2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-2. 1 . 2 两条直线平行和垂直的判定

2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册

2.1.2两条直线平行和垂直的判定

基础过关练

题组一两条直线平行

1.(2022云南曲靖期中)已知直线L经过点A(-1,2),B(-1,4),直线k经过点

P(2,l),Q(x,6),且则x=()

A.2B.-2

C.4D.1

2.若直线11的倾斜角为135°,直线12经过点P(-2,-1),Q⑶-6),则直线11与12

的位置关系是()

A.垂直B.平行

C.重合D.平行或重合

3.(2022重庆西南大学附中月考)若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与方向向量

为a=(-5,5)的直线平行,则实数m的值是()

11

AB

3--3-

C.2D.-2

题组二两条直线垂直

4.已知两条直线L,L的斜率是方程3x2+mx-3=0(mQR)的两个根,则L与L的位置

关系是()

A.平行B.垂直

C.可能重合D.无法确定

5.若不同两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线的斜

率为.

6.(2021黑龙江伊春伊美第二中学期末)(1)直线L经过点A(3,2),

B(3,-L),直线b经过点M(l,1),N(2,1),判断11与B是否垂直;

(2)已知直线L经过点A(3,a),B(a-2,3),直线12经过点C(2,3),D(-1,

a—2),若L_L12,求a的值.

题组三两条直线平行和垂直的应用

7.已知两点A(2,0),B⑶4),直线1过点B,且交y轴于点C(0,y),0是坐标原

点,0,A,B,C四点共圆，则y的值是()

A.19B.—19C.5D.4

4

8.在平面直角坐标系中，以0(0,0),A(l,D,B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列

不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是()

A.(-3,1)B.(4,1)

C.(-2,1)D.(2,-1)

9.(2022四川泸州泸县五中月考)已知li,12不重合,过点A(-2,m)和点B(m,4)的直

线11与直线12平行，直线b的斜率为-2,直线I的斜率为二，若L〃b,12,13,则

n

m+n的值为.

10.(2022吉林长春外国语学校月考)已知在平行四边形ABCD

中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).

(1)求点D的坐标；

⑵试判断平行四边形ABCD是不是菱形.

能力提升练

题组一直线的平行与垂直

1.(2022河北唐山一中月考)已知直线1与过点M(-四,直),N(VX-8)的直线r

垂直,则直线1的倾斜角是()

A.-B.—C.-D.—

3344

2.直线2过点A(m,1)和点B(-l,m),直线b过点C(m+n,n+1)和点D(n+1,n-m),则

直线L与k的位置关系是()

A.重合B.平行

C.垂直D,无法确定

3.(2022山东日照实验高中段考)将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)

的纸折叠一次，使点(2,0)与点(-2,4)重合，点(2021,2022)与点(m,n)重合，则

m+n=(

A.1B,2023C.4043D.4046

4.如图，在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点分别为

A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于端点)，这里a,b,c,p

均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F,若BE±AC,求证:CF,AB.

题组二直线平行与垂直的综合应用

5.(2021浙江丽水外国语实验学校月考)已知A(1,2),B(-L,0),C(2,-1),若存在一

点D满足CDXAB,且CB//AD,则点D的坐标为()

A.(-2,-3)B.(2,-3)

C.(2,3)D.(-2,3)

6.已知4ABC的两个顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则顶点A的坐标为

A.(-19,-62)B.(19,-62)

C.(-19,62)D.(19,62)

7.(2022河北邢台月考)某县相邻两镇在同一平面直角坐标系中的坐标分别为

A(-3,-4),B(6,3),交通枢纽的坐标为C(0,-l),计划经过C修建一条马路1(1看成

一条直线，1的斜率为k),若A,B两个镇到马路1的距离相等,则k=;若

A,B两个镇位于马路的两侧,则k的取值范围为.

8.如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD=5m,

宽AB=3m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问在BC上能否找到一点M,使

得两条小路所在直线AC与DM相互垂直？

答案全解全析

基础过关练

1.A由A,B两点的坐标知L的斜率不存在,又11〃卜,所以x=2.

2.D由题意得，直线L的斜率为tanl35°=-1,直线b的斜率为=T,•••直线

3-(-2)

L与L平行或重合.

易错警示

当两直线的斜率都存在时，由两直线平行可以推出两直线的斜率相等；但由

两直线的斜率相等推不出两直线平行,此时还有可能重合.解题时要注意验证.

3.B由a=(-5,5)得直线的斜率为彳=-1,因此直线PQ的斜率为产解得

-53-(-m)

m=—1.

3

经检验,m=q符合题意,故选B.

4.B由方程3x2+mx-3=0,知A=m2-4X3X(-3)=m2+36>0恒成立,故方程有两个相

异实数根,即L与L的斜率L,k2均存在且不相等.设方程的两根分别为X],X2,则

kik2=xix2=-l,所以li±l2.故选B.

5.答案-1

解析设线段PQ的垂直平分线的斜率为k.易知kpQ=|"F=l,则k-kpQ=-l,解得

3-b-a

k=-l.

6.解析(i)易得直线11的斜率不存在,直线i2的斜率为o,所以iai2.

⑵由题意知,直线L的斜率口可能不存在,直线L的斜率k2一定存在.

当直线L的斜率不存在时,3=a-2,解得a=5,此时k2=0,则LXL,满足题意.

当直线11的斜率存在时,aW5,由斜率公式得k产上二=三,k,=—=—.

a-2-3a-5-1-2-3

由知kik2=_l,即二二一1,解得a=0.

a-5-3

综上所述,a的值为0或5.

7.B由0,A,B,C四点共圆可得四边形0ABC的对角互补.又由题意得NC0A=90°,

所以NCBA=90°,所以AB_LBC,所以RAB•kac=-1,即—>—-=-1,解得y=—・故选B.

3_23-04

8.A由题意得，k()A=1,kAB=—koB=O.

设第四个顶点为C,当点C的坐标为(-3,1)时,k℃=[WkAB,所以四边形OBAC不是平

行四边形；当点C的坐标为(4,1)时,kAC=O=koB,kBc=l=k0A,所以四边形OBCA是平行四

边形；同理，点C的坐标为(-2,1)或(2,T)时,满足题意.故选A.

9.答案-10

解析由题意可得,直线L的斜率为tj又直线12的斜率为-2,且L//L,所以

m+2

解得m=-8.

m+2

由于直线13的斜率为二,所以解得n=-2.

所以m+n=-10.

10.解析(1)设D(a,b),•.•四边形ABCD为平行四边形，

0-2_b-4

涓40解得{£_«**D(-1,6).

{ct~l3-5'

(2)由题意及(1)得kAC=^l,kBD=F=-L

3-1-1-5

，

VkK•kBD=-l,..AC±BD,

J平行四边形ABCD为菱形.

能力提升练

1.C设直线1与直线1'的斜率分别为k,k'.

由题意得k'=*£=T.

—V372

Vl±r,.-.k•k;=-l,.-.k=l.

•・・直线I的倾斜角为:•故选c.

2.C①当m=l时,直线2过点A(l,1)和点B(-L,1),直线b过点C(l+n,n+1)和点

D(n+1,n-1),

此时直线L的斜率ki=o,直线i2的斜率不存在，因此xau

②当m=-l时,直线11过点A(T,1)和点B(-1,-1),直线k过点C(-l+n,n+1)和点

D(n+1,n+1),

此时直线li的斜率不存在,直线12的斜率k2=0,因此11±12.

③当mW±l时，直线L的斜率kx=—,直线1的斜率k=—,此时

-l-m22l-m

kk=-1,liJ_I2.

综上,直线L与12的位置关系是垂直.故选C.

3.C记⑵0),(-2,4)分别为A,B,则kAB=4^=-l-

由题意知，过点(2021,2022)和点(m,n)的直线与直线AB平行，所以上黑=-1,整

m-2021

理得m+n=2021+2022=4043.故选C.

4.证明由题意得,直线BP的斜率为直线AC的斜率为-士，

VBE±AC,•(一£卜一1,即pa=—be.

又直线CP的斜率为上,直线AB的斜率为Y，

cb

5.D设D(x,y).

由CD±AB,且CB/7AD,知kCD-kAB=-l,kCB=kAD,

则IT'解得&二3?'所以D(-2,3).故选D.

(2-(-1)—X-l)

6.A设点A的坐标为(x,y).

由己知得AH±BC,BH±AC,且直线AH,BH的斜率存在,

解得仁=-62,故顶点人的坐标为(-19,-62).

7.答案:或?(-8,|)u(1,+8)

解析若A,B两