江苏省无锡市夏港中学高三数学理测试题含解析

江苏省无锡市夏港中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，双曲线的中心在坐标原点，

分别是双曲线虚轴的上、下顶点，是双曲线的左顶点，为双曲线的左焦点，直线与相交于点.若双曲线的离心率为2，则的余弦值是

（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：C略2.若把函数的图象向右平移（）个单位后所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A3.对任意的正实数a及，下列运算正确的是（）A.

B.

C.

D.参考答案：D由指数运算性质，易知答案选D4.命题“存在R，使得0”的否定是

（

）A、不存在R,使得>0

B、存在R,使得0

C、对任意的R,使得0

D、对任意的R,使得>0参考答案：略5.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油参考答案：D【考点】35：函数的图象与图象变化．【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题．6.已知a∥α，b?α，则直线a与直线b的位置关系是（）A．平行 B．相交或异面 C．异面 D．平行或异面参考答案：D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题．【分析】由直线a∥平面α，直线b在平面α内，知a∥b，或a与b异面．【解答】解：∵直线a∥平面α，直线b在平面α内，∴a∥b，或a与b异面，故答案为：平行或异面，【点评】本题考查平面的基本性质及其推论，解题时要认真审题，仔细解答．7.正项等比数列满足：，若存在，使得，则的最小值为()A.

B.

C.

D.参考答案：C【知识点】等比数列及等比数列前n项和.D3

解析：：∵正项等比数列满足：∴即：，解得（舍），或∵存在，使得∴∴m+n=6，

∴

∴的最小值为．【思路点拨】正项等比数列满足：，知q=2，由存在，使得，知m+n=6，由此问题得以解决．8.已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（）A．2 B．﹣2 C．﹣98 D．98参考答案：B【考点】函数的值．【分析】利用函数的周期性、奇偶性求解．【解答】解：∵f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，∴f（7）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故选：B．9.复数z=(1-2i)i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(A)第一象限

（B)第二象限

（C)第三象限

（D)第四象限参考答案：A10.平面向量a与b的夹角为，，

则(

)A．

B．

C．4

D．12参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号

（写出所有真命题的序号）.参考答案：考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。真命题的序号是(1)(2)12.展开式中的系数为__________.

参考答案：略13.化简：

参考答案：-514.对一块边长为1的正方形进行如下操作:第一步,将它分割成3x3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积；第二步,将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作,得到图②;依此类推，到第?步,所得图形的面积.若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则(I)当n=1时,所得几何体的体积V1=______.

(II)到第n步时，所得几何体的体积Vn=______.参考答案：

15.已知函数，且实数满足，，则的最大值为

．参考答案：16.已知函数f(x)=2x的反函数是y=g(x)，令h(x)=g(1-|x|)，则关于函数h(x)有下列命题：

①h(x)的定义域是(—1，1)；

②h(x)是奇函数；

③h(x)的最大值为0；

④h(x)在(—1，0)上为增函数．

其中正确命题的序号为

(注：将所有正确命题的序号都填上)参考答案：答案：①③④17.已知向量，，向量，用，表示向量，则=

▲

．参考答案： 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆C：（x+1）2+y2=8，过D（1，0）且与圆C相切的动圆圆心为P，（1）求点P的轨迹E的方程；（2）设过点C的直线l1交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l2交曲线E于R，T两点，且l1⊥l2，垂足为W．（Q，S，R，T为不同的四个点）①设W（x°，y°），证明：；②求四边形QRST的面积的最小值．参考答案：（1）解：设动圆半径为r，则，由椭圆定义可知，点P的轨迹E是椭圆，其方程为．（2）①证明：由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，则有，又因Q，S，R，T为不同的四个点，．②解：若l1或l2的斜率不存在，四边形QRST的面积为2．若两条直线的斜率存在，设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1（x+1），联立，得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，则，同理得，∴，当且仅当2k2+1=k2+1，即k=±1时等号成立．综上所述，当k=±1时，四边形QRST的面积取得最小值为．略19.在平面直角坐标系中，圆交轴于点，交轴于点.以为顶点，分别为左、右焦点的椭圆，恰好经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设经过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.参考答案：（1）由已知可得，椭圆的焦点在轴上.设椭圆的标准方程为，焦距为，则，∴，∴椭圆的标准方程为.又∵椭圆过点，∴，解得.∴椭圆的标准方程为.（2）由于点在椭圆外，所以直线的斜率存在.设直线的斜率为，则直线，设.由消去得，.由得，从而，∴.∵点到直线的距离，∴的面积为.令，则，∴，当即时，有最大值，，此时.所以，当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值.20.如图1,在直角梯形中,,,,点为中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.（I）在上找一点,使平面;（II）求点到平面的距离.

参考答案：:(1)取的中点,连结,

------2分在中,,分别为,的中点

为的中位线

平面平面

平面

-----6分(2)

设点到平面ABD的距离为平面

而即三棱锥的高,即

------12分21.（本题满分12分）我校社团联即将举行一届象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影响.（Ⅰ）求比赛进行局结束，且乙比甲多得分的概率；（Ⅱ）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．参考答案：解（Ⅰ）由题意知，乙每局获胜的概率皆为.…………1分比赛进行局结束，且乙比甲多得分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则.

…………4分（Ⅱ）由题意知，的取值为.

………5分则

…………6分

…………7分

…………9分所以随机变量的分布列为………10分ks5u则…………1222.已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn=（n∈N*），（Ⅰ）求证数列{an}是等差数列；（Ⅱ）设bn=，Tn=b1+b2+…+bn，求Tn．参考答案：考点：数列的求和；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2），可得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，数列{an}的各项均为正数，可得an﹣an﹣1=1（n≥2）．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，利用“裂项求和”即可