（挑战压轴）专项28.3 锐角三角函数实际应用-三角形+矩形模型解析版

（挑战压轴）专项28.3锐角三角函数实际应用-三角形+矩形模型【方法技巧】已知AB、BE的长度及∠DBE，∠DAC或∠DFC）的度数，过较短的边AB作高BE，构造矩形和直角三角形，先解直角三角形，再利用加减求解。1．（2022•澄迈县模拟）如图，某教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶部A在地面上的影子F与墙角C的距离为18m（B、F、C在同一直线上）．求教学楼AB的高；（结果保留整数）（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，则四边形BCEG是矩形，∴BC＝EG，BG＝CE＝2m设教学楼AB的高为xm，∵∠AFB＝45°，∴∠FAB＝45°，∴BF＝AB＝xm，∴EG＝BC＝（x+18）m，AG＝（x﹣2）m，在Rt△AEG中，∠AEG＝22°∵tan∠AEG＝，∴tan22°＝，∴，解得：x≈15m．答：教学楼AB的高约为15m．2．为了方便学校蓝球队晚间训练，学校操场安装了高杆灯照明（如图所示），俊强和同学们想知道高杆灯的高度，进行了如下测量工作：俊强同学在A处用自制的测倾器测得灯杆顶部D的仰角为22°，朝着灯杆向前走12米到达点B处，测得灯杆顶部D的仰角为45°，已知俊强眼睛到地面的距离为1.7米（即图中AE、BF的长），求灯杆DC的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．）【解答】解：连接EF并延长，交CD于点G，则EG⊥CD，AB＝EF＝12米，FG＝BC，AE＝BF＝CG＝1.7米，在Rt△DFG中，∠DFG＝45°，则DG＝FG，设DG＝FG＝x米，则EG＝（x+12）米，在Rt△DEG中，∠DEG＝22°，tan22°＝≈0.40，解得x＝8，∴CD＝DG+CG＝8+1.7≈10（米）．即灯杆CD的高度约为10米．3．（2020•新宾县模拟）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，∴CO＝AO•tan60°＝100（米）．设PE＝x米，∵tan∠PAB＝＝，∴AE＝2x．在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝100﹣x，PF＝OA+AE＝100+2x，∵PF＝CF，∴100+2x＝100﹣x，解得x＝（米）．答：电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为（米）．4．（2015•通辽）如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC＝25米，与凉亭距离CE＝20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）【解答】解：过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，∴设EF＝x，则FC＝x，∵CE＝20米，∴x2+（x）2＝400，解得：x＝10，则FC＝10m，∵BC＝25m，∴BF＝NE＝（25+10）m，∴AB＝AN+BN＝NE+EF＝10+25+10＝（35+10）m，答：建筑物AB的高为（35+10）m．5．（2018•黄冈）如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，楼高AB＝60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；（2）求斜坡CD的长度．【解答】解：（1）在直角△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝60°，AB＝60米，则AC＝＝＝20（米）答：坡底C点到大楼距离AC的值是20米．（2）设CD＝2x，则DE＝x，CE＝x，在Rt△BDF中，∵∠BDF＝45°，∴BF＝DF，∴60﹣x＝20+x，∴x＝40﹣60，∴CD＝2x＝（80﹣120）（米），∴CD的长为（80﹣120）米．6．如图，为了测量小河对岸大树BC的高度，小明在点A处测得大树顶端B的仰角为37°，再从点A出发沿倾斜角为30°的斜坡AF走4m到达斜坡上点D，在此处测得树顶端B的仰角为26.7°．求大树BC的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan37°≈0.75，tan26.7°≈0.5，≈1.73．）【解答】解：如图，过点D分别作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分别为G，H．在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，∵sin30°＝，cos30°＝，∴DG＝AD•sin30°＝2m，AG＝AD•cos30°＝2m，在Rt△ABC中，tan37°＝，∴BC＝tan37°•AC，在Rt△BDH中，tan26.7°＝，∴BC﹣2＝tan26.7°（AC+2），∴tan37°•AC﹣2＝tan26.7°（AC+2），即0.75AC﹣2≈0.5（AC+2），∴AC＝（4+8）m．∴BC＝0.75×（4+8）＝3+6≈11.2m．答：大树BC的高度约为11.2m7．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．求标识牌CD的高．【解答】解：过点B作BF⊥EA，交EA的延长线于点F，作BG⊥DE于点G．则BF＝EG，BG＝EF，在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，AB＝10米，sin30°＝，cos30°＝，∴BF＝5米，AF＝米，∵AE＝10米，∴BG＝EF＝AF+AE＝（10+5）米，在Rt△BCG中，∠CBG＝45°，∴BG＝CG，即CG＝（10+5）米，∴CE＝CG+EG＝（15+5）米，在Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝10米，tan60°＝，∴DE＝10米，∴CD＝CE﹣DE＝15+5﹣10＝（15﹣5）米．即标识牌CD的高为（15﹣5）米．∴渔轮的航程BC约为10海里，海军舰艇的航程AB约为26海里．8．春节期间，小明发现远处大楼的大屏幕时出现了“新年快乐”几个大字，小明想利用刚学过的知识测量“新”字的高度：如图，小明先在A处，测得“新”字底端D的仰角为60°，再沿着坡面AB向上走到B处，测得“新”字顶端C的仰角为45°，坡面AB的坡度i＝1：，AB＝50m，AE＝75m（假设A、B、C、D、E在同一平面内）．（1）求点B的高度BF；（2）求“新”字的高度CD．（CD长保留一位小数，参考数据≈1.732）【解答】解：（1）如图，过B作BG⊥CE于G，∵坡面AB的坡度1：，∴tan∠BAF＝1：＝，∴∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝25（m）；（2）由勾股定理得，AF＝＝＝25（m），∴BG＝FE＝AF+AE＝（25+75）（m），在Rt△DAE中，tan∠DAE＝＝tan60°＝，∴DE＝AE＝75（m），∵∠CBG＝45°，∴△CBG是等腰直角三角形，∴CG＝BG＝（25+75）m，∵GE＝BF＝25m，∴CD＝CG+GE﹣DE＝25+75+25﹣75＝100﹣50≈13.4（m），答：“新”字的高度CD约为13.4m．9．如图，某大楼（DE）的顶部树有一块广告牌CD，实践小组在斜坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°．已知斜坡AB的坡比为1：，AB＝10米，AE＝15米．求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）【解答】解：过点B作BM⊥DE于点M，作BH⊥EA的延长线于点H，∴BH＝ME，BM＝EH，∠CBM＝45°，∠DAE＝60°，在Rt△ABH中，AB＝10米，斜坡AB的坡比为i＝1：＝tan∠BAH＝，设BH＝x米，则AH＝（x）米，由勾股定理