,

14mn

.，・椭圆的标准方程为x2+^=l.

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明'证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知圆心为”的圆经过点A(0,4),3(2,0),。(3,1)三个点.

⑴求△ABC的面积；

⑵求圆M的方程.

解：⑴根据题意，4(0,4),5(2,0),则直线A3的方程为5+宠=1,即2%+y—4=0,

点C到直线AB的距离1=|2义；2―4|二邛,

y/4+l5

A(0,4),跃2,0),则依用=[4+16=2小,

则△A8C的面积

S=gx|A8|Xd=3x#^X2币=3,

即△A5C的面积为3;

(2)根据题意，A(0,4),3(2,0),C(3,l),

4—11—0

~z=—1,kc=^~~^=1,则女AcX履c=-1,故直线AC与3C垂直，则△ABC为直角三角形,

0-3B3—2

故圆M的圆心M为A3的中点，即M(l,2),

半径r=1|AB|=1x^4+16=小,

故圆M的方程为(%—1)2+。-2)2=5.

18.(12分)已知空间三点A(0,2,3),8(—2,1,6),C(l,-1,5).

⑴若点。在直线AC上，且BDLAC,求点Z)的坐标；

(2)求以BA,为邻边的平行四边形的面积.

解：(1)AC=(1,-3,2),A£)=/L4C=/l(l,-3,2),

OD~OA=A(1,-3,2),OD=OA+X(\,-3,2)=(2,2-32,3+22),

BD=OD-OB={X,2-3A,3+2Q—(-2,1,6)=(2+2/一3/1,2A-3),

ACBD=(1,一3,2>(2+2,1—3九22—3)=2+2—3+92+42—6=142一7=0,

解得2=；,故8=&,4),喏,1,4)

(2)BA=(2,1,-3),BC=(3,-2,-1),

|BA|=^/22+l2+(-3)2=V14,

|Bq=^/32+(-2)2+(-l)2=V14,

BA-BC=2X3+lX(-2)+(-3)X(-l)=7,

BABC_7_1

cosB=cos<BA,BC〉=--=y[liXy[Ti=2,

\BA\\BC\

sin"坐,S=y)~iix小ix坐■=7小,

所以以区4,3C为邻边的平行四边形的面积为7小.

19.(12分)如图，平行四边形A3C。的边A0所在的直线与菱形A3EF所在的平面垂直，且G3=GE,AE=AF.

(1)求证：平面ACGd_平面AOF；

(2)若AF=2,,求二面角C4G-b的余弦值.从①3C=舟3,②3C=AG这两个条件中任选一个填入

上面的横线上，并解答问题.

解：(1)证明：'：AE=AF,：.AE=AB=EB,

ZkABE是等边三角形，

'：GB=GE,・・・G为BE的中点，故AG_LBE,：.AG-LAF,

•.•AOJL平面：.AD±AG,

'：AFC\AD=A,・・・AG1•平面AO忆

•・・AGU平面ACG,J平面ACG_L平面ADR

⑵选①，

由⑴知AG_L平面4。居

,JBC//AD,BE//AF,BCHBE=B,

，平面3CE〃平面A。居

，AG_L平面BCE,

•:CGU平面BCE,GEU平面BCE,

：.AG±CG,AG-LGE,

NCGE是二面角C-AG-F的平面角,

'：BC=yl2AB=2yj2,BG=1,

.".CG=3,cosNCG3=；,cos^CGE=—^,

工二面角GAG-F的余弦值为一去

选②，

由(1)得AG_L平面AQ忆

,JBC//AD,BE//AF,BCC\BE=B,

，平面3CE〃平面A。尸，...AG，平面3CE,

■:CGU平面BCE,GEU平面BCE,：.AG±CG,AG±GE,

工NCGE即为二面角C-AG-F的平面角，

VBC=AG=A/3,BG=\,：.CG=2,.*.COSZCGB=1

・・・cosNCGE=-g,，二面角C-AG-尸的余弦值为一宗

20.(12分)设直线/的方程为3—l)%+y+a+3=0,(〃WR).

(1)若直线/在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线/的方程；

(2)若直线/不经过第一象限，求实数。的取值范围.

解：(l)a=l时，直线化为y+4=0,不符合条件，应舍去；

当aWl时，分别令％=0,y=0,解得与坐标轴的交点(0,—a—3),o]

•.•直线/在两坐标轴上的截距绝对值相等，

=|一4-3|,解得〃=—3或。=0,a=2.

工直线I的方程为一4x+y=0,—%+y+3=0或％+y+5=0.

(2)直线I的方程(〃一l)%+y+a+3=0化为y=—(a—\)x—a~3.

[一(“—l)W0,

•.•直线/不经过第一象限，，一解得“21.

[―。―3W0,

工实数a的取值范围是

21.(12分)已知椭圆E：=1(。>力>0)的一个焦点为(0,小)，长轴与短轴的比为21.直线Ay=kx+m

与椭圆E交于尸，。两点，其中左为直线/的斜率.

(1)求椭圆片的方程；

(2)若以线段尸。为直径的圆过坐标原点O,问：是否存在一个以坐标原点0为圆心的定圆O,不论直线/的斜率

女取何值，定圆。恒与直线/相切？如果存在，求出圆。的方程及实数机的取值范围；如果不存在，请说明理由.

解：⑴c=4,2a2b=21,a2=b2+c2.

解得a=2,b=l,；・椭圆E的方程为、+♦=：!.

(2)方法一：假设存在定圆。，不论直线/的斜率左取何值时，定圆0恒与直线/相切.

这时，只需证明坐标原点。到直线/的距离为定值即可.

设尸(为，力)，。(及，竺)，联立方程，消去y整理得：

(4+产)砂+2切比+机2—4=0,

/=(2加1)2—4(4+3)(m2—4)>0,得产一机2+4>0,①

~2kmZH2~4

%1+%2=4+女2，为％2=4+7，

•・•以线段P。为直径的圆过坐标原点0,

/.为％2+y1次=x\X2+(kxi+m)(kx2+机)=(1+F)%i%2+ktn(x\+x2)+w2=0,

,_机2—4(—2km],

••・(1+的石下+而吊正|+加=。・

化简得4k2=5m2-4,②

此时，坐标原点O到直线/距离d为：

.一_阿一^/苏/m22y/5

4一同二71+呼一、I,5m^~4~5•

4

由坐标原点。到直线/的距离d=:•为定值知，所以存在定圆。，不论直线/的斜率上取何值时，定圆。恒与

5

4

直线/相切，定圆0的方程为：

得用的取值范围是（一8,一邛耳口+°°j.

方法二：假设存在定圆0,不论直线/的斜率上取何值时，定圆。恒与直线/相切.

这时，只需证明坐标原点。到直线/的距离为定值即可.

设直线0尸的方程为y=%M，W0）,P点的坐标为（%0,yo）,则yo=txo,

4(1+?)

\OP\1=x^+yi=(l+t2)j^=—^p-,①

•・•以线段PQ为直径的圆过坐标原点O,

:.OP±OQ,直线0。的方程为：y=~\x.

・•・在①式中以一:换。得

上「4（1+产），4（1+P）20（l+P）2

又由OPtOQ知,1尸。92=|。尸|2+|00|2=4/+5扁=产/温4，

设坐标原点O到直线/的距离为d,

则有|PQ|d=|OP|QQ|,

4（1+-4（1+户）

.乃_|0尸|2|0。|2_於+4.