高等数学(本科)第六章课后习题解答

习题6.1

1.试说出下列各微分方程的阶数.

(1)x(y)2-2W+x=0；(2)yn+10y=3x2；

(3)盯'"+2y"+/y=0；(4)y⑸+cosy+4x=0；

(5)y⑷一5凸'=0；(6)ym++2y'+3yr+y=九？+1.

解：（1）为一•阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）五阶；（5）四阶；（6）三阶.

2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解.

（1）;(2)yn+y=0,y=3sinx-4cosx；

(3)yN-2yf+y=0,y=x2ex；(4)y"-2y'+y=0,y=e"+6一”.

解：

(1)由y=5/算得y=10x,因此xyf=xA0x=10x2；X2y=10x2,所以得到

xyf=2y,即表明y=5一是微分方程孙，=2y的解.

(2)由y=3sin尤一4cosx算得y'=3cosx+4sinx,y,r=-3sinx+4cosx.

因此得到y"+y'=(-3sinx+4cosx)+(3sinx_4cosx)=0,表明

y=3sinx-4cos冗是微分方程y"+y'=0的解.

(3)由2=自力算得y'=(x2+2x)ex,y»=(x2+4x+2).

因此得到yH-2y'+y=(x2+4x+2)ex-2(x2+2x)ex+x2ex=2*0,表明

y=/-不是微分方程-2y'+y=0的解.

(4)由丁="+*'算得)/=/一二，y"=ex+e-x.

因此得到y,-2y'+y=(ex+)-2(ex-)+(ex+e-x)=3e-x-0,表明

y=e'+不是微分方程y"-2y'+y=0的解.

3.在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解.

(1)(x-2y)y'-2x-y,x2-xy+y2-C；

(2)(盯-x)y"+了+3-2了=0,y=ln(xy).

解:

(1)x2-xy+y2=C两边关于x求导得

2x-(y+xy')+2yy'=0,即得(x-2y)y'=2x-y.

上式即可说明x2-孙+V=。是(x-2y)y'=2x-y的解.

(2)方程y=ln(xy)可化为

y=Inx+lny①

①两边关于x求导得

,11,

y^—+—y

xy

即xyy'=y+xy'②

②两边关于x再求导得

+xy'y'+xyy"=+(/+xy")③

由③整理得到

(xy-x)y"+x(y，)2+yy'-2y'=0.

上式即可说明y=ln(xy)是(封一x)y"+x(yr)2+W-2y'=0的解

4.在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件.

(1)x2-y2-C,y|-5；

x=0

(2)y=(a+Gx>2，,y|o=O,y[o=l；

(3)y=Cysin(x-C9),y|=Ly'|=0.

解：

(1)将初始条件y|=5代入方程/一丁=。中，立得。=02-52=一25.

x=0

(2)由y=(q+。2》好、①，得

2x

y=(C2+2C,+2C2x)e②

将初始条件y|=0,/|=1分别代入①、②式得

x=0x=0

(C,=0,

\1解得G=℃2=L

(3)由y=Gsin(x-G)①，得

r

y=Gcos(x-C2)②

将初始条件yI=l,y|=0.分别代入①、②式得

x=7tx,=n

GsinC2=1,TT

解得G=±1,C2=2kTV±—.

-C]cosC2=0,

5.验证y=C?R①（。为任意常数）是方程3y—孙，=o的通解，并求满足初始条件y|,=上1

-t=,3

的特解.

解：由了=3以2,故3），一孙'=3（。1）一乂3以2）=0,因此y=Cx3是方程3y—x/=0

的通解.又将初始条件y|、T=」代入①，解得c=；.所以，满足初始条件的特解

1,

为y=-x3.

习题6.2

1.求下列微分方程的通解.

(I)xyf-ylny=0；(2)31+5x-5yr=0；

(3)y/l—x2yr=J1-y2；⑷V-H=a(y2+4)；

(5)(1+/历'-e'=0；(6)2x2yyr-y2-1=0；

(7)(l+x2)->>lny=0；(8)x2y'-(x-l)y=0；

(10)生=105；

(9)cosxsinydx+sinxcosydy=0；

dx

解：

(1)xyf-y\ny=0；①

①可化为x—=y\ny②

dx

②为可分岗变量型.分圜变量且两边积分得

{-—dy-f—Jx=>ln(lny)=lnx+InC

}y\ny}x

所以原方程的通解为丁二/，

（2）3x2+5x-5/=0；①

①可化为y'=jx2+X,所以原方程的通解为

y=x2+x卜--xi+^x2+C.

(3)yll-x2y'=yl\-y2；①

①为可分离变量型.分离变量且两边积分得

f,1dy=f,1dx=>arcsinx=arcsiny+C.

(4)y'-xy'a(y2+y,)；①

①可化为上办，=---dx

y\-x-a

上式两边积分得\\dy=af—!—dx^--=-aln|l-x-a|-C

JyJl-x-ay

1

所以原方程的通解为y=--------------

ciln|l-x-a]+C

(5)(\+ex)yy'-ex=0；①

①可化为ydy=——dx

e+1

上式两边积分得「由=/谈三公=(：/=]n(i+/)+；inC,

所以原方程的通解为e'2=C(l+ex/.

(6)2x2yy'-y2-1=0；①

2〉,1，

①可化为-Ydy=­dx

l+yx

上式两边积分得jp-Jx=>ln(l+y2)--^+lnC,

1

所以原方程的通解为l+y2=CeG.

(7)(l+x2)y,-ylny=0；①

①可化为一--dy=-二dx

y\nyl+x

上式两边积分得力=2clx=>ln(lny)=arctanx+InC,

J)'InyJj

所以原方程的通解为iny^CearMnx.

(8)x2y-(x-l)y=0；①

1x—1

①可化为-dy^^-dx

yx

上式两边积分得---dx=>Iny=In尤4--FInC，

X

I

所以原方程的通解为y=Cxex.

(9)cosxsinydx+sinxcosydy=0；①

-cosy.cosx,

①可化为——-dy=------dx

sinysinx

rcosy]rcosx,..[.[厂

上式两边积分得―—-ay=-———dxnInsin=-lnsinx4-lnC，

JsinyJsinx

所以原方程的通解为sinxsiny=C.

(10)生=10"；①

dx

①可化为WvJy=10v^

上式两边积分得flO-vJy=[10vJx=>--=—+—C,

JJIn10In1010

所以原方程的通解为10'+10-v=c.

2.求下列微分方程满足初始条件的特解.

(1)了=/1,)：|=0；

x=0

(2)cosxsinydy=cosysinxdx,y|=一

A=o4

(3)y'sinx=ylny,y|»=e；

x=­2

x

(4)cosydx+(1+e~)sinydy=0,y|()~~

(5)xdy+2ydy^0,y\=1.

x=2

解：

(1)y'^e2x-y,y\=0；①

x=0

①可化为"力=e2xdx

上式两边积分得

^eydy==#'+#

故原方程的通解为2ey=e2x+C②

将v|=0代入②解得。=1.所以原方程的特解为2e>'=e2*+l

x=O

(2)cosxsinyay=cosysinxdx,y\=­；①

A-O4

cmALsiny.sinx,

①可化为一-dy=-------dx

cosycosx

上式两边积分得

fsiny,rsinx,..

----ay=-------Incosy=-Incosx+lncosC

Jcosy.Jcosx

故原方程的通解为cosx=Ccosy②

将v|=；代入②解得C=J2.所以原方程的特解为cosx=J2cosy

x=o4

(3)亦inx=yIny,y\k=e；①

r=­

2

①可化为」一办;Jx

ylnysinx

上式两边积分得

[―5—flX

dy=------dxln(lny)=Intan—+InC

JylnyJsinx2

X

tan-

故原方程的通解为y=Ce2②

(注意：

sec2-]./\

\-^—dx=[-----------------dx=f-------—dx=f-------d\tan—=Intan—+C)

Jsinx.%xJx22J2

2sin—.cos—tan—tan-v7

2222

X

将4=e代入②解得C=1.所以原方程的特解为y=丁方.

x=—

A

(4)cosydx+(1+e-)sinydy=0,y|①

Msiny,

①可化为——^-dy=-————dx

cosyl+e-x

上式两边积分得

O=一号公n-，nCOSy=一J三公

=>Insecy=-ln(l+ev)+lnC

故原方程的通解为secy（l+e'）=C②

jr

将乂=二代入②解得C=2&.所以原方程的特解为sec),(1+/)=2V2.

x=04

(5)xdy+2ydx=0,y\=1.

x=2①

12

①可化为-dy=--dx

yX

将v|=1代入②解得C=4.所以原方程的特解为x2y=4.

x=2

3.质量为1g的质点受外力作用做直线运动，该外力的大小和时间成正比，和质点的速度成

反比.在f=10（s）时，速度等于50（cm/s）,外力为4g.（cm//）.问从运动开始经过了一分

钟后的速度是多少？

解：（一）设在时刻，质点的速度为v（。，加速度为。《），质点所受的外力为F（f）.

由题意知

F=k-（其中女＞0为常数）①

v

又据题意，当f=10（5）时,u=50(cm/s),外力为4g.em/d.故将=10,v=50,F=4

F.v4x50

代入①式，可求得k---=-----=20

t10

因此F=20-②

V

（二）由根牛二定律，有F=ma（机=1）,即

dv„

20-=—,（3）

vdt

③为可分离的,分离变量且两边积分，得：

1,,1

2Qtdt^-v2=10t2+-C

22

即v2=20产+C④

将初始条件v|=50代入④，得C=5（）2-20x102=500,所以

7=10

v=720r+5xl02⑤

（三）当f=l（min）=60（s）时，由⑤式可算得

v=420x6（）2+500=772500~269.3（c〃?/s）

4.已知曲线在任一点处的切线斜率等于这个点的纵坐标，且曲线通过点（0,1）,求该曲线的方

程.

解：设此曲线方程为y=y（x）,山题意知

y'=y，y|c=i①

x=0

①为可分离的，分离变量且两边积分，得：

j—ify=jt/x=>Iny=x+InC

所以方程①的通解为

y=Cex②

将初始条件y|=1代入②，解得C=1.所以所求曲线方程为y=".

x=0

5.求下列微分方程的通解.

(1)—+y^e~x；(2)xyf+y=x2+3x+2；

dx

(3)y'+ycosx=e-"；(4)y'+ytanx=sin2x；

生+2xy=4x；

(5)(6)y--=xsinx；

dxX

?+3y=2；

(7)yr+ay=hsinx；(8)

ax

解：

虫+y=e：;

(1)

dx

原方程为一阶线性微分方程，由公式其通解为

e~xexdx+C

=e-v.[jjx+c]=^-v[x+c]=xe~x+Ce~x.

(2)孙'+)，=/+3x+2；

原方程即为y'+,y=x+3+2工②

XX

②为一阶线性微分方程，由公式其通解为

%+3+2—+c

X

x+3+2—卜dx+C=X23

-1「X31—3x~+22xC+C----1—x+2+C-

x132J32

(3)+ycosx=e-sinx；

原方程为一阶线性微分方程，由公式其通解为

y=一如"[卜』Z+C=e-s'nx[\e-<,n'e<,n'dx+c]

=e-sint.[px+c]=e-sinx[x+C]=xe-sinx+Ce-sinx.

(4)y'+ytanx=sin2x；

原方程为一阶线性微分方程，山公式其通解为

y=[kin2xe^nxd'dx+C=elncost[jsinlxe^xdx+c]

=cosx.fsin2x----dx-\-C

Jcosx

=cosx[-2cosx+C]

dy

(5)—+2xy=4x；

dx

原方程为一阶线性微分方程，由公式其通解为

_|2xdxx

y=eJj*4xJ+C=e~+c]

=ex.卜卜'dQ2)+(7]=e'2/+c]=2+Ce'.

(6)yr--=xsinx；

x

原方程为一阶线性微分方程，由公式其通解为

y=e.JxsinxJ,dx+C=^lnv[jxsinxe-lnvJx+c]

=x.[jsinxdx+c]=x[-cosx+C]=-xcosx+Cx.

(7)y'+纱=/?sinx；

原方程为一阶线性微分方程，山公式其通解为

y=e[历sinxe"dx+C=。一以[p?sinxeaxdx+c]

—-sinxeax----cosxeax+C.

ci4-1a~+1

其中

jsinxeaxdx=—jsinxd(eax)=—[sinxeax-^eaxcosxt/x]

所以(sinxe^dx=〃—sinxe~ax-'cosxeax

J1+tz\_a

----sinxeax——COSV.

a2+1a24-1

(8)虫+3)，=2；

dx

原方程为一阶线性微分方程，山公式其通解为

y=eJ?工+C=[J2e"dx+C]

=e—3x.W/x+c=*+。6一3)

[3J3

6.求下列微分方程满足初始条件的特解.

1\

z)-jtanx=secx,y\=0；

x=0

\

2z)

⑶今+3y=8,)L=2；

dy2-3x2

(4)dx+x3>=1,九=o；

⑸y'-y^2xe\y\=1；

x=0

(6)@+ycotx=5eC|.=-4.

dx

解：

(1)--ytanx=secx,y\-0；

dxr=0

原方程为一阶线性微分方程，由公式其通解为

y=/卜13ns.[卜ecxe「Wx+C=e，8s.[jsecxeln,;<,SA^+c]

secx[jrfx+C=secx[x+C]=xsecx+Csecx.

又将初始条件y\=0代入上式解得C=0.所以原方程的特解为y=xsecx.

x=0

,八dyysinx.,

(2)—+-=-----,y\=1；

dxxx

原方程即为y'+-y^—①

XX

①为一阶线性微分方程，由公式其通解为

y=喏m+C=喏龈Zx+C

=—.[fsinxA-4-c]="[-cosx+C]=-C°SX+C—.②

xJxxx

又将初始条件y|=1代入②式解得C=»-1.所以原方程的特解为

x=n

y=—(7T-I-cosx).

X

(3)农+3y=8,y|=2；①

dxx=0

①为一阶线性微分方程，由公式其通解为

y=ej>8+C=[j8e"dx+c]

_-3.r8c3*t6

=e.—e+C②

33

又将初始条件v|=2代入②式解得C=-W.所以原方程的特解为

x=03

82_3x2(._3x)

y=----e、=—\4—eI

333、r

/,、dy2-3x2.।„

(4)+*y=Lyl=0；①

dxx3日

①为一阶线性微分方程，由公式其通解为

-产咨X.J智)-4+3InAr--^--31n.t

y=e3x.Adx+C=e「\erdx+C

=xV'2.x2dx+C=“HT+C

4「1，1-

=x3ex~.—eJ+C=Cx3exJ+-X3.②

22

又将初始条件y|=0代入②式解得C=所以原方程的特解为

X=12e

y=---1x3ex7+-1x3.

2e2

(5)yf-y=2xex,y\=1；①

J=0

①为一阶线性微分方程，由公式其通解为

y=eJ".ji2xe*eJdx+C==e"[j2Wdx+c]

=ex\x2+c]=x2ex+Cex.②

又将初始条件y|=1代入②式解得C=1.所以原方程的特解为

x=0

y=x2ex+ex.

(6)—+ycotx=5ecos(,y|万=一4.①

dx户3

①为一阶线性微分方程，由公式其通解为

-[cotxdxJ56cos7+C=e,叫佟8szi公+

y=eJc

=.[j5ecosxsinxdx+c]=\-j5eCOSAJ(cosx)+c]

sinx

=-\-5ecmx+c]②

sinx

又将初始条件y|.=-4代入②式解得。=1.所以原方程的特解为

x=—

2

y=—!—[-5^COSJf+l],即ysinx+5ec°sx=l.

sinx

7.已知一阶微分方程生=3x①，求

dx

（1）它的通解；

（2）过点（2,5）的特解；

（3）与直线y=2x-1相切的曲线方程.

解：

（1）由①得方程的通解为y=hxdx=-x2+C.②

J2

3

（2）yl、=2=5代入②解得C=—1，所以特解为y=1x2-l.

（3）设曲线丁=//+。与直线）,二2%一1相切于点（%,%）,则由题意应有

2

—x+|=3x0=2③

l2)E0

且为=2%-1④

21]

将③、④联立解得/=±,凡=-上・故得到初始条件田2=-一，

333

3I

将条件其代入②，易算得。=一1.所以，所求曲线为y=-x2--.

23

8.写出山下列条件确定的曲线所满足的微分方程.

（1）曲线在点（x,y）处的切线斜率等于该点横坐标的平方；

（2）曲线上点P（x,y）处的法线与x轴的交点为。，且线段PQ被y轴平分.

解：

（1）y'=x2；

（2）曲线上点P（x,y）处的法线为

一旧-x）①

令丫=0,解得X=x+yy',故°(x+yy',O).由题意知

(x+W)+x=0,即y=_2x

2y

9.-质量为机的质点做直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致，大小与

时间成正比(比例系数为匕)的力作用于它，此外，还受一与速度成正比(比例系数为期)

的阻力的作用.求质点运动的速度与时间的函数关系.

解：设在时刻/质点的速度为v(f),则由牛二定律有

k.t-kv-m—①且=0.

12

dt-=o

①可化为

dvk[/

——+二y="②

dtmm

②为为一阶线性微分方程，由公式其通解为

。=勺?.所以原方程的特解为

又将初始条件1，L,=0代入③式解得

k2

10.求下列齐次方程的通解.

(1)X—=y+xsec—；(2)(x+y)dx+(y-x)dy=0；

dxx

yyy

(3)xy-y-xex=0；(4)xysin---ysin—+x=0.

xx

11.求贝努利方程的通解.

(1)—+y=y2(cosx-sinx)；(2)—~3xy=xy2；

dx

⑶崇2x)y4；(4)--y=xy5.

dx

解:

(1)—+y=y2(cosx-sinx)；①

dx

令Z(X)=y「2=yT,则呸=_尸包，①可化为

dxdx

--z=(sinx-cosx)②

dx

②为一阶线性微分方程.由公式，有

z=e[j(sinx-cosx)e,"5+(?=[j(sinx-cosx)e~xdx+C

x—cosx-cosxM(eT)(分部)

x-cosx)-je-A(cosx+sinx)dx\

-e~x(sinx-cosx)+Je-A(cosx+sinx)dx

cosx+sinx"("x)(分部)

=-e~x(sinx-cosx)-\e~x(cosx+sinx)-je”(<cosx-sinx词

=-(sinx-cosx)-e"x(cosx+sinx)-『，(sinx-cos无(兜圈子)

故J(sinx-cosx)eTdx=-g"'sinx,所以

z-ex--e~xsinx+C=Cexsinx.

22

所以，原方程的通解为-=Ce'--sinx.

y2

(2)———3xy-xy；①

dx

令Z(x)=/2=/，则以=—y-2dy,①可化为

dxdx

—+3xz=-x②

dx

②为一阶线性微分方程.由公式，有

r——133

-©drr1,-Q*f)1

Z-e」,l-xe1dx+—C-e--\xe-dx+—C

J3J3

12/11

22

-e+-C^-C.e2

3333

aa

所以，原方程的通解为-x2+lnl+-=C.(C=lnC.)

2y

⑶华+=；(l-2x)y4；①

ax33

令z(x)=yi=y-3,则在=_3y-4包，①可化为

dxdx

--z=2x-l②

dx

②为一阶线性微分方程.由公式，有

z-e।J(2x-l)eJ""dx+C=e'[j(2x-l)e-vJx+c]

=e*1J(2x-1)+c]=e'(2x-Ip*-21+C]=-1-2x+C.ex.

即\=-\-2x+C.ex.

y

(4)^--y=xy5.①

dx-

令z(x)=y-5=yY,则也=_4y-5包，①可化为

dxdx

—+4z=-4x②

dx

②为--阶线性微分方程.由公式，有

z=eJ4".[卜4xe"%x+C=e~4x[j-4xe4'dx+C]

4x

=e<1—Jxd(e4x)+c]=e-4'-xe^+Le^+C=1-x+C.^.

即——=—x+C.e八.

y44

12.用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解.

⑴孚=卜+4；

ax

(2)生=」一+1；

dxx-y

(3)xyr+y=y(lnx+Iny)；

(4)yr=y2+2(sinx-l)y4-+sin2x-2sinx-cosx+l.

解：

(1)生=(x+y)2；①

ax

令〃(x)=x+y,贝ij—=1+—,HP—=--1,

dxdxdxdx

①化为—-1=«2②

dx

②为可分离的，分离变量且两边积分，得：

—二du-\dx=>arctanu=x+C

l+M2」

即u=tan(x+C),所以原方程的通解为x+y=tan(x+C),即

y=tan(x+C)-x.

（2）生=」一+1；①

dxx-y

令M（x）=x-y,则也=1-电，即立=-也+1,

dxdxdxdx

①化为一生+1=工+1②

dxu

②为可分离的，分离变量且两边积分，得：

udu=-|jx=>^w2=-x+C

即U2=-2X+C,所以原方程的通解为仁一丁丫二一21+C.

(3)孙，+y=y(inx+lny)；

原方程可化为xy'+y=y.In（孙）①

令w(x)=x.y,贝ij—=xy'+y,①可化为

dx

duu.

——=—.Inw②

dxx

②为可分离的，分离变量且两边积分,得：

1,

.一du—=>ln(lnw)=lnx+lnC

u

即lnu=Cx=>u=ecx,所以原方程的通解为肛=e5.即y^-ecx

X

(4)y'=y2+2(sinx-l)y++sin2x-2sinx-cosx+l.

2

由①得y'=[y+sin/-l『一cosx+l,故y'+cosx=[y+sinx-1]②

令u[x}=y+sinx-l,贝ij—=xyf+y②可化为

dxf

du2

—=u②

dx

②为可分离的，分离变量且两边积分，得:

i

=J"”U1+C

」一.即・

所以原方程的通解为y+sinx-l=-y=1I-sinx----1--

x+Cx+C

习题6.3

1.求下列各微分方程的通解.

(1)y"=x+sinx；(2)yy"+y'2=y'

(4)y"=y'+x；

(5)孙"+y'=0；(6))」(1+e')+y，=0；

(7)丁"=1+产(4)y3y“_]=o

解：⑴y"=x+sinx；

y'=j(x+sinx)rfx=^x2-cosx+C,；

y'=—x2-cosx+G上x=-sinx+Gx+G.

⑵》"+42=y，；

令p(y)=V则)，"=〃亚，原方程化为：y.p包+/=〃，即

ayay

小*一1]

o①

IdyJ

当〃*0时，①可化为

dp,„

y.f+〃-1=0②

dy

②为可分离的.当P"时，分离变量且两边积分，得:

^Y~-dp=^—dy=>-ln(l-p)=\ny-InC{

即y(l-p)=G

所以③

③仍为可分离变量的.分离变量且两边积分，得:

(y-G)+Gdy%

小=>/=

y-G।

ny+Gln(y-G)=x+C2.④

(3)y"-—二"；

-1+x2

y'=[-^rdx-arctanx+C,；

Jl+x21

X

y=J(arctanx+G2=Jarctanx6k+C|X=x.arctanx-2dx+C}x

2

=x.arctanx-ln(l+x)+C1x+C2.

(4)y"=y'+x；

令p(X)=yWy〃=农,原方程化为：虫—p=x①

axax

①为一阶线性微分方程.由公式，有

p=eJkA.JxJ"dx+G=e'[卜/'dx+cj=ex(-xe~x-e~x+Cj)

=Ge'~I~x

即y^C^-l-x

x1

所以'=J(Ci,-1-x)dx-C}e-x-^x+C2.

(5)xy"+y'=O；

令p(x)=)/则上半,原方程化为:x半+p=0①

dxax

①为可分离的.分离变量且两边积分得

即

所以>>=jci-^/x=C1ln|x|+C2.

(6)y”(l+e*)+y'=O：

令P(x)=V则y"=包■，原方程化为：—.(l+ev)+p=0①

dxax

①为可分离的.分离变量且两边积分得

Inp=ln(l+e-A)+InC,=>p-G.(1+e-*)

即y'=G(l+e-x)

所以y=G"+

2

(7)/=i+y;

令p(x)=y'则y"=包■，原方程化为：—=l+p2①

axdx

①为可分离的.分离变量且两边积分得

f一二"dp=\dx=>arctanp-x+Ct=>p-tan(x+C,)

即y'=tan(x+C,)

所以y=Jtan(x+G》x=-lncos(x+G)+C2.

(8)y3/-l=0.

令p(y)=y'则y"=，原方程化为:

dy

/.p宓—1=0

dy

①为可分离变量型.分离变量且两边积分得

JpdP

11.21.

=>-p2=——y+-C..

2221

=P=x-----

y

即n鱼二叵H

dxy

③为可分离变量型.分离变量且两边积分得

=^-.2“]),2-1=x+C2

Gy2_]C2「

化简得=(Gx+(C2=C,C2)

2.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解.

(1)y'"=e2x,y\=yf|=y"\=0；

%=1X=\A-l

(2)y"=e2y,y\=y'\=0；

A-0A-0

(3)y"=36，)L=i，y'lLI；

(4)y"+y'2I，MJ儿。*

解:

(1)y'"^e2x,y\=y，|=)”|=0；

X=IX=Ix=\

y"—^e2'dx-ge“'+G；

①

#；故y"=/x.12

将条件y"\=0代入①，得G=dx=—e2x—e

A=122

11,2lrx=^e2xe2x+C；②

-e2x—e2

y=22

将