河南省商丘市老颜集中心校高三数学理测试题含解析

河南省商丘市老颜集中心校高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，，则的值为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A略2.执行如图所示的程序框图，那么输出的的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，类比此方法，若一个三棱锥的体积V=2，表面积S=3，则该三棱锥内切球的体积为（）A．81π B．16π C． D．参考答案：C【考点】类比推理．【分析】根据类似推理可以得到一个三棱锥分为以内切球半径为高，以原三角锥四个面为底的四个三角锥，利用等体积求出内切球半径，即可求出该三棱锥内切球的体积．【解答】解：由一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，可以类比一个三棱锥分为以内切球半径为高，以原三角锥四个面为底的四个三角锥，设三棱锥的四个面积分别为：S1，S2，S3，S4，由于内切球到各面的距离等于内切球的半径∴V=（S1×r+S2×r+S3×r+S4×r）=S×r∴内切球半径r===2，∴该三棱锥内切球的体积为π?23=．故选：C4.已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】3O：函数的图象．【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，故选：A．5.一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为（）A．50 B．80 C．90 D．100参考答案：C【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意得这个小球在这次运动中所经过的总路程Sn=2×10+2×10×+2×10×（）2+2×10×（）3+…+2×10×（）n﹣10，由此利用极限思想能求出结果．【解答】解：∵一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，∴这个小球在这次运动中所经过的总路程为：Sn=2×10+2×10×+2×10×（）2+2×10×（）3+…+2×10×（）n﹣10=2×﹣10，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程：S=={2×﹣10}=2×﹣10=90．故选：C．【点评】本题考查小球在运动中经过路程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和极限思想的合理运用．6.已知要得到函数的图像，只需将函数的图像 （

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：C略7.设ΔABC的三边长分别为，ΔABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B8.已知函数对定义域内的任意都有=，且当时其导函数满足若则A．

B．C．

D．参考答案：C略9.在平面直角坐标系xOy中，设不等式组，所表示的平面区域为D，若D的边界是菱形，则ab=

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B10.设i是虚数单位，复数z满足z?（1+i）=﹣i，则复数z的虚部等于（）A．﹣ B． C．2 D．﹣参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】z?（1+i）=﹣i，可得z?（1+i）（1﹣i）=﹣i（1﹣i），化简即可得出．【解答】解：z?（1+i）=﹣i，∴z?（1+i）（1﹣i）=﹣i（1﹣i），∴3z=﹣2﹣i，即z=﹣﹣i．则复数z的虚部等于﹣．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知六棱锥P-ABCDEF，底面ABCDEF为正六边形，点P在底面的射影为其中心，将该六棱锥沿六条侧棱剪开，使六个侧面和底面展开在同一平面上，若展开后的点P在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，则当正六边形ABCDEF的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为_______．参考答案：如图所示，设六边形的边长为，故，又∵展开后点在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为的圆上，∴，故，∴六棱锥的体积，令，∴，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故当时，函数取得最大值，即体积最大，体积最大值为．12.在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个向量，“”当且仅当“”或“”。按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：①若，则；②若，则；③若，则对于任意；④对于任意向量，若，则。其中真命题的序号为__________参考答案：①②③略13.在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n=________时，Sn取得最大值.参考答案：略14.已知函数，则

．参考答案：略15.函数对于总有≥0成立，则=

．参考答案：4略16.在平面直角坐标系xOy中，不等式组所表示的平面区域为，若的面积是2+π，且点P(x,y)在内(包括边界）,则的取值范围为

▲ .参考答案：

不等式组,所表示的平面区域为如图中阴影部分所示：∵的面积是∴设，则其几何意义为点与点所在直线的斜率当直线与圆相切时，，当直线过原点时，观察图象可知，当点在内（包括边界）时，的取值范围为故答案为

17.双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为

．参考答案：y=±2x．【分析】求得双曲线的右焦点，将直线y=x代入双曲线方程，求得x2=，则设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），由?=0，根据向量数量积的坐标表示，求得c2=x2，由双曲线的方程可知：c2=a2+b2，代入即可求得（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，则可知b2﹣4a2=0，即可求得b=2a，根据双曲线的渐近线方程可知：y=±x=±2x．【解答】解：由题意可知：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，右焦点F（c，0），则，整理得：（9b2﹣16a2）x2=9a2b2，即x2=，∴A与B关于原点对称，设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），∵AF⊥BF，∴?=0，即（x﹣c）（﹣x﹣c）+×（﹣）=0，整理得：c2=x2，∴a2+b2=×，即9b4﹣32a2b2﹣16a4=0，∴（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，∵a＞0，b＞0，∴9b2+4a2≠0，∴b2﹣4a2=0，故b=2a，双曲线的渐近线方程y=±x=±2x，故答案为：y=±2x．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E在DC边上，且DE=1，将△ADE沿AE折到△AD'E的位置，使得平面AD'E⊥平面ABCE．（Ⅰ）求证：AE⊥BD'；（Ⅱ）求二面角D'﹣AB﹣E的余弦值．参考答案：【分析】（Ⅰ）连接BD交AE于点O，依题意得可得∠AOD=90°，则AE⊥BD，由已知求得OD'⊥AE，利用线面垂直的判定可得AE⊥平面OBD'．从而得到AE⊥BD'；（Ⅱ）由平面AD'E⊥平面ABCE，且由（Ⅰ）知，OD'⊥平面ABCE，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz．求解三角形可得OD′，OA，OE，得到A，B，D′的坐标，分别求得平面ABD'与平面ABE的法向量，然后由两法向量所成角的余弦值可得二面角D'﹣AB﹣E的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AE于点O，依题意得，Rt△ABD～Rt△DAE，∴∠DAE=∠ABD，得∠AOD=90°，则AE⊥BD，即OB⊥AE，OD'⊥AE，又OB∩OD′=O，OB，OD'?平面OBD'．∴AE⊥平面OBD'．又BD1?平面OBD'，∴AE⊥BD'；（Ⅱ）解：∵平面AD'E⊥平面ABCE，由（Ⅰ）知，OD'⊥平面ABCE，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示．在Rt△AD'E中，求得，，，∴，，，则，，设平面ABD'的法向量，则，即，解得，令y=1，得，显然平面ABE的一个法向量为．∴=，∴二面角D'﹣AB﹣E的余弦值为．【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19.已知函数，数列的前项和为,且点在函数的图象上;（1）求数列的通项公式；（2）设=,数列｛｝的前前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．参考答案：（1）由题意有： ① ………1分当=1时，

………2分当时， ②

………3分①-②有： ………5分∴是首项为2，公比为3的等比数列，.

………6分(2)．

………7分∴

………8分．

………9分∴

………10分

………11分∴恒成立，即．

………12分且

∴

………13分故．

………14分20.如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，平面PAC垂直圆O所在平面，直线PC与圆O所在平面所成角为60°，PA⊥PC．（1）证明：AP⊥平面PBC（2）求二面角P—AB一C的余弦值参考答案：(1)见解析.(2).【分析】（1）由已知条件得BC⊥平面PAC，可得又，由此能证明平面．（2）法一：过作于，由平面平面，知∠HCP为直线与圆所在平面所成角，可得，由此能得到为二面角的平面角.利用平面几何知识求解即可．法二：利用空间向量法求解线面角.【详解】（1）由已知可知，又平面平面圆，平面平面圆，∴平面，∴，又，，平面，平面，∴平面.（2）法一：过作于，由于平面平面，则平面，则为直线与圆所在平面所成角，所以.过作于，连结，则，故为二面角的平面角.由已知，，在中，，由得，中，，故，故，即二面角的余弦值为.法二：过作于，则平面，过作交于，以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，，从而，，设平面的法向量，则得，令，从而，而平面的法向量为，故，即二面角的余弦值为.【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，考查线面角、二面角的平面角的作法及求法，也考查了空间向量法的应用，考查了空间思维能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（1）当a=2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（2）设a＞，且当x∈[，a]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）对x分类讨论，去掉绝对值符号解出即可得出．（2）当a＞，x∈[，a]，时，f（x）=4x+a﹣1，不等式f（x）≤g（x）化为3x≤4﹣a，化简利用a的取值范围即可得出．【解答】解：（1）由|2x﹣1|+|2x+2|＜x+3，得：①得x∈?；②得0＜x≤；③得…综上：不等式f（x）＜g（x）的解集为…（2）∵a＞，x∈[，a]，∴f（x）=4x+a﹣1…由f（x）≤g（x）得：3x≤4﹣a，即x≤．依题意：[，a]?（﹣∞，]∴a≤即a≤1…∴a的取值范围是（，1]…22.已知函数f（x）=ex﹣kx，x∈R（e是自然对数的底数，e=2.71828…）（1）若k=e，求函数f（x）的极值；（2）若k∈R，求函数f（x）的单调区间；（3）若k∈R，讨论函数f（x）在（﹣∞，4]上的零点个数．参考答案：考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）将k=e代入，求出函数的解析式，进而求出导函数的解析式，分析函数的单调性，可得函数的极值．（2）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，对k进行分类讨论，确定x在不同情况下导函数的符号，进而可得函数的单调性．（3）解法一：根据（2）中函数的单调性分k=0时，k＜0，k＞0三种情况讨论k取不同值时函数零点个数，最后综合讨论结果，可得答案．解法二：根据函数的导函数，分k=0时，k＜0，k＞0三种情况讨论k取不同值时，函数y=ex与y=kx图象交点的个数（即函数零点的个数），最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：（1）由k=e得f（x）=ex﹣ex，所以f'（x）=ex﹣e．

令f′（x）=0，得ex﹣e=0，解得x=1．由f'（x）＞0得x＞1，由f'（x）＜0得x＜1，当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，1）1（1，+∞）f'（x）﹣0+f（x）单调递减极小值单调递增…（2分）所以当x=1时，f（x）有极小值为0，无极大值．

…（3分）（2）由f（x）=ex﹣kx，x∈R，得f'（x）=ex﹣k．①当k≤0时，则f'（x）=ex﹣k＞0对x∈R恒成立，此时f（x）的单调递增，递增区间为（﹣∞，+∞）．

…（4分）②当k＞0时，由f'（x）=ex﹣k＞0，得到x＞lnk，由f'（x）=ex﹣k＜0，得到x＜lnk，所以，k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk）．…（6分）综上，当k≤0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）；当k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk）．…（7分）（3）解法一：①当k=0时，f（x）=ex＞0，对x∈R恒成立，所以函数f（x）在（﹣∞，4]上无零点．…（8分）②当k＜0时，由（2）知，f'（x）=ex﹣k＞0对x∈R恒成立，函数f（x）在（﹣∞，4]上单调递增，又f（0）=1＞0，，…（9分）所以函数f（x）在（﹣∞，4]上只有一个零点．

…（10分）③当k＞0时，令f'（x）=ex﹣k=0，得x=lnk，且f（x）在（﹣∞，lnk）上单调递减，在（lnk，+∞）上单调递增，f（x）在x=lnk时取得极小值，即f（x）在（﹣∞，4]上最多存在两个零点．（ⅰ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上有2个零点，则，解得；…（11分）（ⅱ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上有1个零点，则f（4）＜0或，解得或k=e；

…（12分）（ⅲ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上没有零点，则或f（lnk）=k（1﹣lnk）＞0，解得k∈（0，e）．

…（13分）综上所述，当时，f（x）在（﹣∞，4]上有2个零点；当或k=e时，f（x）在（﹣∞，4]上有1个零点；当k∈[0，e）时，f（x）在（﹣∞，4