第1章导数及其应用专解8-求曲边图形的面积-人教A版高中数学选修2-2

专题八求曲边图形的面积专题八求曲边图形的面积【必备知识点】1.如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：2.如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：3．由三条直线轴及一条曲线（不妨设在区间上，在区间上）围成的图形的面积：＝＋.4.如图，由曲线及直线，围成图形的面积：【典例展示】例1（北京）直线l过抛物线C：的交点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A.B.2C.D.【解析】直线l的方程为y=1，直线l与抛物线交于（-2,1），（2,1）两点，所以l与C围成图形的面积为.答案：C例2．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.【解析】，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=，所以例3．求抛物线与直线所围成的图形的面积.【解析】解法一：解方程组得或即交点.由于阴影的面积不易直接由某个函数的定积分来求得，我们把它合理的划分一下，便于进行积分计算。过点作虚线，把阴影部分分成了两部分，分别求出两部分的面积，再求和.＝＝＝.【思路总结与方法】思路：求曲边图形面积的关键是确定积分的上、下限，并判断出被积函数的上、下位置，若被积函数在x轴下方，则需在函数前加负号.解题步骤：①画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分的上、下限.特别要注意分清被积函数的上、下位置②写出平面图形面积的定积分的表达式.③运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.【巩固练习】1.求曲线与曲线以及轴所围成的图形面积。【解析】所求图形的面积为2.如右图，求直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成的图形面积。【解析】由方程组可得x1=―1，x2=3。令，，取，则，从而。取，则，则。∴。3.计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.【解析】作出直线，曲线的草图，所求面积为上图阴影部分的面积．解方程组得直线与曲线的交点的坐标为（8,4).直线与x轴的交点为（4,0).因此，所求图形的面积为S=S1+S24.求抛物线与直线围成的平面图形的面积.【解析】由方程组解出抛物线和直线的交点为（2,2）及（8,－4）解法一:选x作为积分变量，由图可看出S=A1+A2在A1部分：由于抛物线的上半支方程为，下半支方程为，所以（）（）8,-48（）2,2于是：.解法二:选y作积分变量，将曲线方程写为及.

【课后练习】一、选择题1．如右图所示，阴影部分面积为（）A．B．C．D．2．由抛物线y=x2―x，直线x=―1，x=1及x轴围成的图形面积为（）A．B．1C．D．二、填空题3.由曲线y=x2+1,x+y=3,及x轴,y轴所围成的区域的面积为:.4.如图,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分,则k=.三、解答题5.求曲线与直线轴所围成的图形面积。6．求曲线与轴所围成的图形的面积．7．设是二次函数，方程有两个相等的实根，且。（1）求的表达式；（2）求的图象与两坐标轴所围成图形的面积。【答案与解析】1．【答案】C【解析】由利用定积分求平面图形面积的方法易得。2．【答案】B【解析】。3【答案】【解析】如图3-5-6,S=。4.【答案】1-【解析】抛物线y=x-x2与x轴所围成图形面积S=,直线y=kx与抛物线y=x-x2的交点的横坐标为x=0,1-k,∴S上=,又S=2S上k=1-.6.【解析】7．【解析】首先求出函数的零点：，，.又易判断出在内，图形在轴下方，在内，图形