山东省聊城市冠城镇高级中学高三数学文联考试卷含解析

山东省聊城市冠城镇高级中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是虚数单位，则满足的复数为

A.

B.

C.

D.参考答案：B略2.已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,－1)，则E的方程为（

）A. B. C. D.参考答案：D设，直线的斜率，，两式相减得，即，即，，解得：，方程是，故选D.3.已知圆C：（x+1）2+y2=r2与抛物线D：y2=16x的准线交于A，B两点，且|AB|=8，则圆C的面积（）A．5π B．9π C．16π D．25π参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的准线，进而求出弦心距d，结合，可得答案．【解答】解：抛物线D：y2=16x的准线方程为x=﹣4，圆C的圆心（﹣1，0）到准线的距离d=3，又由|AB|=8，∴=25，故圆C的面积S=25π，故选：D【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，熟练掌握抛物线的性质，是解答的关键．4.将一枚硬币连续抛掷次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则的最小值为（

）A．4

B．5

C.

6

D．7参考答案：A由题意得,选A.5.已知，则的值为

（）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.设向量，，且，则等于（A）（B）（C）（D）参考答案：D略7.命题甲:或;命题乙:,则甲是乙的

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件C.充分必要条件

D.既不充分条件也不必要条件参考答案：B略8.在区间上任意取两个实数，则函数在区间上有且仅有一个零点的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.黄金矩形是宽（b）与长（a）的比值为黄金分割比的矩形，如图所示，把黄金矩形ABCD分割成一个正方形ADEF和一个黄金矩形BCEF，再把矩形BCEF分割出正方形CEGH．在矩形ABCD内任取一点，则该点取自正方形CEGH内的概率是（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】设矩形的长，宽分别为,所以，把黄金矩形分割成一个正方形和一个黄金矩形,所以，设矩形的面积为,正方形的面积为,设在矩形内任取一点，则该点取自正方形内的概率是,则，故本题选C.10.函数的零点的个数为（

）A．0 B．1

C．2

D．3参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设过曲线f（x）=﹣ex﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．参考答案：[﹣1，2]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）=﹣ex﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1，∵ex+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．故答案为：[﹣1，2]．12.不共线向量，满足，且，则与的夹角为．参考答案：【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】设与的夹角为θ，利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积的定义，求得cosθ的值，可得θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，∵不共线向量，满足，且，则θ∈（0，π），∴（﹣2）=﹣2=﹣2||?||cosθ=﹣2cosθ=0，∴cosθ=，∴θ=，故答案为：．13.过点的直线与圆交于两点，为圆心，当时，直线的一般式方程为

参考答案：14.已知函数，则________.参考答案：略15.若对，，总有不等式成立，则实数a的取值范围是

．参考答案：16.已知，则的值为

参考答案：略17.________．参考答案：【知识点】三角函数的求值.C7【答案解析】解析：解：由题意可得【思路点拨】根据诱导公式化简求值.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．（Ⅰ）求证：DC2=DE?DB；（Ⅱ）若CD=2，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定；相似三角形的性质．【专题】选作题．【分析】（I）先证明△BCD∽△CED，可得，从而问题得证；

（II）OD⊥AC，设垂足为F，求出CF=，利用DC2=CF2+DF2，建立方程，即可求得⊙O的半径．【解答】（I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD=∠CBD∵∠ABD=∠ECD∴∠CBD=∠ECD∵∠BDC=∠EDC∴△BCD∽△CED∴∴CD2=DE?DB．

（II）解：设⊙O的半径为R∵D是弧AC的中点∴OD⊥AC，设垂足为F在直角△CFO中，OF=1，OC=R，CF=在直角△CFD中，DC2=CF2+DF2∴∴R2﹣R﹣6=0∴（R﹣3）（R+2）=0∴R=3【点评】本题是选考题，考查几何证明选讲，考查三角形的相似与圆的性质，属于基础题．19.已知数列，设,数列。（I）求证：是等差数列；（II）求数列的前n项和Sn；参考答案：

于是两式相减得

……12分

略20.已知椭圆的离心率是，过点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆截得的线段长为．（F1，F2分别为左，右焦点）（1）求椭圆的标准方程；（2）过F2的直线l′交椭圆于不同的两点M，N，则△F1MN内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线l′方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题可得：，解出即可得出．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆半径是R，则△F1MN的周长是4a=8，，因此最大，R就最大，．由题知，直线的斜率不为0，可设直线的方程为x=my+1，与椭圆方程联立得，（3m2+4）y2+6my﹣9=0，解出可得面积，通过换元再利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由题知椭圆过点．由题可得：，解得：．所以，椭圆方程为：．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆半径是R，则△F1MN的周长是4a=8，，因此最大，R就最大，．由题知，直线的斜率不为0，可设直线的方程为x=my+1，由得，（3m2+4）y2+6my﹣9=0，解得，则，令，则t≥1，=，设，f（t）在[1，+∞）上单调递增，所以，f（t）≥f（1）=4，，因为，所以，此时所求内切圆的面积最大值是，故直线方程为x=1时，△F1MN内切圆面积最大值是．21.已知向量，，，，函数。（1）求的最小正周期；（2）在△中，、、分别为角、、的对边，为△的面积，且，，，求时的值。参考答案：略22.已知的三个内角所对的边分别为,向量，