2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-强化练7 直线与圆锥曲线的位置关系

2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册

专题强化练7直线与圆锥曲线的位置关系

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1.（2021吉林长春外国语学校期中）已知椭圆2+9=1的一条弦被点（1,1）平分,

那么这条弦所在直线的方程为（）

A.4x+3y-7=0B.4x-3y-7=0

C.3x+4y-7=0D.3x-4y+l=0

2.（2022江西贵溪实验中学期中）斜率为1且过椭圆9x+25y2=225的右焦点的直线

交椭圆于A,B两点,则弦AB的长为（）

A.5B.6

C.—D.7

17

3.（2022河南安阳开学考试）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M（-2,2）,过点F

且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若加•MB=Q,则k=（）

A.V2B.—

2

1

C.-D.2

2

4.（2022河南郑州中学月考）如图，已知抛物线的方程为x2=2py（p>0）,过点A（0,T）

作直线,与抛物线相交于P,Q两点，点B的坐标为（0,1）,连接BP,BQ,设QB,BP的延

长线与x轴分别相交于点M,N.如果直线BQ的斜率与直线BP的斜率的乘积为-3,

则ZMBN=.

22

5.已知双曲线夫-^=l(a>0,b>0)的实轴长为4V3,焦点到渐近线的距离为VI

azbz

(1)求双曲线的标准方程；

(2)已知直线y=yx-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点

D,使命+赤十面(0为坐标原点)，求t的值及点D的坐标.

6.已知抛物线C:y=3x的焦点为F,斜率为|的直线1与C的交点为A,B,与x轴的

交点为P.

⑴若|AF|+|BF|=4,求1的方程；

(2)若屁=3丽,求|AB|.

7.(2021天津一中期中)已知直线x+y-l=0与椭圆CibS^+a2y?=a2b2(a>b>0)相交于

A,B两点,且线段AB的中点M在直线l:x-2y=0上.

（1）求椭圆C的离心率；

⑵若椭圆c的右焦点关于直线1的对称点在圆x2+y2=4上,求椭圆C的方程.

22

8.（2021江苏泰州中学期末）已知椭圆C:J+2=1（a>b>0）的上顶点与左、右顶点

azbz

连线的斜率之积为

4

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若直线y=1（x+l）与椭圆C相交于A,B两点,且AAOB（0为坐标原点）的面积为当,

求椭圆C的标准方程.

22

9.（2022浙江宁波效实中学期中）如图，已知双曲线C的方程为彳―9=l（a>0,b>0）,

azbz

焦点到渐近线的距离为1.M,N两动点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第

一象限和第四象限，P是直线MN与双曲线右支的一个交

点，MP=入~PN,coszMON=|.

⑴求双曲线C的方程；

⑵当人=1时，求两・丽的取值范围；

⑶试用人表示△MON的面积S,设双曲线C上的点与其焦点的距离的取值范围为

集合Q,若（WQ,求S的取值范围.

答案全解全析

22

1.A设这条弦所在的直线与椭圆千+一=1交于P(X1,yj,Q3,y。两点，则

34

停+1=1,①

由中点坐标公式知XI+X2=2,yi+y2=2.

①一②,得4(xi-x2)+3(yi-y2)=0,

.V_y「y2__4

••KPQ

xr-x23

•••这条弦所在直线的方程为y-l=-1(x-l),

即4x+3y-7=0.故选A.

22

2.C由9x+25y2-225得学言=1,即a=25,b=9,所以c=16,故椭圆的右焦点的坐

标为(4,0),直线AB的方程为y=x-4.

y=x-4,

由丫2得34x2-200x+175=0.

—I—=1,

1259

设A(Xi,yi),B(x,y2),则Xi+x=-^,X1X2=?

221734

2

故|AB|=J(1+H)[(%i+%2)-4%1%2]

二"书・故选c

3.D由y2=8x知F(2,0).由题意得kWO.

由匕+2得36=0.

设A(xi,yi),B(x2,y2),则yiy2=-16,yi+y2=8m,

2

x1+x2=my1+2+my2+2=8m+4,XN=,X9上警=4.

易知而=(xi+2,y-2),MB=(x2+2,y2-2),

2

MA・MB=X1X2+2(X1+X2)+4+yiy2-2(yi+y2)+4=4+16m+8+4-16-16m+4=0,化简得

4m2-4m+l=0,解得m=-,故k=—=2.故选D.

2m

4.答案=

解析设直线PQ的方程为y=kx-l设WO),P(xbyj,Q(x2,y2).

由L消去丫,得x?一2pkx+2P=0,

U=2py,

贝ljxi+x2=2pk,XiX2=2p.

因为kBP卫3kBQ卫A

xrx2x2

所以kBp+kBQ=2'/2-2Z+&)=2k.2p-2.2pk0.

%1%22P

又RBP•1<BQ=一3,所以kBP=V3,kBQ=—V3,

所以NBNMg,ZBMN=-,

故NMBN=n-ZBNM-ZBMN=-.

5.解析(1)由题意知a=2V3,所以一条渐近线方程为y=^=x,即bx-2V3y=0,所以

2V3

-7^U=V3,又c2=b2+12,所以b2-3.所以双曲线的标准方程为三g=l.

Vb2+12123

⑵设M(xbyi),N(x2,y2),D(x0,y0),则xi+x2=txo,yi+y2=ty0.

将直线方程与双曲线方程联立,得X2-16V3X+84=0,

则XI+X2=16V3,yi+y2=12.

再一7’所以俨°U但所以t=4,点D的坐标为(4祗3).

瓯—四=1,Wo=3.

6.解析设直线1:y=|x+t,A(xi,yi),B(x2,y2).

⑴由题意得FQ,0),故IAFI+IBFI=X1+X2+|=4,故xi+x2=|.

由y=5、+t,得9x2+12(t-l)x+4t2=0,贝ljX1+X2>竺了.所以-"解得t=q.

(y2=3x,3328

所以1的方程为y=|x-^.

20

(2)由9=3而可得yi=-3y2.

由,丫2+'得y2-2y+2t=0,所以yi+y2=2.

炉—3x,

=—=

所以一3丫2+丫2二2,故y21,yi3.

==

将YI3,y2=-l代入C的方程得Xi=3,X21.

故IABI=J(3-I、+(3+1V;宇

22

7.解析椭圆C:b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0),即京+台1(a〉b>0).

⑴设A,B两点的坐标分别为(X1,y),(X2,y2).

(X+y~l=0,

2222222

由,/旷2_(a+b)x-2ax+a-ab-0.

+京=1

则A=(-2a2)2-4(a2+b2)(a2-a2b2)>0,即a2+b2>l,

2〃2.2b2

Xi+x=-y—,从而yi+y=-(xi+x)+2=--^,

2az+bz2a2z+bz

，点M的坐标为(舟，品).

又点M在直线1上，.••磊-黑『0，

.•.a2=2b2=2(a2-c2),即a=2c2,.*.e=-=—.

a2

⑵由⑴知b=c.设椭圆的右焦点为F(b,0),其关于直线1：X-2y=0,即y=1x的对称

点的坐标为(x0,y0).

.y(r。

,-=-1,x=|b,

x-b0

由0/解得

yo_y。=ib-

22'

:就+y广4,+6b)=4,

.,.b=4,

显然有a?+b2〉L

22

•••椭圆c的方程为？+1=L

84

8.解析(1)由题意知，椭圆的上顶点的坐标为(0,b),左、右顶点的坐标分别为

(-a,0),(a,0),

即a2=4b2,贝(Ja=2b,

a\ay4

又a2=b2+c2,c=V3b,

J椭圆的离心率e上”.

a2

⑵设B(X,

A(xi,yi),2y2),

f—十片=i

由《4b2b2'得2x?+2x+l-4b2=0,

[y=-(x+1),

••X1+X2=­1,X1X2=",

2=x22

/.|ABI=y/k+11xi-x21~J(i+%2)~4x1x2=yV8b-1.

原点0到直线y=-(x+l),即x-2y+l=0的距离d=l°-2><0+1U^,

2心+(-2)2追

•|AB|・d=Y，.,.y/8b2-1=V7,

./=1,满足A=32b-4>0,AaM,

Y2C

•••椭圆c的标准方程为9+y2=l.

4

9.解析(1)双曲线的渐近线方程为bx±ay=0.

设NMON=20.

由a>0,b>0得tan。上,所以cos2。=cos2。-sin2。=1tan6=0&-=">即a2=4b2.

al+tan20a2+b257

易得力2=1,所以b=l,所以a2=4,

vbz+az

2c

所以双曲线C的方程为？v-y2=l.

4

(2)结合(1),设M(2m,m),N(2n,-n),m>0,n>0,

当人=1时,MP=PN,则P(m+n,詈)，

所以空电二型之口,整理得mn=k

44

又两=(租-几等)前=(n~m,

2

所以PA/•?]V=-(m-n)----(m2+n2)+-mn^--X2mn+-mn--l,当且仅当m=n=l

44242

时，等号成立.所以两・丽仁

(3)同(2),设M(2m,m),N(2n,-n),m>0,n>0.

由加二人丽得而_丽=人（ON-'OP）,

即（1+入丽=加+人加

则加两+工讪=(四竽m-A.n\

1+A1+A\1+A1+A)

匚L1、Ic/2m+2>l7im-A.n\

所以P(F-，E)

2m+2An\22

把点P的坐标代入双曲线的方程得-(管)=1,即

（m+入n）2-（m-an）2=（1+入）2,

所F?匚以l、lmn（1=+4）-2.

4Z

当直线MN的斜率不存在时,其方程为x=2m.

当直线MN的斜率存在时，-翳

所以直线MN的方程为y-m二簧（x-2m）,

即(m+n)x-2(m-n)y-4mn=0.

经检验，斜率不存在时，直线方程也满足上式，所以直线MN的方程为

(m+n)x-2(m-n)y-4mn=0,

点0到直线(m+n)X-2(m-n)y-4mn=0的距离d=1厂"卬=1<九=,

JI(m+n)2+4(m-n)2J(m+n)2+