第十二章全等三角形 常考全等三角形模型专题训练2023-2024学年人教版数学八年级上册

常考全等三角形模型模型1手拉手模型【模型分析】基本图形模型特点AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD，CE结论△CAE≌△BAD(SAS)，BD＝CE，∠BPC＝∠BAC＝α解题思路证明三角形全等的关键：(1)共顶点：加(减)共顶点的公共角∠BAE得一组对应角相等；(2)利用已知两组边相等或者等腰、等边、正方形、菱形等得到两组对应边相等训练1．(2023·齐齐哈尔节选)综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D，则BE与CF的数量关系：__BE＝CF__，∠BDC＝_30__°；(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；解：(2)BE＝CF，∠BDC＝60°.理由如下：∵∠BAC＝∠EAF＝120°，∴∠BAC－∠EAC＝∠EAF－∠EAC，即∠BAE＝∠CAF.又∵AB＝AC，AE＝AF，∴△BAE≌△CAF(SAS)，∴BE＝CF，∴∠AEB＝∠AFC.∵∠EAF＝120°，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，∴∠BDC＝∠BEF－∠EFD＝∠AEB＋30°－(∠AFC－30°)＝60°.(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M，则BF，CF，AM之间的数量关系：____BF＝CF＋2AM___.模型2一线三等角模型【模型分析】基本图形两个三角形在直线同侧，点P在线段AB上，已知：∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD模型特点点P在线段AB上，已知：∠1＝∠2＝∠3和任意一条对应线段相等结论△CAP≌△PBD解题思路证明三角形全等的关键：(1)通过三角形内角和定理找一组相等的角(∠ACP＝∠BPD或∠APC＝∠BDP)；(2)找一组相等的线段训练2．(2023·通辽)如图，等边三角形ABC的边长为6cm，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P需移动__1__s.解析：设点P需移动t秒，点D落在BC边上，如图．∵△PQD是等边三角形，∴∠DPQ＝60°，∴∠BPD＝180°－∠APQ－∠DPQ＝180°－90°－60°＝30°，∴∠BDP＝180°－∠B－∠BPD＝180°－60°－30°＝90°.∠AQP＝180°－∠APQ－∠A＝180°－90°－60°＝30°.∵∠BDP＝∠APQ＝90°，DP＝PQ，∠BPD＝∠AQP＝30°，∴△BDP≌△APQ(ASA)．∴BP＝AB－AP＝6－2t，BD＝AP＝2t，∵∠BPD＝30°，∴BD＝eq\f(1,2)BP，即2t＝eq\f(1,2)(6－2t)，∴t＝1.3．(2023·聊城)如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.(1)求证：∠EAD＝∠EDA；(2)若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．(1)证明：∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠CED，∴∠BAE＝∠CED.在△ABE和△ECD中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠CED，,∠B＝∠C，,BE＝CD，))∴△ABE≌△ECD(AAS)，∴AE＝ED，∴∠EAD＝∠EDA.(2)解：∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED，∴△AED为等边三角形，∴AE＝AD＝ED＝4，则ED边上的高为AE·sin60°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).∴S△AED＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝4eq\r(3).模型3三垂直模型【模型分析】基本图形已知AB⊥BC，DE⊥CE，AC⊥CD和任意一组对应线段相等基本图形已知AB⊥BC，AE⊥BD，CD⊥BD和任意一组对应线段相等解题思路常用三个垂直作为条件进行角度等量代换即同(等)角的余角相等，证三角形全等时必须还要有一组边相等训练4．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，点B，D到直线a的距离分别为1,3，则正方形的边长为()A．eq\r(10) B．2eq\r(3)C．4 D．5答案：A5．(2023·重庆A)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD.过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为__3___．模型4对角互补模型【模型分析】条件BD平分∠ABC，∠ABC＋∠ADC＝180°辅助线作法1过点D分别作BA，BC的垂线结论①△DEA≌△DFC；②AD＝CD辅助线作法2将BD绕点D逆时针旋转与∠ADC相同的度数得到线段DE(1)当∠ABC＝90°将BD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE(2)当∠ABC＝120°将BD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE结论①△BDE为等腰直角三角形；②△DAB≌△DCE；③AB＋BC＝eq\r(2)BD①△BDE为等边三角形；②△DAB≌△DCE；③AB＋BC＝BD训练6．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＋∠BCD＝180°，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，CD＝4，AE＝10，则四边形ABCD的周长是__28__．7.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，G为CD边的中点，点E在边AD上，且DE＝DG，连接BE，过点G作GF⊥BE于点F，连接DF，则DF的长为________．答案：eq\f(9\r(5),5)模型5旋转半角模型【模型分析】含60°半角如图，等腰△ABC中，∠BDC＝120°，∠EDF＝60°结论：①△DEF≌△DGF；②EF＝BE＋CF解题方法：延长AC至点G，使CG＝BE，证明△BDE≌△CDG，再证明△DEF≌△DGF，从而得到线段的数量关系(也可将△BDE进行旋转，使BD与CD重合，此时需证明点F，C，G三点共线)含45°半角1.等腰直角三角形中含半角：如图1，在Rt△BAC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°图1结论：①△AED≌△AEF；②△CEF为直角三角形；③BD2＋CE2＝DE2含45°半角2.正方形中含半角：如图2，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°图2结论：①△AEF≌△AEG；②△AGF为等腰直角三角形；③EF＝BE＋DF含45°半角解题方法：将阴影部分进行旋转或延长一边，与半角构成直角三角形，证明三角形全等，从而得到线段的数量关系(旋转时需证明三点共线)训练8．如图，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF＝45°.若EF＝5，则△AEF的面积为()A．10 B．15C．20 D．25答案：B9．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN.求△AMN的周长．解：如图，延长NC到E，使CE＝BM，连接DE.∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠MBC＋∠DBC＝60°＋30°＝90°，∠DCE＝180°－∠ACD＝90°.又∵BM＝CE，BD＝CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE＝∠BDM，DE＝DM，∴∠NDE＝∠NDC＋∠CDE＝∠NDC＋∠BDM＝∠BDC－∠