河南省商丘市中山中学高三数学理模拟试题含解析

河南省商丘市中山中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2﹣6x+8=0的根，则的值为（）A． B．4 C．或 D．﹣4或4参考答案：A【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：∵a3，a15是方程x2﹣6x+8=0的根，∴a3=2，a15=4；或a3=4，a15=2．可知a1q2=2，a1＞0．∴=．则==a9=2．故选：A．2.若函数的图象如图，则函数的图象为（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】由函数的单调性可得及时得，结合函数的定义域和值域即可得解.【详解】由函数单调递减可得，当时，，解得.可知函数，定义域为，值域为，因为，.故选：C.【点睛】本题主要考查了指数型函数的单调性及图像特征，考查了反比例函数的值域及定义域，属于基础题.3.设是定义在上的增函数，且对任意，都有恒成立，如果实数满足不等式，那么的取值范围是（9，49）

（13，49）

（9，25）

（3，7）参考答案：A4.锐角三角形ABC中，若C＝2B，则的范围是()A．(0,2)

B．(，2)C．(，)

D．(，2)参考答案：C5.已知函数的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A6.已知a，b∈R+，函数f（x）=alog2x+b的图象经过点（4，1），则的最小值为（）A．

B．6

C．

D．8参考答案：D【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用函数的图象经过的点，得到a、b关系式，然后求出最值．【解答】解：a，b∈R+，函数f（x）=alog2x+b的图象经过点（4，1），可得2a+b=1，则=（）（2a+b）=2+2+≥=8，当且仅当b=2a=时取等号，表达式的最小值为8．故选：D．【点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．7.一个几何体的三视图如图，其侧视图是一个等边三角

形，则这个几何体的体积为（

）A.B.C. D.参考答案：B略8.若，则“”是“”的

(

)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：D9.如图，已知椭圆C的中心为原点O,F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=6，则椭圆C的方程为（）A．

B．

C． D．参考答案：C由题意可得，设右焦点为，由知，，，∴，∴，即．在△中，由勾股定理，得，由椭圆定义，得，从而，得，于是，所以椭圆的方程为，故选C．10.已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．若在区间上随机取一个数x，则事件“g（x）≥1”发生的概率为(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g（x）的解析式，确定满足g（x）≥1的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论．解答： 解：∵f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），由题意知=，则T=π，∴ω==2，∴f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得g（x）=f（x+）=2sin=2sin（2x+）=2cos2x．∵2cos2x≥1，x∈，可得：cos2x，解得：x∈，∴事件“g（x）≥1”发生的概率为=．故选：B．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，本题考查几何概型，三角函数的化简，学生的计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分12.若

参考答案：312.函数的最大值为

参考答案：13.等比数列满足是方程的两个根，且，则

___________________.参考答案：9略14.程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中横线上应填入的数字是________．参考答案：10略15.设为第二象限角，若,则=

.参考答案：略16.已知实数满足等式,给出下列五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中可能关系式是．参考答案：②④⑤17.实数x，y满足能说明“若的最大值是4，则”为假命题的一组(x，y)值是_________.参考答案：(2,2)（答案不唯一）【分析】画出约束条件的可行域，目标函数取得最大值的直线，然后求解即可．【详解】实数x，y满足的可行域以及x+y=4的直线方程如图：能说明“若z=x+y的最大值为4，则x=1，y=3”为假命题的一组（x，y）值是（2，2）．故答案为：（2，2）．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，点B（0，1）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点(1，]的直线交椭圆C于M，N两点，交直线x=2于点P，设，，求证：λ+μ为定值．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意b=1，利用椭圆的离心率即可求得a的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线MN的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可证明λ+μ=0为定值．【解答】解：（Ⅰ）由点B（0，1）在椭圆C：上，则，即b=1．又椭圆C的离心率为，则，由a2=b2+c2，得．∴椭圆C的方程为…（Ⅱ）证明：由已知得F（1，0），直线MN的斜率存在．设直线MN的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），则P（2，k）．由，，得，∴，．联立得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．∴，．∴==0，∴λ+μ=0为定值…19.（14分）设函数（），其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．参考答案：本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．解析：（Ⅰ）当时，，得，且，．所以，曲线在点处的切线方程是，整理得．（Ⅱ）．令，解得或．由于，以下分两种情况讨论．（1）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．（2）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．（Ⅲ）证明：由，得，当时，，．由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，只要即①设，则函数在上的最大值为．要使①式恒成立，必须，即或．所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．20.（12分）已知函数f（x）=（a+）lnx﹣x+，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）上存在极值点，求a的取值范围；（Ⅱ）设a∈（1，e]，当x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）时，记f（x2）﹣f（x1）的最大值为M（a），那么M（a）是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f′（x）=，x∈（0，+∞），由此根据a=1，a＞0且a≠1，利用导数性质进行分类讨论，能求出a的取值范围．（Ⅱ）当a∈（1，e]时，，f（x）在（0，）上单调递减，在（，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减，对?x1∈（0，1），有f（x1）≥f（），对?x2∈（1，+∞），有f（x2）≤f（a），从而[f（x2）﹣f（x1）]max=f（a）﹣f（），由此能求出M（a）存在最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（a+）lnx﹣x+，其中a＞0，∴=，x∈（0，+∞），①当a=1时，≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，不存在极值点；②当a＞0时，且a≠1时，f′（a）=f′（）=0，经检验a，均为f（x）的极值点，∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．（Ⅱ）当a∈（1，e]时，，f（x）在（0，）上单调递减，在（，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减，对?x1∈（0，1），有f（x1）≥f（），对?x2∈（1，+∞），有f（x2）≤f（a），∴[f（x2）﹣f（x1）]max=f（a）﹣f（），∴M（a）=f（a）﹣f（）=[（a+）lna﹣a+]﹣[（a+）ln﹣+a]=2[（a+）lna﹣a+]，a∈（1，e]，M′（a）=2（1﹣）lna+2（a+）+2（﹣1﹣）=2（1﹣）lna，a∈（1，e]．∴M′（a）＞0．即M（a）在（1，e]上单调递增，∴[M（a）]max=M（e）=2（e+）+2（）=，∴M（a）存在最大值．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.（本小题满分12分）已知直线与椭圆相交于、两点．（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段的长；（2）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的最大值．参考答案：解：（Ⅰ）,,,，则.

……………（6分）（Ⅱ）设.，，，整理得，，，，，，由此得，故长轴长的最大值为.

…………（12分）

22.已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；

（Ⅱ